Kurt Gödel 

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Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán
Martha Ivett Huerta Varela

¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar cada una de las proposiciones verdaderas en todos los modelos del sistema?

En 1931, Kurt Gödel publicó sus Teoremas de Incompletitud, Estos teoremas siguen siendo de mayor importancia para la filosofía de las matemáticas, aunque justo lo que significan sigue siendo debatido. Tienen impacto directo sobre la teoría del lenguaje, la verdad y la mente.

Es un juego de niños comprender las nociones fundamentales involucradas en la aritmética, adición y multiplicación. A partir de cero, hay una secuencia de números de conteo, cada uno con exactamente un sucesor inmediato. Esta secuencia de números -oficialmente, los números naturales- continúa sin fin, nunca dando vueltas sobre sí misma; y no hay números naturales “desviados”, es decir, fuera de esta secuencia. Añadir n a m es la operación de comenzar desde m en la secuencia numérica y mover n lugares a lo largo. Multiplicar m por n es la operación de (a partir de cero) repetidamente añadir m, n veces. Es tan simple como eso.

Usando nuestros conceptos básicos y definidos podemos enmarcar varias afirmaciones generales sobre la aritmética de la suma y la multiplicación. Hay verdades obvias como “la adición es conmutativa”, es decir, para cualquier número m y n, m+n=n+m. También hay algunas afirmaciones muy obvias, aún por demostrar, como la conjetura de Goldbach de que para cada número mayor que dos es la suma de dos primos .

Una cosa es poder comprender la aritmética básica y otra es poder demostrar afirmaciones que se pueden enmarcar en ese lenguaje. Aun así, es extremadamente plausible suponer que, tanto si las respuestas están a nuestra disposición como si no, las preguntas planteadas en el lenguaje de la aritmética básica tienen respuestas totalmente determinadas. La estructura de la secuencia numérica natural, con cada número se tiene un sucesor numérico único y no hay repetición , es simple y claro. Las operaciones de suma y multiplicación están totalmente bien definidas; sus resultados se fijan por las reglas que nos enseñaron en el primer grado escolar. Entonces, ¿qué más podría ser necesario para corregir la verdad o la falsedad de estas proposiciones, tal vez, una cadena de definiciones, equivalente a afirmaciones de aritmética básica? Para decirlo metafóricamente: Dios estableció la secuencia aritmética y específica como función de operaciones de suma y multiplicación. Entonces ha hecho todo lo que se necesita para hacer el caso, por ejemplo, que la conjetura de Goldbach sea verdadera o falsa según sea el caso.

Por supuesto, esta forma de decirlo es demasiado fantasiosa y cómoda. De hecho, podemos encontrar convincentemente pensar que la secuencia de números naturales tiene una estructura definida y que las operaciones de suma y multiplicación están totalmente clavadas por las reglas básicas conocidas. Pero, ¿cuál es el contenido real de la idea de que los valores de la verdad de todas las proposiciones aritméticas básicas son así fijas?

Es tentador decir algo más. ¿Cómo serán los axiomas de la aritmética básica? Aquí hay un candidato: por cada número natural, hay un único siguiente. Esto es evidentemente cierto; pero evidente como primer pensamiento, se podría decir “podemos verlo, usando la intuición matemática, que este axioma es verdadero. Pero la idea de intuición matemática es oscura, por decirlo menos. Tal vez el axioma es evidentemente cierto porque es algún tipo de trivialidad definitoria. Tal vez es solo parte de lo que queremos decir con hablar de los números naturales que estamos tratando con una secuencia de sucesor único. Y, plausiblemente, otros axiomas candidatos son igualmente ciertos por definición.

Si estas tentadoras dudas son correctas, entonces las verdaderas afirmaciones aritméticas son analíticas en el sentido de la palabra de los filósofos; es decir, las verdades de la aritmética básica fluirán deductivamente de la lógica más axiomática que son trivialmente verdaderas por definición. Esta visión llamada “lógica”, nos daría entonces una explicación muy clara de la certeza especial y la verdad necesaria de las afirmaciones correctas de la aritmética básica.

Pero, ahora, en términos del primer teorema de Gödel de incompletitud, se muestra que la idea totalmente natural de que podemos dar una teoría completa de la aritmética básica como un conjunto ordenado de axiomas está equivocada. Existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Esto es ciertamente asombroso. De alguna manera, al parecer, las verdades de la aritmética básica deben eludir nuestros intentos de fijarlas dando un buen conjunto de definiciones fundamentales de las que podemos deducir todo lo demás. Entonces, ¿cómo Gödel lo muestra en 1931? No hay nada de misterioso que una teoría no esté completa, sin embargo, para el caso sin duda es completable, es decir, se puede ampliar fácilmente para resolver todas las preguntas que se pueden plantear en su lenguaje limitado. Por el contrario, lo que da el primer teorema de Gödel, su verdadera mordida es que demuestra que cualquier axiomatizado de la aritmética básica debe permanecer incompleto, sin embargo, muchos nuevos axiomas verdaderos podrían surgir.

La incompletitud de Gödel de inmediato desafía lo que de otro modo parece ser una sugerencia realmente atractiva sobre el estado de la aritmética básica, a saber, la idea lógica de que todo fluye deductivamente usando lógica simple de un simple grupo de definiciones verdaderas que articulan las ideas mismas de los números naturales, suma y multiplicación.

En este punto, puede empezar a parecer que trascienden las reglas de los números que son subyacente a nuestra capacidad cognitiva de reconocer ciertas sentencias aritméticas propuestas como correctas. Si usted está tentado a pensar así, entonces usted bien puede estar tentado a concluir que las mentes como la nuestra, capaces de tal trascendencia de reglas, no pueden ser máquinas (suponiendo que las operaciones cognitivas de cualquier cosa apropiadamente llamada máquina puedan ser plenamente capturadas por las reglas que rigen el comportamiento de la máquina). Hasta este punto, tenemos la idea inicial de lo que dice el primer teorema Gödel y por qué podría importar, suficientemente, espero traerle a las profundidades de esta discusión.

Los teoremas de Gödel nos hablan de los límites de las teorías axiomatizadas de la aritmética. Pero, ¿qué significa eso exactamente? En lógica elemental, los principiantes se forman en la traducción de argumentos a un lenguaje formal apropiado y luego en la construcción de deducciones formales de las conclusiones declaradas de las premisas dadas. ¿Por qué molestarse en traducir a lenguaje formal? Porqué el lenguaje cotidiano está lleno de ambigüedades, por no hablar de sentencias que simplemente carecen de condiciones claras de su verdad. Por lo tanto al evaluar argumentos complejos, ayuda a canalizarlos en un lenguaje artificial adecuado que está expresamente diseñado para estar libre de oscuridad, y donde la forma de la superficie revela la estructura lógica.

¿Por qué molestarse en las deducciones formales? Porqué los argumentos cotidianos a menudo implican supresiones y falacias inferenciales. Es demasiado fácil hacer trampa. Establecer argumentos como deducciones formales en un estilo u otro exige la honestidad: tenemos que mantener un recorrido de las premisas que invocamos, y de exactamente qué movimientos e inferencias estamos utilizando. Y la honestidad es la mejor política. Supongamos que las cosas van bien con la deducción formal en particular, suponemos que pasamos de las premisas dadas a alguna conclusión objetiva por pequeños pasos de inferencia, cada uno de los cuales es obviamente válido. Nuestro trabajo honesto entonces nos otorga el derecho a la confianza de nuestras premisas, realmente implican la conclusión deseada.

Concebido, fuera de la academia, casi nunca establecemos argumentos deductivos en versiones totalmente formalizadas. No importa, hemos vislumbrado un primer ideal: argumentos presentados en un lenguaje formal totalmente perspicuo con la máxima claridad y con todo totalmente abierto, sin dejar lugar a malentendidos, y con todos los compromisos de los argumentos sistematizados y francamente reconocidos.

Las pretensiones tradicionales de la geometría euclidiana ilustran la búsqueda de un segundo ideal relacionado: la teoría axiomatizada. El objetivo es crear un cuerpo de conocimiento mostrando cómo todo se deriva de un puñado de suposiciones básicas. Así, al igual que los estudiantes de lógica de un primer curso, tienen nociones de ese puñado de suposiciones euclidianas, en un lenguaje geométrico ordinario. De este modo establecen todo un conjunto de teoremas sobre triángulos inscritos en círculos, derivados de resultados más simples, que a su vez se pueden establecer en última instancia apelando a algún pequeño conjunto de principios fundamentales o axiomas. ¿Y qué se gana haciendo esto? Supongamos que las derivaciones de nuestros diversos teoremas se establecen en un estilo laborioso paso a paso, donde cada pequeño movimiento está justificado por simples inferencias de propuestas que ya han sido probadas.

Esta geometría axiomatizada se presentó de manera muy informal, pero es una muy intuitiva en la que nuestro cerebro procesa el espacio. En la vida, muchas teorías matemáticas se presentan más formales, como la teoría de conjuntos, expresada en un lenguaje parcialmente formalizado y explorando sus consecuencias deductivas. El objetivo una vez más, es garantizar los principios fundamentales encarnados en los axiomas. Sin embargo, incluso los textos matemáticos más duros que exploran la teoría axiomatizada continuan escribiéndose en una mezcla informal de lenguaje ordinario y simbólico matemático. Las demostraciones rara vez están en cada detalle formal, por lo que su presentación todavía se queda corta en el ideal lógico formalizado completo o regimentación. Pero con todas las demostraciones comenzando desde nuestro conjunto de axiomas declarados.

Aún así, es absolutamente esencial que las buenas matemáticas logren precisión y eviten el uso de inferencias o suposiciones no reconocidas. Así, reuniendo el objetivo lógico de claridad perfecta e inferencias honestas con el proyecto del matemático de teorías axiomatizadas, podemos ver el punto de noción de una teoría formal axiomatizada como un ideal compuesto. Tenga en cuenta que, no estamos diciendo que el matemático de alguna manera se queda corto en su trabajo dentro de su oficio de construir dentro de teorías completamente formalizadas. Las matemáticas son un oficio suficientemente duro, incluso cuando se hace utilizando tanto rigor como parezca apropiado apoyado en computadoras.

Reuniendo el concepto ideal de precisión formal y el ideal de regimentación de un sistema axiomático, hemos entonces alcanzado el concepto de una teoría formal axiomatizada, es decir, una teoría construida en un lenguaje formalizado, con un conjunto de fórmulas de lenguaje que son tratadas como axiomas para la teoría, y un sistema deductivo riguroso para construir las demostraciones, de esto podemos derivar teoremas de los axiomas. La solidez es, por supuesto, normalmente una cuestión de tener verdaderos axiomas y un sistema de demostraciones que preserve la verdad.

El conjunto T de sentencias verdaderas de un lenguaje suficientemente expresivo L no es efectivamente axiomatizable. Es decir, la consistencia de los axiomas no puede demostrarse en el interior del sistema. El teorema de la incompletitud implica también que no toda la matemática es computable y que hay verdades fuera de la base axiomática del sistema.