Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Filho Enrique Borjas García
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

Unidad 3. Representación de soluciones y ecuaciones lineales

3. Introducción

Una parte importante dentro de los desarrollos matemáticos son las expresiones algebraicas, sus representaciones y sus ecuaciones. 

¿Recuerdas cómo te has acercado a las matemáticas a lo largo de tu educación? Seguramente puedes recordar que tu primer contacto con las matemáticas fue mediante los números, seguido por el álgebra y la geometría. 

Las representaciones gráficas de las ecuaciones en el plano se realizan desde tiempos remotos por parte de culturas precursoras de las ciencias como la griega, alrededor del siglo V Antes de Cristo hace aproximadamente 2500 años. Sin embargo, la representación de las figuras geométricas y más específicamente de los trazos (como lo son las rectas, parábolas y circunferencias) se han vinculado a desarrollos y comportamientos “generalizados” mediante las funciones algebraicas y el eje coordenado hasta hace apenas 400 años gracias a las aportaciones de René Descartes (1596-1650).

A partir del uso del plano cartesiano para representar y vincular los trazos de figuras planas con símbolos algebraicos, se han encontrado usos incontables de las representaciones algebraicas. En más de una ocasión seguramente has utilizado alguno de estos trazos mediante sus ecuaciones, su manejo numérico y su escritura mediante el uso del álgebra; pero ¿Qué significan estos símbolos en una situación real? o caso contrario, ¿Cómo representar una situación real con esos símbolos o trazos?

En el presente apartado se abordan ecuaciones, pero sobre todo se enfatiza en su aplicación en situaciones reales y además se representan siempre en lo posible a las funciones en más de una forma: gráfica, numérica, simbólica y verbal. 

3.1 Identificación de funciones

Parece que uno de los primeros acercamientos que tenemos con las matemáticas es hasta cierto punto intuitivo, es decir: sumamos y restamos solo aplicando ciertos pasos, cuando en realidad estas dos operaciones tienen una serie de reglas que por ejemplo no permiten que en la resta se pueda intercambiar minuendo y sustraendo de una manera arbitraria, por ejemplo, el resultado de restar 3 al número 4 no tendrá el mismo resultado al hacerlo de forma inversa, es decir, restar 4 a 3. Dicho lo anterior, debemos establecer un primer concepto que nos ayude a comprender y acercarnos a los conceptos de igualdad, función y ecuación.

Una igualdad es una relación de equivalencia, puede ser numérica o algebraica, una serie de valores que son lo mismo en valor numérico, tanto del lado izquierdo como del derecho del signo igual, llamados primer miembro y segundo miembro respectivamente. 

Hay igualdades simbólicas o algebraicas que de la misma manera relacionan valores de uno y otro miembro, solo que aquí los valores no son directos o no son visiblemente directos. En este punto, podemos comenzar a definir función y ecuación de la misma manera, como igualdades.

Una ecuación es una igualdad que puede tener una o más literales llamadas variables o incógnitas, que la satisfacen uno o varios valores. 

Una función por otro lado, tiene una característica especial: debe tener un valor único de su variable dependiente con respecto a la independiente, esto es, para cada valor de debe de tener y corresponder un único valor de . Estos elementos para cada expresión se retomarán a detalle más adelante en este capítulo y en cursos posteriores donde los tratamientos de funciones no solo son útiles, sino ampliamente utilizados. Así, esta serie de definiciones puede ser clara y lógica para algunos de nosotros, pero ilógica y hasta innecesaria para algunos otros. La idea es que comencemos a dejar una base de lo que abordaremos más adelante y que seguiremos afinando con definiciones relacionadas primeramente a las igualdades y acto seguido aplicadas a las soluciones, representaciones e interpretaciones de funciones algebraicas.

Propiedades y postulados de la igualdad

Una igualdad matemática es una relación de simetría que existe entre dos expresiones, esta relación se expresa mediante el conocido símbolo de igual (=). Parece que este concepto es sencillo, pero ¿creerás que sigue siendo sencillo si lo definimos para el campo de los números Reales ? Lo que acabamos de mencionar no es más que definir para qué números la igualdad existe; simplemente para todos (positivos, negativos, racionales, decimales, enteros) exceptuando los números imaginarios cuyo estudio no es motivo del presente capítulo.

Así que, si bien ya definimos que la igualdad es una relación válida para cualquier número real, entonces es posible generalizar que la igualdad es también una relación entre símbolos que representen una cantidad cualquiera; en otras palabras, una igualdad será también válida tanto en el campo de los números reales como en el álgebra.

Algunas de las manipulaciones que realizaremos con símbolos algebraicos tanto en igualdades como en funciones y ecuaciones, obedecen a ciertas reglas, mismas que seguramente ya hemos utilizado en más de una ocasión, pero que recordaremos de manera formal, para que en un futuro no haya lugar a dudar en afirmar que la igualdad se cumple o que una ecuación tiene cierta raíz, comencemos entonces con: 

Propiedades de la igualdad

Partiendo del concepto de álgebra como una parte de las matemáticas que se dedica a estudiar las propiedades de objetos Matemáticos (definiendo por objeto matemático a un número, una ecuación, un punto coordenado en el plano cartesiano), entonces la igualdad será en adelante una relación entre estos objetos, que para fines prácticos relacionaremos con número reales.  Más adelante utilizaremos estas propiedades entre otras para resolver ecuaciones.

Reflexiva: un número siempre es igual a sí mismo, lo que en símbolos o lenguaje algebraico sería: . Ejemplo:

Simétrica: si un número es igual a otro, el segundo debe ser igual al primero: 

 si , entonces, . Ejemplo: si = 2, entonces, 2 = .

Transitiva: si un primer número es igual a otro segundo número, y además, el segundo número es igual a otro tercer número, entonces el tercer número y el primer número son iguales. Ejemplo: si = 2, y 2 = , entonces, .

Sustitución: si , entonces puede ser reemplazada por en cualquier ecuación o expresión. Ejemplo: si  = 3, y +5=, entonces 3+5=, y 8=.

Aditiva: al sumar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad válida. Si , entonces, . Ejemplo: si = 5, entonces, + 3 = 5 + 3.

Multiplicativa: si multiplicamos ambos lados de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva igualdad válida. Si entonces . Ejemplo: si = 5, entonces, =(7)(5).

Podemos decir que hasta este momento las propiedades básicas enunciadas pueden darnos elementos suficientes para poder solucionar ecuaciones, sin embargo, conviene mencionar algunas propiedades complementarias a las mencionadas anteriormente, así para:

La resta: nos dice que al restar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida. Si , entonces . Ejemplo: si = 5, entonces, - 3 = 5 – 3.

La división: nos dice que si dividimos ambos lados de la igualdad por un número real , obtenemos otra nueva igualdad válida. Si , entonces  . Ejemplo: si   entonces

La potencia: indica que si elevamos a la misma potencia ambos miembros de una igualdad esta se sigue cumpliendo. Si , entonces, . Ejemplo: si =5 entonces

La raíz: nos dice que si calculamos la raíz n-ésima en ambos lados de una igualdad (si esta operación es posible de realizar), la igualdad sigue siendo válida. Si , entonces, (hay restricción para raíces de números negativos cuando es par). Ejemplo: Si = 5, entonces

Para practicar: realiza un cuadro comparativo en el cual se resuman las propiedades y escribe un ejemplo de cada una de las propiedades descritas, compara tus resultados con los de tus compañeros.

Postulados de campo

Aunado a las propiedades de los números reales que hemos descrito en los párrafos anteriores, definiremos ahora una serie de nuevas propiedades llamadas postulados. Un postulado puede definirse como una verdad evidente que es utilizada como parte de la argumentación al hacer demostraciones. Dado que se admiten sin demostración,  simplemente han de aplicarse y nos pueden ayudar a resolver ecuaciones, si definimos aquellos que se pueden aplicar al sistema de números reales y estas verdades siempre se cumplen, entonces serán llamadas postulados de campo de los números reales.

Recordemos que igual que en las propiedades de la igualdad, lo que aquí definiremos aplica a la generalidad de los números y por consecuencia a los términos algebraicos, dicho lo anterior, definamos pues los siguientes postulados.

Postulados de campo de los números reales

La manera en la cual describiremos los postulados de campo para los números reales será en esta ocasión en forma de una tabla^[1] que se describe a continuación, en donde se menciona en la primera columna el postulado, en la segunda columna su descripción, una tercer columna con el enunciado del postulado y una cuarta con un ejemplo. Recordemos que la literal denota el campo de los números reales los que pueden ser representados mediante letras.

Ejemplos:

1. Demostraremos y argumentaremos que si   es un número real, entonces es verdad que: 

2. Sea una ecuación cuya variable se encuentra en los reales, encontrar su solución. 

En más de una ocasión que hemos demostrado igualdades o realizado despejes, para encontrar valores aplicamos reglas o pasos que son incorrectos, seguir las correctas justificaciones como lo muestran los ejemplos anteriores no solo asegura que hemos realizado de manera adecuada el proceso pedido, sino que nos asegura un resultado correcto. Algunos de nosotros realizamos algunos de estos pasos tal cual los conociéramos a la perfección, lo cual es posible después de realizar muchos ejercicios. Si nuestro proceso es dudoso puede hacernos fallar, por tanto es conveniente no olvidar estas reglas y siempre que sea posible observar un orden en la argumentación de cada nuevo proceso.

Ahora bien, todos los enunciados que hemos descrito, tanto en propiedades como en postulados, tienen un primer propósito que es, el de formalizar y hacer válido el tratamiento que podemos hacer de los números en lo general (números reales) y por ende del álgebra. Procederemos ahora a las manipulaciones algebraicas para la solución de ecuaciones.

3.2 Ecuaciones de primer grado

Como ya hemos definido, una ecuación es una expresión algebraica que se define mediante una igualdad. En ocasiones estas igualdades están definidas de manera tal que tienen un uso directo o inmediato, pero la mayoría de las veces la definición primera tiene que volver a definirse para aplicar o interpretar su uso. 

Por otro lado, las ecuaciones tienen siempre uno o más términos algebraicos y dependiendo de la cantidad de términos se clasifican como monomios, binomios, etc. y de acuerdo a el grado del exponente más grande como de grado 1, 2, etc. 

Finalmente y de manera muy general, cabe mencionar que las ecuaciones siempre tienen un motivo u aplicación, algunos de esos usos los realizamos de manera cotidiana sin considerar siquiera como lo hacemos. En el presente apartado abordaremos las ecuaciones como una manera de operatividad que es una habilidad importante en las matemáticas, pero en lo posible se plantearán situaciones en donde las ecuaciones tengan un significado con nuestra vida diaria.

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado se define como una expresión algebraica donde el grado mayor del exponente es uno, una vez realizadas las operaciones indicadas y reducidos los términos semejantes, a continuación se muestran ejemplos de ecuaciones de primer grado: 

Algunas de las ecuaciones anteriores tienen más de una variable, pero en todos los casos ninguna de éstas tiene como exponente un número distinto de uno, todas  son ecuaciones de primer grado. Para manipularlas emplea las ecuaciones de primer grado, que deben cumplir las propiedades de la igualdad y los postulados de campo de los números reales, pues como mencionamos, dichos enunciados encierran en su naturaleza las reglas básicas de las manipulaciones algebraicas. Por lo tanto, aplicaremos lo descrito en los planteamientos y soluciones de ecuaciones de primer grado, quizá no con la detallada descripción de cada uno de los ejercicios mostrados anteriormente, pero sí de una manera práctica y concisa que nos habilite para los futuros usos en la manipulación de ecuaciones y funciones. 

Ecuaciones de primer grado con una variable

Dada la ecuación de primer grado:

5-2d=9

resolver una ecuación es conocer qué valor hace verdadera la igualdad, esto es que satisface a la ecuación, dicha solución la llamaremos raíz de la ecuación. Así, es el valor que hace verdadera la igualdad, ya que:

Para la ecuación: 

Es poco práctico tratar de encontrar por tanteos la posible solución. Veamos cómo se resuelve esta nueva ecuación para conocer el valor de su variable de acuerdo al siguiente desarrollo:

Como puedes ver, en términos generales realizar un despeje o realizar las manipulaciones correspondientes que nos permitan encontrar el valor de una variable puede ser una tarea larga, pero si se observan cada una de las descripciones anteriores puedes con mucha facilidad realizar un proceso similar omitiendo algunos argumentos, siempre y cuando estemos seguros de que no se ha omitido alguno en ún único apartado de la igualdad y de que se lleve siempre el orden adecuado y no se omitan algunos de los postulados ya mencionados. De esta forma, desarrollemos un nuevo ejercicio de manera aún más práctica que de la misma manera nos llevará a encontrar el valor de una variable determinada. 

Encontremos el valor de en la siguiente ecuación: 

Finalmente, los argumentos deben ser claros, en el orden definido y no necesariamente debe usarse una tabla para el acomodo del proceso. Realizar algunos ejercicios es muy adecuado para poder confiar en nuestros procesos y nos hace eficientes en el proceso del cálculo de las variables buscadas.

Por otro lado, podemos para cada uno de los casos en que se pide encontrar el valor de la variable en las ecuaciones, realizar la respectiva comprobación para saber que el valor encontrado ha sido correcto. El proceso es sencillo e igualmente tiene que ver con las propiedades de los números reales. Haremos de forma sencilla y directa la comprobación del ejemplo anterior.

Definida la igualdad: 

comprobar que el valor es correcto.

Procedemos a sustituir el valor encontrado en la ecuación dada:

Desarrollando:

De esta manera, la igualdad se cumple con el valor encontrado lo que nos demuestra que este es correcto.

Para resolver:

En parejas resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y hacer la comprobación.

1. 5 + 6x = 2 

2. 4b + 1 = -18 

3. 18c - 3 = 0 

4. 5 - 2d = 9 

5.  - 3f + 1 = 4 

6.  - 2 - 5g = 0 

7.  13 - h = 13 

8.  5j - 9 = 3j + 5 

9.  2k + 7 = 12 - 3k 

10.  10 - 4x = 7 - 6x 

11.  5m - 3,2 = 2m + 2,8 

12.  5n - 2n + 12 = 35 - 4n - 9 

13.  3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ - 11 

14.  48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p 

15.  q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q 

16.  6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0 

17.  5s + (4 - s) = 9 - (s - 6) 

18.  (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t) 

19.  3 - (8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4) 

20.  (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3) 

21.  -(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x) 

22.  12y = 3(3y - 5) 

23.  3z - 1 = 2(z - 1) 

24.  2(b + 2) - 5(2b - 3) = 3 

25.  7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4) 

26.  4-2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3) 

27.  8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0 

28.  21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g - 12 

29.  40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h)] = 3-(8h - 12) 

30.  3[2 - (3j - 6)] + 4[6j - (1 - 2j)] = 4 - 5j 

31.  2 - {k - [6k - (1 - 2k)]} = 100 

32.  3[2x - (5x + 2)] + 1 = 3x - 9(x -3) 

33.  2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2 

34. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n 1) 

35.  2 - (3ñ + 4)-(5ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 10)= =11 

36.  2[7p - 2(p - 1)] + 3(4p + 7) = 5 - (p - 1) 

37.  8{2 - [q + 2(q - 3)] + 1} = 3 - (8 - 3q) 

38.  2 - 3(r - 7) - 7r = 4(r - 2) + 8 

39.  3.37 - (1.5s + 2.3) = 3.4s - (0.4 – 5.7s)

40.  (t - 3)² - (t - 2)² = 5 

Sistemas de ecuaciones lineales

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es uno  de los problemas matemáticos más antiguos y presenta una conexión con la actividad práctica.  Se han encontrado sistemas de ecuaciones lineales en la matemática mesopotámica, medieval, china y japonesa. En 1678 el matemático alemán Leibniz fue el primero en proponer un método general de resolución y manejo de los determinantes, en 1693 dio ejemplos de sistemas de ecuaciones con coeficientes, de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y eliminando las variables obtenía una expresión como determinante utilizando la notación con subíndices. Sin embargo, fue Maclaurin quien usó el método de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2, 3 y 4 incógnitas. El Suizo Cramer hacia 1750 propuso auxiliándose de expresiones similares a los determinantes, un método para la resolución de un sistema de n ecuaciones con n variables. Además matemáticos de los siglos XVIII y XIX continuaron estas investigaciones, Laplace por ejemplo, obtuvo el desarrollo de los determinantes, Lagrange estudió identidades de determinantes funcionales de 33 , en 1773. Cauchy dedujo la ley de multiplicación, gracias a Jacobi en 1826 los determinantes se convirtieron en patrimonio general de los matemáticos, llegando a ser utilizados ampliamente en los sistemas de ecuaciones lineales, geometría y en análisis.

El matemático Irlandés Sylvester introdujo las matrices haciendo uso del rango, su amigo y colega Cayley creó el cálculo matricial e hizo notar que las matrices son una forma de expresión abreviada para las sustituciones lineales^[2].  

Actualmente, los planteamientos de soluciones y aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales tienen una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología, y se desarrollan principalmente por medio de algoritmos computacionales, pues algunos de estos llegan a ser compuestos por cientos o miles de ecuaciones con igual número de incógnitas.

Un sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones, cada una de las cuales contiene una o más variables, por ejemplo: 

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Utilizamos una llave para indicar el sistema de ecuaciones, es conveniente numerar cada ecuación del sistema. Una solución de un sistema de ecuaciones consta de valores para las variables, los cuales hacen verdadera cada ecuación del sistema. Resolver un sistema de ecuaciones significa determinar todas las soluciones del sistema^[3]. Un sistema de ecuaciones lineales se denomina consistente si tiene al menos una solución. Un sistema sin soluciones es conocido como inconsistente.

Una ecuación con n variables es lineal si es equivalente a una ecuación de la forma:

Donde son variables distintas mientras que son constantes y al menos una de las constantes es distinta de cero^[4].

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones: suma y resta también conocido como reducción, sustitución, igualación, por determinantes y gráfico. 

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables

Se le llama sistema de ecuaciones a la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas^[5], en nuestro caso, de ecuaciones lineales o de primer grado.

Recordemos que cada ecuación representa geométricamente una recta y que dos rectas pueden ser paralelas, lo cual significa que tienen soluciones o puntos en común. Pueden cortarse en  un punto, por lo que tienen una solución y  se llaman simultáneas, o estar una recta sobre la otra y entonces tienen infinitas soluciones o puntos en común, en nuestros ejemplos sólo utilizaremos sistemas de ecuaciones simultáneas, es decir siempre tendrán solución o un punto en común.

Método de suma y resta o reducción

En este método se trata de igualar los coeficientes de una de las incógnitas, para después sumar o restar las dos ecuaciones y así eliminar una de las incógnitas, veamos ejemplos de ello.

Resolver por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

En este sistema lo más conveniente es multiplicar la ecuación 1 por -7 y sumarla con la ecuación dos para eliminar la incógnita

Esta nueva forma de representar a la ecuación 1 la sumamos con la ecuación 2 y obtenemos:

Por lo tanto, teniendo este resultado podemos obtener:  

Una vez obtenido el valor de =4, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones 1 o 2, y se obtiene el valor de :

Si en lugar de sustituir =4 en la ecuación 1, se hace en la 2, obtendremos el mismo resultado, ya que este valor satisface a ambas ecuaciones, así la solución es =3 y   mediante la coordenada (3,4).

Veamos ahora si estos valores satisfacen a ambas ecuaciones. Para esto sustituimos en las ecuaciones originales los valores obtenidos; veamos primeramente lo relativo a la primera de las ecuaciones:

Hacemos lo mismo en la ecuación 2 para comprobar que nuestras soluciones son correctas:

Resolver por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones lineales 

Para este sistema debemos buscar  que los coeficientes de o de sean además de iguales, de signo contrario. A simple vista no encontramos por qué número multiplicar las ecuaciones, conviene encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes, trabajemos en eliminar la , por lo que usamos el -4 y el 6, ya tienen signo contrario que los eliminará, ahora busquemos el mcm como lo viste en las unidades anteriores, encontrarás que es 12, por lo que nos indica que el -4 hay que multiplicarlo por 3 y el 6 por 2, y tendremos:

además, para la segunda:

De esta manera, las ecuaciones nos resultan de forma simultánea:

La suma de estas nuevas ecuaciones será: 

lo cual de manera evidente nos resultaría para el valor de que nos resulta en un valor para

Este nuevo valor nos ayuda a calcular el resultante valor de . Para ello, al igual que en el caso anterior, podemos sustituir el valor encontrado de =7 en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Tomemos la primera y desarrollemos:

Queda comprobar que los valores encontrados =4 y =-5 satisfacen ambas ecuaciones, las soluciones también son llamadas raíces de la ecuación.

Método de sustitución

Otro método de resolución es el llamado por sustitución, el cual lo indicaremos por pasos y lo explicaremos mediante el siguiente ejemplo:

Resolvamos el sistema:

Paso I: despejamos una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones.

En nuestro ejemplo despejamos de la primera ecuación:

Paso II: sustituimos el valor obtenido de en la otra ecuación

Paso III: como ya hemos encontrado un valor, ahora sustituimos este valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones dadas en un principio. Podemos observar que en el Paso I ya se ha dejado una ecuación en función de y, así que ahí podemos sustituir como: 

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

Paso I: despejamos x de la primera ecuación:

Paso II: sustituimos en la segunda ecuación:

Reducimos la fracción: 

Multiplicamos todo por 3 para quitar el denominador:

Se elimina un 3 que multiplica con un 3 que divide ( solamente en el primer término ya que estamos aplicando la propiedad distributiva.

Reducimos: ,  , ,  y=

Paso III: sustituimos y=3 en el despeje del paso I:

Resultado: (1,3) o =1, =3

Método de igualación

Recuerda que un sistema de ecuaciones lineales representa geométricamente dos rectas y como se indicó al inicio en nuestros ejemplos, son dos rectas que se cortan en un punto en común, este método también llamado método gráfico consiste en graficar las dos rectas y buscar el punto de intersección de ambas, veamos con un ejemplo cómo hacerlo.

Paso I: despejar de cada ecuación.

Se igualan las dos variables despejadas, pues en teoría son dos literales iguales, por tanto se puede expresar la igualdad como:

De forma similar, podemos encontrar el valor de la variable restante, lo cual se puede hacer mediante una sustitución en cualquiera de las ecuaciones. Así, tomando la primera ecuación:

Por lo tanto, la solución para este sistema es el par ordenado como (4,3)

Para practicar: 

En parejas resolver cada una de las siguientes ecuaciones simultáneas, con dos variables, por el método de suma y resta, sustitución e igualación. Comprueba tus resultados.

1.

Sol. x=14/9, y=16/3

2. 

Sol. x=2/9,  y=8/3

3.

Sol. x=10/3, y=-8/3

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

Una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas puede representarse como:

Las ecuaciones de primer grado con tres incógnitas se aplican en forma de conjuntos de ecuaciones agrupadas de la forma:

Un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas puede representar entre otras cosas tres planos en el espacio, con una gráfica de tres dimensiones y la solución que es una triada de valores () es un punto en el espacio en donde estos tres planos en el espacio se cruzan. Sin embargo, al tener sistemas de más ecuaciones e incógnitas no puede darse un significado tangible único como por ejemplo para un cuerpo en el aire en movimiento señala un desplazamiento de 3 dimensiones^[6].

Los métodos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas son semejantes a los examinados para las ecuaciones con dos incógnitas, el razonamiento es el mismo: tratar de encontrar cierta solución común a las tres ecuaciones. De acuerdo al grado de dificultad que implica el uso algebraico de tres incógnitas, solo analizaremos los métodos de solución por eliminación y por determinantes.

Método de eliminación

El método más directo para llegar a las soluciones y que nos lleva a las técnicas matriciales es el de eliminación. El primer propósito es reducir el sistema de tres incógnitas a un sistema de dos incógnitas. Después  resolver este sistema, como se desarrolló anteriormente.

Ejemplo:  resolver el siguiente sistema por el método de eliminación.    

Las ecuaciones deberán tener la forma , para un mejor orden la solución conveniente es numerarlas, por lo tanto:

1.

2.

3.

Enseguida analiza cuidadosamente las tres ecuaciones y elige la variable que se vaya a eliminar. La regla de elección es determinar cuál de las tres variables presenta mayor simplicidad para que, al ser multiplicada por un factor, se obtengan coeficientes simétricos en dos de las ecuaciones del sistema^[7].

En esta ocasión tiene el mismo coeficiente en la ecuación (1) y (3) y el coeficiente de la ecuación (2) es múltiplo de las otras dos. Entonces, nuestros pares de ecuaciones estarán formados por las ecuaciones 1 y 3 y por las ecuaciones (2) y (3).

Entonces el primer par de ecuaciones es:

Ahora la ecuación (1) se multiplica por (-1), enseguida se suma a la ecuación (3), obteniendo así la ecuación (4).

El segundo par de ecuaciones es: 

2.

3.

En este caso la ecuación (3) se multiplica por (-2), enseguida se suma a la ecuación (2) obteniendo ahora la ecuación (5).

Observemos que las ecuaciones resultantes (4) y (5) tienen dos incógnitas que son:  y  , de modo que ahora buscamos la forma de reducir una de las dos incógnitas para despejar la otra. En esta ocasión, los coeficientes de son simétricos, así que al sumarlas se eliminará esta variable.

De la ecuación resultante (6z=-6), se despeja :

Ahora sustituimos el valor de z en la ecuación 4 ó 5 para conocer . Por simplicidad sustituimos en la ecuación 4:

Finalmente sustituimos las dos incógnitas encontradas en una de las tres ecuaciones originales. Por simplicidad, sustituimos en la ecuación (1):

Podemos verificar que los valores hallados cumplan con las tres ecuaciones originales, primero para la ecuación 1:

Para la ecuación 2:

Y por último para la ecuación 3:

Hay una solución, que es la triada ordenada: (2,3,-1) para los valores respectivamente. 

Método de determinantes

El método de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2, 3 y 4 incógnitas, fue empleado en 1748 por Colín Maclaurin. En el siglo XIX  el matemático francés Agustín Louis Cauchy utilizó la palabra determinante y demostró el teorema de la multiplicación para matrices; además presentó resultados en la diagonalización de matrices, en este mismo siglo el matemático alemán Carl Gustav Jacobi incluyó y explicó el concepto de determinante aplicándolo al estudio de las funciones de varias variables múltiples. El primero en utilizar la palabra matriz fue el matemático británico James Joseph Sylvester en 1850 para diferenciar determinante^[8].

Un determinante se puede definir como un acomodo de coeficientes organizados en filas y columnas, las cuales dependerán del orden que tenga este y se puede representar con det A, ? (delta) o bien |A|, este último no deberás confundirlo con el valor absoluto de A.

Una matriz es una agrupación de números o elementos listados de la siguiente forma:

Observa que los subíndices representan el número de filas y columnas en que están ubicados. Por ejemplo: está ubicado en la tercera  fila de la segunda columna.

Cuando el número de filas es igual al número de columnas se dice que es una matriz cuadrada. Cabe señalar que para calcular el determinante de una matriz es indispensable que sea  cuadrada, es decir: que el número de filas y columnas sea al mismo^[9].

Ejemplos de matrices:

Estos arreglos vienen dados regularmente sólo por los valores numéricos de las ecuaciones, es decir por los coeficientes numéricos de las ecuaciones, razón por la cual se les llama matriz de coeficientes. Por otro lado, aúnque no hemos definido el método completo de solución de los sistemas de ecuaciones, diremos que es importante definir que estas matrices pueden tener un valor numérico; este valor numérico se calculará por medio de un proceso llamado determinante. Así, el determinante de una matriz de orden 2 x 2 se calcula mediante una fórmula específica, misma que se define como:

Ejemplo: hallar el valor del determinante de la matriz. 

Solución: aplicando la definición de determinantes.

Si tenemos el caso de un determinante de una matriz de orden 3 x 3, aplicaremos igualmente un algoritmo específico, que nos dará un valor numérico y que tendrá como base de solución el sistema anteriormente abordado (determinante de 2x2). El algoritmo o fórmula para su cálculo puede definirse como:

Hallar el valor del determinante de la matriz. 

Aplicando la definición de determinantes de este orden:

El ejemplo anterior es entonces el resultado del cálculo del determinante de un sistema de coeficientes del sistema A, en otras palabras: el valor del determinante A. 

El uso del cálculo de los determinantes se verá a continuación para el cálculo de los sistemas de ecuaciones mediante la regla de Cramer.

Solución de un sistema de ecuaciones de 3 x 3 por el método de Cramer 

El método de Cramer se utiliza cuando se quiere resolver un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes de matrices, donde el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y donde sus coeficientes son diferentes de cero. Analicemos un ejemplo:

resolver el siguiente sistema con la regla de Cramer.

Primeramente hay que verificar cuales son las variables del sistema. En este caso sus variables son x,y,z ,las cuales adquieren la forma .

Ahora hacemos un arreglo de los coeficientes para resolver los valores 

Si definimos los determinantes anteriores de la siguiente forma:

Entonces los respectivos determinantes (que ya hemos analizado cómo resolver) serán:

Es decir el determinante general se define solamente con los coeficientes numéricos del sistema de ecuaciones, el determinante de se define cambiando la columna primera por los valores resultado de cada una de las ecuaciones (que hemos llamado a estos coeficientes términos independientes y se denotan con  b). La solución de cada uno de los valores se definirá una vez calculados los determinantes aquí descritos con las siguientes fórmulas:

De acuerdo al sistema dado, procedemos entonces a calcular el determinante general o del sistema:

Realizando las respectivas operaciones tendremos:

Ahora calculamos Dx, para hacerlo sustituimos los respectivos valores en el determinante que definimos como Dx, quedando la definición del mismo con su respectivo cálculo como:

Luego calculamos :

Finalmente calculamos :

La solución del sistema, serán los valores que se calculen de acuerdo a las definiciones de cada variable (ya descritas anteriormente), así que con la sustitución de valores, tendremos:

Por tanto, el conjunto solución para este sistema será la triada (1,6,-1) o bien: x=1, y=6, z=-1. Igual que en los casos anteriores, este conjunto solución puede comprobarse sustituyendo los valores encontrados en cada una de las ecuaciones originales para comprobar la igualdad de cada una. De esta forma y de manera resumida en cuanto a operaciones podemos decir que:

Para resolver:

En parejas resolver cada una de las siguientes ecuaciones simultáneas, con dos variables, por el método de eliminación y determinantes. Comprueben sus resultados.

3.3 Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación que se puede expresar de la forma , donde a, b y c son números reales y constantes^[10], recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Si la ecuación se expresa en función de una nueva variable, entonces será una función. Las funciones cuadráticas tienen la forma:

Esta nueva notación puede tener la definición a partir del valor de f(x) que nos representa precisamente la relación que hay de toda la ecuación o lado derecho de la igualdad en función de la variable , de la forma definida a partir de , tiene más bien una relación con la representación gráfica, pues como es bien conocido en una representación gráfica hay una relación de acuerdo a las variables en los ejes coordenados .

Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en función del tipo de términos que presente, la completa se caracteriza por presentar los tres términos (el del coeficiente cuadrático , el lineal y el llamado término independiente c. Una ecuación cuadrática puede también ser incompleta por presentar sólo dos términos, puede ser pura ,o bien mixta^[11], algunos^[12] ejemplos de los tipos de ecuaciones cuadráticas serían:

Desde la antigüedad se utilizaban algunos métodos para dar solución a ecuaciones cuadráticas. De acuerdo a los escritos de Al-Khwarizmi alrededor de 820 d. de C., ya se estudiaban casos particulares de problemas como el de áreas rectangulares conociendo el área total del lote, la diferencia entre la base y la altura del rectángulo. Ellos completaban el cuadrado, posteriormente en el año 2000 a. de C. aproximadamente, los babilonios daban solución a los problemas con un método semejante y en tablas hechas de barro escribían los desarrollos del problema de acuerdo a las dimensiones del rectángulo^[13]. 

Alrededor del año 300 a. de C. Euclides presentó algunas soluciones para encontrar el área de un rectángulo y su procedimiento de solución es el más semejante al que utilizamos en la actualidad que le llamamos completar cuadrados^[14].

Métodos de solución de ecuaciónes cuadráticas con una variable

A la solución de una ecuación cuadrática también se le conoce como raíz de la ecuación, estas pueden ser reales o imaginarias, por lo que debes de recordar las propiedades de los números reales y complejos^[15]. Empezaremos a dar solución  a las ecuaciones cuadráticas por diversos métodos como: factorización, completando el trinomio cuadrado perfecto, por fórmula general y por uso del discriminante.

Método de Factorización

Este método lo emplearemos solo si la ecuación es factorizable y tomaremos de referencia el siguiente teorema^[16], también conocido como la propiedad del factor cero^[17] :

Si y pertenecen a los números reales.

Si

La propiedad el factor cero nos indica que si el producto de dos o más números es cero, entonces al menos uno de los números es cero. Veamos algunos ejemplos aplicando este método de factorización en las ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo: utilizando factorización resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

Se buscan dos números que multiplicados nos den -10 y sumados o restados esos dos números nos den -3. Estos números pueden ser 10 y 1 o 5 y 2, vemos que estos 2 últimos son los que cumplen con la condición descrita. Después, se forman 2 binomios, el primer término la raíz de x² y el segundo con los valores 5 y 2 con los signos adecuados -5, y 2.

Para que esta condición se cumpla, uno de los factores (en este caso binomio) debe ser cero, por lo que se iguala cada binomio a cero y se resuelve a partir de la condición: 

lo que nos da: 

que es la primera solución.

Para la siguiente solución se toma el siguiente factor que es +2, el cual de acuerdo a la condición del producto igual a cero nos hace proponer que: x+2=0, de donde: 

X=-2

Recordando que la ecuación cuadrática, presenta dos soluciones.

Encuentre el conjunto de soluciones de la ecuación cuadrática: 

utilizando factorización.

Lo desarrollamos de manera análoga al ejemplo anterior: 

primera solución 

 segunda solución.

Encontremos por factorización, el conjunto de soluciones de la ecuación cuadrática:

Es una ecuación cuadrática incompleta mixta, que presenta el mismo factor en cada uno de sus términos, por lo que aplicamos el método de factor común^[18], este método consiste en buscar el máximo común divisor de los coeficientes de cada término de la ecuación cuadrática, a este término se le adiciona la o las literales repetidas en los dos términos y con el menor exponente. Este término es el factor común, veamos el desarrollo del ejemplo: 

; igualando a cero cada factor tendríamos:

Hallaremos por factorización el conjunto de soluciones de la ecuación cuadrática:

Como corresponde a una ecuación cuadrática incompleta pura, su solución es inmediata despejando la incógnita^[19] 

soluciones 

Método Completando el trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P).

Recordando el tema de productos notables, el cuadrado de un binomio nos da un trinomio cuadrado perfecto^[20], por ejemplo es un trinomio cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de un binomio. Considerando la siguiente expresión como un trinomio cuadrado perfecto: 

 de manera análoga tendríamos:

Las propuestas anteriores pueden ayudarnos a recordar algunas características de un trinomio cuadrado perfecto, en donde dos de los términos deben de estar al cuadrado: r²y t² además ser positivos. Si multiplicamos sus raíces; r y t y duplicamos el resultado, se obtiene el segundo término, o su inverso aditivo,-2rt. Esta explicación tratando de mostrarla en forma concreta puede resultar confusa, pero veamos algunos ejemplos para dejarla mas clara:

Completar el trinomio cuadrado perfecto para dar con la solución de la siguiente ecuación cuadrática:

De la ecuación original despejamos el término independiente, 8 para nuestro caso:, de aquí podemos ver que el coeficiente de x es 2, por tanto se toma la mitad que nos daría 2/2=1; este resultado se eleva al cuadrado 1²=1,  y lo sumamos en ambos miembros de la ecuación y obtenemos: 

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto como un binomio cuadrado se obtiene: 

Sacamos raíz cuadrada en ambos miembros, tenemos:  

Despejamos y las soluciones son:

Resolviendo la ecuación , completando el trinomio cuadrado perfecto. 

Siendo  la ecuación dada; dividimos ambos lados entre 2:

Sumando 7 en ambos lados:

Completando el trinomio cuadrado en ambos lados;

Factorizando: 

Calculando finalmente la segunda incógnita:

Para practicar:

En equipos de tres, determinar las raíces de las siguientes ecuaciones de 2º grado, completando el trinomio cuadrado perfecto:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

Método por Fórmula General

Para resolver una ecuación cuadrática de la forma: en donde por condición debe cumplirse que , podemos aplicar la fórmula general, que surge de despejar el valor de de la ecuación anterior y resulta^[21] :

por lo que las soluciones de una ecuación cuadrática son: 

Resuelve la ecuación , mediante la fórmula general.

Partiendo de la fórmula general y considerando: , que los coeficientes serán: . Por tanto, sustituyendo en la ecuación original tenemos:

Cada valor se calcularía como:  

De esta manera el cálculo para cada uno de los resultados es:

Resuelve la ecuación mediante el método de  la fórmula general.

En principio, identificamos los coeficientes de la ecuación:

Sustituyendo estos valores en la fórmula general:

Los valores por ende serán:.

La comprobación de estos valores puede hacerse rápidamente con la simple sustitución de cada uno de los valores encontrados en la ecuación original. Así, para el primer valor:

, sustituyendo:, desarrollando: , finalmente: , lo cual demuestra que el valor es correcto.

Para practicar:

En parejas encuentren las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

Método del uso del discriminante de la fórmula general

El discriminante nos permite conocer la naturaleza  de las raíces de una ecuación cuadrática. Considerando la ecuación cuadrática , siendo [a,b,c] coeficientes reales, el discriminante^[22] de dicha ecuación es: , que como puede observarse es el valor del radical de la fórmula general.

Procedimiento para el cálculo del discriminante y su significado.

Sin resolver la ecuación al evaluar el discriminante podemos ver^[23] que podemos tener tres diferentes situaciones en el resultado de este discriminante:, 

Sí , en este caso el resultado serán dos raíces reales e iguales.

Si  las raíces son reales pero diferentes.

Y por último, las raíces son imaginarias.

Utilizando el valor del discriminante investigaremos si las raíces son iguales, diferentes, reales o imaginarias, considerando la ecuación cuadrática: 

Encontrando los valores numéricos de los coeficientes: a=1, b=1 y c=24 podemos plantear al discriminante como: . Sustituyendo los valores tendremos:

Como el valor -95<0, las raíces son imaginarias y diferentes. Este resultado no es el valor de las raíces, pero nos indica que si realizamos el cálculo completo de cada raíz, su resultado no será posible de definir al menos como un número real.

Utilizando el valor del discriminante investigaremos si las raíces serán iguales, diferentes, reales o imaginarias, considerando la siguiente ecuación cuadrática:

Si definimos los valores de a=1, b=8, c=-16, el discriminante sería Como 128>0, las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

Considerando el discriminante, ¿cómo son las  raíces de la siguiente ecuación?:

Definiendo el valor de los coeficientes numéricos como: a=1, b=8, c=16, el valor del discriminante será:. Como 0=0, las raíces son reales e iguales. Por último, cabe señalar que el discriminante puede además definir el resultado en el cálculo de la ecuación cuadrática. De esta manera, si el resultado del discriminante es un Cuadrado Perfecto mayor que cero, las raíces serán números racionales y diferentes. Pero si el discriminante es positivo y no tiene la forma de un cuadrado perfecto, el resultado serán dos números irracionales y diferentes. 

Para practicar:

En equipos de 4, determinar el tipo de solución que se obtendrá en cada ecuación  calculando el discriminante.

1.-

2.-

3.4 Problemario

I. Para cada una de las siguientes ecuaciones, verificar si el valor sugerido es correcto o incorrecto,  comprobarlo haciendo la  sustitución.

II. Para cada una de las siguientes igualdades, calcular el valor de la incógnita comprobarlas con el valor encontrado.

Para los siguientes sistemas de ecuaciones, encontrar los valores de x,y de acuerdo con el método indicado.

III. Método de  suma y resta (reducción):

IV. Método de sustitución:

V. Método de igualación:

VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación. 

Calcular el determinante de las siguientes matrices:

VIII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de determinantes.

Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas de acuerdo al método sugerido:

IX. Por factorización:

X. Completando el trinomio cuadrado perfecto:

XI. Utilizando la Fórmula General:

XII. Calcula el valor del discriminante y determina si las raíces de la ecuación cuadrática son reales diferentes o iguales, o imaginarias diferentes:

3.5 Soluciones del problemario

I.

Errata punto 4. x=10/17

II.

Errata punto 7.  y=-1/16

Errata punto 8. y=-6/33

III. 

V.

Errata 4. x=-4, y=14

Errata del inciso VII. Punto 5. -127

Errata del inciso VIII. Punto 3. x=1/2, y=3/2, z=4

Errata inciso X. Punto 5. x₁=1/2, x₂=3/4

3.6 Conclusiones

Las manipulaciones numéricas que se han realizado por parte de la humanidad a lo largo de su historia han venido desarrollando reglas para hacer esas manipulaciones de forma eficiente. Dichas reglas se han formalizado mediante propiedades y postulados de la igualdad entre los números reales. De hecho, utilizamos casi sin notarlo muchos de estos postulados en nuestras operaciones aritméticas diarias. Así, realizar sumas y restas entre otras de las operaciones, nos lleva a generalizar propiedades numéricas incluso en aplicaciones concretas de la generalización de estas propiedades en lo que hemos llamado álgebra; pero el álgebra no es solo la manipulación de símbolos que lleguen a tener significados, sino que estos símbolos cuando tienen relación entre ellos, además de significado, tienen aplicaciones en gran parte de nuestra vida diaria. La manipulación de expresiones y ecuaciones algebraicas vistas en este apartado son un principio para un maravilloso futuro de análisis de funciones. Hasta ahora vistas y tratadas como ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas y ecuaciones de primero y segundo grado, las aplicaciones de las mismas se asoman al final con algunos ejemplos y seguramente nos llevarán a interpretaciones de fenómenos diarios en donde hemos comenzado a ver a las matemáticas y sus aplicaciones como una herramienta de aplicaciones directas y prácticas. El futuro en nuestros estudios de las matemáticas es no solo prometedor, sino además maravilloso.

Referencias

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