Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Filho Enrique Borjas García
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

4. Razonamiento objetivo

Las matemáticas puras se refieren a la exploración de conceptos matemáticos derivados inicialmente del estudio del espacio geométrico, la noción de número dentro de un sistema numérico; la habilidad de categorizar dentro de la teoría de conjuntos y el sentido del evento improbable para la explicación de la teoría de probabilidades. Para captar y comunicar ideas matemáticas debemos hacer declaraciones en forma de proposiciones acerca de objetos matemáticos y a continuación, determinar si en tales declaraciones existe o no contradicción. Es muy difícil precisar lo que son estas declaraciones matemáticas, dado que solo en el mundo platónico de estas abstracciones, se les reconoce como piezas de estructuras de la razón. Estas declaraciones son propuestas demostrables en su verdad, es buen criterio llamarles proposiciones, sentencias que solo admiten dos estados: falso o verdadero. Escribiremos una lista que en principio, no nos interesa su evaluación de estado:

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En esta última proposición, n es una variable numérica, es decir, que se le asignan valores a n. Esta sentencia se denomina del tipo predicado, dado que los símbolos deben recibir valores con el fin de obtener una proposición producto de variables libres. La palabra estado se usará para denotar una proposición o un predicado. Así que la lista anterior son estados. Cuando utilizamos una sola letra en mayúsculas A o P, se indica el estado de la proposición, cuando se expresa como A(n) o P(m,n) se indica un estado del predicado con variables libres, indicadas entre paréntesis.

Generalmente los matemáticos agregan la leyenda “donde n y m son”, especificando las variables en su naturaleza.

Por ejemplo, en particular es muy difícil definir al número pi (), originalmente fue definido geométricamente, como el cociente de la longitud de la circunferencia de un círculo entre la longitud del diámetro del círculo. Esta definición debió ser justificada al definir lo que es la longitud de un círculo y, después demostrar que la relación es independiente del tamaño del círculo. Esto fue alcanzado por nuestra civilización en la época de la Grecia clásica. Un hexágono inscrito dentro de un círculo de diámetro unidad, tiene para este caso pi>3. Arquímedes demostró por medios geométricos en su libro, sobre la medición del círculo de radio r, una prueba rigurosa de la fórmula (los detalles los podemos encontrar en textos de análisis matemáticos).

Esto quiere decir, que las proposiciones son la unidad de razonamiento, pero no solo del pensamiento matemático, sino de todas las estructuras de razón de la ciencia, estas estructuras son cadenas de proposiciones y operadores (una lógica de conectores también llamados partículas discursivas) dentro de la técnica, la ciencia, el arte... En matemáticas también las proposiciones están en forma de cadenas de razón, son proposiciones eslabonadas con operadores, en otras palabras, podemos verlas como cláusulas o declaración más operadores. Muchas declaraciones (cadenas de razón) son complejas estructuras de estados, conectadas lógicamente por varios operadores. Por el momento, citamos algunos operadores:

En resumen, una declaración matemática tiene forma de cadena de proposiciones y operadores, al modo de una lógica conceptual de Frege. Sin embargo, la matemática en su tarea sustantiva, establece la verdad de las declaraciones, mediante la demostración de pruebas generalmente hipotético-deductivas y de implicación.

Una demostración es esencialmente una secuencia de sentencias (proposiciones) a partir de declaraciones de verdad, terminando con la prueba de la declaración inicial. Cada declaración es verdadera porque es afirmada por las anteriores en la secuencia del proceso lógico. La justificación de estas medidas, generalmente hace uso del concepto de implicación, este concepto refiere a la afirmación de que si una declaración es verdadera, entonces otra declaración particular también será verdadera.

El símbolo generalmente utilizado para denotar implicación en matemáticas puras es , hay una variedad de frases que trasmiten el mismo significado. Por ejemplo, , se lee si P es verdadera entonces es verdadero SQ, un estado de Q, que a menudo se lee como P implica a Q. El significado se hará preciso por medio de una tabla de verdad. Podemos ver esto sobre un número n entero.

Supongamos que P(n) es el estado , y Q(n) la declaración de estado . Donde n es un número entero. Entonces la declaración:

, Por ejemplo:

Es la afirmación, sí un número n es mayor que 3, entonces es mayor que 0, que es ciertamente una declaración verdadera. Observe que esta declaración es verdadera para cada entero n a pesar de la declaración es verdadera y falsa para n valores del estado . Es decir, considere las posibilidades:

En el discurso cotidiano cuando decimos que P implica a Q, esto sugiere que el estado P causa que Q sea verdadera. La idea de causalidad es difícil de conceptualizar con precisión, por lo que se elimina del uso matemático, en su lugar, se usa la palabra implica. Esta diferencia de uso ordinario se clarifica en la lógica matemática donde una declaración de la forma , se conoce como una instrucción condicional en lugar de una implicación.

Otra forma de motivar el uso de la implicación, es considerar su forma negativa, la declaración que P no implica a Q, escrita como . Esto será cierto precisamente en la circunstancia cuando queremos decir que P no implica a Q. Note que esto significa que los estados y son lógicamente equivalentes. Esta equivalencia se emplea en el discurso cotidiano. Por ejemplo, “No leer las notas del libro” o “no comprender las notas del libro”, esto tiene el mismo significado que “si no lees las notas del libro, entonces no comprendes las notas del libro”. Aquí, P es la declaración “si no lees las notas del libro” y Q “no comprender las notas del libro”.

Implicaciones universales. En un sentido estricto las declaraciones:

Estos predicados dan diferentes proposiciones para cada valor de n. Sin embargo, utilizamos a menudo declaraciones de esta forma para significar que el predicado conlleva a una proposición verdadera para cualquiera que sea el valor asignado a la variable libre n; a esto se llama estado universal. El posible rango de valores para las variables libres se puede explicar en el texto con una frase como “para todo entero n” o “donde n es un entero”. Por lo general es una buena práctica hacer el rango de valores explícito.

Una declaración de este tipo es falsa si no es un estado universal, en otras palabras, por lo menos hay un valor posible para que la variable falle. Considere la declaración para los números verdaderos x. Podemos construir una tabla de la verdad que a continuación se presenta.

Aquí, las entradas en la última columna están determinadas por las entradas en las anteriores dos columnas, usando la tabla de verdad de la implicación anterior. Vemos en esto que hay valores de x para x>0 y , por ejemplo x=1/2, no es universalmente cierto para . Esto significa que, para números reales x, x>0 no implica que , se puede escribir:

Se trata de un estado de existencia: dice que hay un valor x para los cuales la hipótesis es verdadera, pero, es falsa la conclusión. Tenga en cuenta que empleamos letras del alfabeto como n para denotar enteros y letras del final de alfabeto como x, para expresar variables para entradas de números reales.

Consideremos la siguiente declaración acerca de un polinomio con coeficientes reales, como: o

Para los números reales a, si entonces a es positiva, es decir, a>0.

La negación de esto, es la afirmación de que la implicación es falsa para algún número real a, en otras palabras, y para algún número real a. Este es precisamente el estado que identificamos como negación.

Hay muchas maneras de leer a la implicación , que también puede escribirse como y algunas de las más comunes se enumeran a continuación:

Si P entonces Q.
P implica Q.
Q si P.
P solo sí Q.
Q cada vez que P.
Q es necesaria para P.

Tenga cuidado con la tercera, la cuarta y también con las dos últimas, para ello es importante apreciar la diferencia entre y . El estado es llamado converso de un estado . Es el estado converso y conversos entre si, cuando ambas implicaciones se cumplen las escribimos por lo tanto la definimos como:

Se pueden leer:

P es equivalente Q.
P es necesaria y suficiente para Q.
P es y solo es Q.
P precisamente cuando Q.

La verdad matemática

Es razonable preguntar cómo podemos empezar para establecer la verdad como estado de las proposiciones. Si se trata de axiomas, estas proposiciones son verdaderas por ser evidentes para nuestra especie, en caso contrario, las proposiciones son un tipo derivadas de axiomas, estas deben ser demostradas por otras vías proposicionales cerrando un círculo de coherencia. La verdad matemática, para todo objeto matemático estructurado en su más profundo origen es axiomática, es decir, se encuentra solo en el espacio matemático, es producto de una mente que realiza la demostración, no es producto de ningún consenso entre individuos. En el mundo de los objetos matemáticos también hay fisuras lógicas con las que hay que lidiar, tal como la división entre cero.

Demostración

Una demostración, es sobre una proposición matemática, es una argumentación coherente en cada paso lógico que establece la verdad de su declaración. Los pasos de la discusión lógica son proporcionados por implicaciones. Estudiar demostraciones para Usted, le proporcionará un pensamiento coherente, le entrenará para que pueda mirar por atrás de los objetos matemáticos las piezas de objetos que le permiten estructurar su forma final. Puede pensar usted a la demostración, como una forma de erigirse en la construcción de la verdad matemática. Sin embargo, la dificultad para el novel que se introduce por primera vez en la demostración, es real, dado que su razonamiento no está educado para el rigor lógico de las proposiciones matemáticas.

Cuando aplicamos técnicas matemáticas, por simplicidad, generalmente los libros de texto no conservan las piezas de demostración de los objetos matemáticos, con ello, el pensamiento de aplicación se debilita y se desordena, la alternativa es proporcionar suficiente información de los pasos que siguieron los maestros de las matemáticas que llegaron por vez primera a dichas demostraciones y otros, que las hicieron más elegantes o por caminos más eficaces. En muchas ocasiones, solo se le presentan al aprendiz las verdades que fueron demostradas en forma de Teoremas, de este modo se pretende reducir la complejidad de pasos y dirigir el aprendizaje a su aplicación y habilidad de resolver ejercicios matemáticos.

Algunos docentes argumentan, que se elimina la excesiva precisión de las demostraciones por hacer más fáciles de leer las verdades matemáticas a las que se ha llegado. Pero esto ocasiona que el estudiante no desarrolle la tolerancia que exigen las matemáticas en materia mental para lograr coherencia, esa que en extremo caracteriza al pensamiento matemático. Es decir, el estudiante frente al pensamiento matemático asume una actitud pedante dado que los “por qué” no son explícitos, y esto es enemigo de su aprendizaje ^[1].

El pensamiento matemático, para desarrollarse con éxito en el novel, es necesario dar por anticipado a cada demostración todos los ladrillos que permiten la construcción formal de las demostraciones de orden superior, las propias piezas que sostienen al objeto matemático superior, son una forma de reconstruir cada demostración matemática. Las demostraciones las hay por implicación directa; por pruebas de contradicción; por pruebas de casos o por pruebas reversibles.

Referencias

[1] Tall, D. (2008). Advanced Mathematical Thinking (Mathematics Education Library) (1991 ed.). Springer.