Texto académico

Autores

 

_____________________________

 

 

3. Resolución de problemas


Investigar sobre lo desconocido, es participar en trabajar en un problema científico, técnico, social, moral, artístico. Para hacernos de ideas, en primer lugar, hay que decidir encontrar o inventar un problema entre los cognoscibles, que no sea muy humilde o que sea muy ambicioso. Plantear un problema es reconocer lo desconocido desde la literatura que disponemos. Son las preguntas las que nos permiten generar enunciados que formulan un problema. Básicamente vivir es resolver problemas cognitivos, morales, técnicos. El cómo, porqué, qué existe, qué es verdad, son audaces caminos de investigación. Un problema es una declaración que determina lo desconocido; es un acto lingüístico interrogatorio en el que se plantean vacíos de conocimiento. Dentro de la acción de aprendizaje, el problema es el primer eslabón lógico del estudio del fondo sobre lo que se desconoce, es el generador de argumentos y el regulador del control para alcanzar soluciones. 


El asunto de fondo es el conjunto de conocimientos de lo conocido y lo desconocido, las propiedades racionales que asignamos a una posible solución, el control de los experimentos o marcos de la discusión de argumentos para obtener conclusiones. Estas son las piezas de un planteamiento del problema. 


Un problema "qué es x tal que ocurre o existe" (asunto de fondo).

Un problema "qué propiedades de x son necesarias" (conocimiento sobre la naturaleza del algo).

Un problema "cómo sucede x, cuando A implica B" (la lógica involucrada en el sistema).

Un problema " dado A y, A implica a B, encontrar la participación de A" (control de la solución de las variables involucradas).


El problema de conocimiento sobre un problema es sobre manipular entradas y salidas para determinar lo desconocido. La mayoría de los problemas en la salud (diagnóstico), son sobre entradas y efectos; los problemas sobre salidas, consisten en sacar conclusiones sobre que causa un estado de salud. 


¿Por qué hay algo en lugar de nada?, ¿Cómo medir quién está más vivo?, ¿Cómo es una verdad absoluta? estas preguntas orientan a pseudoproblemas, dado que no es posible realizar una investigación científica que concrete un estado de verdad. Un problema no es construir enunciados que nos conduzcan a la ambigüedad, debemos encontrar enunciados que en términos de evidencia, demostración, explicación y justificación podamos sacar conclusiones posibles sobre un estado de inferencia sobre la verdad hipotética deductiva o inductiva. Plantear un problema es escribir sentencias del tipo proposición que declaren y clarifiquen las piezas sobre lo desconocido a partir de lo conocido por una comunidad de conocimiento.


Lo deductivo, es a razón de implicaciones lógicas entre proposiciones, inferir conclusiones. Lo inductivo es tomar de un universo de datos dispersos, generalizar explicaciones sobre el fondo que los genera. Así que investigar un problema, ese que fue planteado en su justificación en que otros también lo reconocen como real, es el punto de partida que nos exigirá todo nuestro poder racional para explorar lo desconocido en él. 


3.1 Lenguaje y pensamiento objetivo


La capacidad humana para hablar y entender el lenguaje natural es uno de los logros cognitivos (capacidad de conocer) más sofisticados y milagrosos de nuestra especie. Al parecer compartimos muchas habilidades con otros animales, tales como memoria visual, auditiva, capacidad de contar, calcular en el espacio lo geométrico, pero hay una que definitivamente nos distingue, estamos refiriéndonos al lenguaje. Realmente cómo surge y porqué solo en nuestra especie es un gran misterio. Es un recurso innato en recién nacidos como lo sugirió Chomsky. En un humano recién nacido, podemos observar que viene equipado con una base axiomática, reconocible en sus capacidades matemáticas innatas:


1) Mónada. Es capaz de reconocer la unidad mediante un acumulador cerebral del registro del tiempo, se cree que al reconocer la unidad en la realidad y percibir el paso del tiempo, puede desarrollar la capacidad de contar, que será fundamental para un desarrollo de la noción de número, la geometría, las álgebras y los sistemas numéricos[1].


2) Espacio. Una clara evidencia de que reconocen en el espacio la profundidad, la altura y lo ancho, es cuando con las manos llama a mamá percibiéndola en una ubicación espacial concreta a distancia. Esta verdad sobre el espacio le permitirá desarrollar su noción de dimensión geométrica y cálculos espaciales[2].


3) Categoría. El bebe humano puede categorizar entre mamá y papá; ello sugiere que la habilidad de categorización está presente desde el nacimiento, de ella dependerá que pueda desarrollar la noción de conjunto, función, ecuación[3].


4) Probabilidad. Sí le preguntamos a mamá, ella podría decirnos esta verdad, que los bebes juegan a manipular la voluntad y exigir la presencia de ella a su disposición, es decir, ensayan la probabilidad tomando decisiones por datos de correlación[4].


5) Lógica.  Aquí los bebes humanos, muestran que hay una razón a priori para esperar que la cognición humana incluya una lógica mental. La cognición humana registra información proposicional en una memoria declarativa. Es decir, los operadores discursivos como “y, o, negación…” están presentes de manera innata en los humanos. De ellos, se genera la lógica que dota del potencial racional al humano[5].


Enseguida exponemos un hallazgo contundente, emplearemos rigor en los términos científicos, pero creemos que usted es capaz de deducir los resultados que prueban que nacemos con una base axiomática para nuestra capacidad lingüística.


El primer GWAS de capacidad matemática se realizó entre niños con capacidad matemática alta y baja respectivamente, en una gran muestra de individuos que abarcó toda la distribución de la capacidad matemática[6]. Estos estudios mostraron señales de asociaciones con la capacidad matemática, pero ninguno de ellos alcanzó un nivel significativo para cada capacidad axiomática humana particular. En un estudio de 2017, por primera vez se tiene evidencia de la asociación de un solo SNP con la capacidad matemática a nivel genómico amplio en poblaciones generales. Un SNP es la identificación de numerosos polimorfismos de un solo nucleótido. SNP, un gen candidato para una pregunta relevante, que podría proporcionar un conocimiento exacto o parcial de factores, en este caso de capacidad matemática en los humanos. 


El lenguaje no solo es para registrar la memoria, comunicar nuestras expresiones; fundamentalmente es una herramienta para pensar. Sin el lenguaje no habría ninguna ciencia, literatura, ingeniería o matemática. El lenguaje nos permite participar en sofisticados comportamientos coordinados en estructuras sociales y políticas. El estudio del lenguaje es el centro de la investigación de los biólogos del aprendizaje y la razón. Chomsky uno de los grandes lingüistas modernos, sostiene que los humanos nacemos con una estructura subyacente que está por debajo de todos los patrones de nuestra gramática generativa. Una cosa es explicar la gramática abstracta que nos enseñan en la escuela y otra muy distinta,  explicar cómo es que podemos desde la biología realizar de manera innata esto. En otras palabras, la gramática escolar nos dice que debemos saber, pero no dice nada de cómo ese conocimiento se almacena o cómo se utiliza en el cerebro. 


La inteligencia artificial fue inspirada bajo la creencia de que los humanos operamos en la secuencia de una serie de sistemas. El sistema sintáctico hace referencia al análisis de reglas de estructuras del código y luego entrega esa información al sistema semántico, aquí se producen los significados que serán conectados a estructuras sintácticas abstractas en forma de cadenas de razón, producidas por un sistema deductivo[7]. Cada nivel de comprensión lingüística implica supuestos y conjeturas acerca de lo que ocurre en el discurso humano, se observa este orden en la comunicación y en el acto de pensar como una forma no lineal entre el tiempo de la redacción y el de razonamiento. 


Muchos científicos sugieren que se pueden estudiar los procesos cognitivos (proceso de la capacidad de conocer) independientemente de su realización biológica. Tal como es posible hacer software (mente) sin conocer el hardware (cerebro). 


Hay un salvavidas disponible para cualquier persona que se ahoga en lo ilógico del mundo moderno, y ese salvavidas es la razón que posibilita al pensamiento. Pero como cualquier sistema de auxilio, para usarlo solo debemos usar su lógica. Esto significa no solo comprender mejor a la lógica, sino también comprender a las emociones, a las estructuras de la razón, a las interacciones con los modos de pensar (inteligencia) y a los productos de la razón (el pensamiento).


Pensar es una disciplina para interactuar cuidadosamente entre el lenguaje natural (español) y las técnicas de lógica que la matemática provee en el fondo de todo razonamiento. Las ideas se tratan de argumentos con rigor lógico y luego este último emplearlo para justificar la verdad en la socialización humana con fines de producir acuerdos, consensos y grandes obras científicas, artísticas, de técnica…, se entiende a las matemáticas que no son solo números y ecuaciones, son más una teoría de la justificación de la verdad. Son el marco para construir ideas objetivas, que regulan las inferencias sobre cadenas de razonamientos. 


La disciplina de las matemáticas cuidadosamente ha perfeccionado su presencia en los textos argumentativos. En el español a los operadores con los que se construyen las razones se les llama partículas discursivas, son elementos que segmentan a un tipo de oración llamada proposición. De esta manera nuestras ideas logran ser coherentes, es decir, sin contradicción lógica. Pero el mayor poder, es que son la herramienta para razonar de maneras infinitas a la realidad. 


El punto de partida es que construir ideas objetivas que formen un conocimiento, es dominar el proceso de construcción de argumentos. Las premisas o proposiciones son los fundamentos en las cadenas de razón. Estas se verán con más de talle en la siguiente sección.


Si la pura idea de que construir argumentos involucra a las matemáticas le parece remotamente abstracta, es porque toda idea lo es, involucra verdades con un propósito y consecuencias de conclusión. Sin embargo, falta un factor muy importante, las emociones. Si bien la lógica en las matemáticas puras funciona muy bien, la vida del conocimiento es más complicado que esto. La vida de lo humano siempre tiene presente a las emociones. De hecho cuando las emociones y las razones están juntas en la misma conspiración virtuosa, son una fortaleza  y el poder de pensamiento es más audaz en lo complejo. Pensar más claramente es lograr más profundidad en la comprensión y esto da como efecto no solo una lógica más profunda, sino más compasión de los seres humanos con sus semejantes y con otros seres vivos. En casos en que las emociones conspiran contra la razón, es claro que se presenta un sesgo dirigido en el sentido de la emoción. 


El mundo, estamos todos de acuerdo que es algo muy complejo, difícil de comprender y de calcular su comportamiento. Si queremos con eficacia abordarlo, tenemos que simplificarlo. Hay dos maneras de hacer algo más simple, podemos olvidar partes de él, o podemos llegar a ser más inteligentes y ampliar el alcance de nuestras razones. La lógica en el discurso científico, está determinada por cadenas de proposiciones y operadores discursivos del español en nuestro caso.


Las proposiciones son sentencias que afirman sobre una verdad sin ambigüedad, es decir, solo admiten dos estados en su evaluación: falso y verdadero. Cualquiera puede hacer afirmaciones sobre lo verdadero, el problema es justificar que esa afirmación es cierta y que es pertinente al contexto en ellas la razón tiene el propósito de producir piezas de conocimiento.


Temas tan diferentes tienen diversas maneras de acceder a la verdad. La verdad en el mundo material se determina usando el método de la investigación científica, claramente definido por la probabilidad de lo que puede ser correcto. Implica generalmente construir la teoría (argumentó de tesis), reunir pruebas de verdad, construir las cadenas de proposiciones (cadenas de razones) y aportar evidencia que corresponde con la realidad en rigor. 


La verdad es accesible desde la lógica, no solo la usamos para probar las proposiciones, sino además, para producir la cadena de razonamiento que las une y la inferencia de conclusión. Es cierto que la lógica de los operadores discursivos es importante, pero no debemos subestimar el sesgo cognitivo, es decir, el papel que juegan las emociones en la intención de provocar la verdad sin rigor lógico. 


La palabra lógica a veces se produce en torno a desacuerdos para tratar de dar argumentos de peso. Estar siendo lógico en nuestras razones, no siempre es suficiente, debe probarse que la verdad que se enuncia sea respaldada con evidencia. Un sabio consejo es, en lugar de intentar evadir la comprensión de la lógica discursiva, es mejor simplemente abordar a su conocimiento estudiando el rol modal de cada operador discursivo. 


Uno de los requerimientos principales para tener un marco claro para acceder a la verdad es la capacidad de ponerse de acuerdo sobre las cosas. Esto parece muy radical en un mundo donde las personas parecen disfrutar estar en desacuerdo con otras. La razón tiene un principio de valor epistémico necesario para toda discusión, es moralmente correcto reconocer cuando nuestras ideas están mal justificadas o sus fundamentos carecen de contexto. Esta idea de establecer criterios lógicos sobre la verdad, es un claro marco lógico para llegar  a consensos y hacer productivas  las discusiones que claramente son el medio para el objetivo de establecer verdades en la toma de decisiones o en explicaciones. 


Los propios matemáticos suelen desde la demostración resolver sus alegatos, quizá porque en ellos hay una solida ventaja en el manejo de la lógica. No se puede ganar una discusión solo gritando más fuerte o impidiendo expresar las ideas, les guste o no a algunos, Galileo expreso, “sin embargo la tierra se mueve”. Es necesario emplear un sistema de pensamiento basado en la razón más rigurosa posible: la argumentación. 


Un cuerpo de sistemas de argumentos, es una teoría. La teoría es una explicación que es rigurosamente probada de acuerdo con un marco de justificación y demostración de su verdad. El rigor de una teoría lo reconocemos cuando resolvemos las dudas de la probabilidad implicada, la evidencia necesaria y la coherencia de sus razones respecto a la no contradición de sus cadenas de premisas.


El marco para demostrar que algo es verdad, es someter a nuestros argumentos a las pruebas de lógica, suficientemente claras como para no dejar duda. Las matemáticas se emplean en la vida real, dado que esta última contiene especificamente muchos matices subjetivos e incertidumbre que no podemos ignorar como aspecto de lo real.


Los argumentos sobre la realidad material no están tan libres de incertidumbre como si lo están, los argumentos matemáticos. Pero tampoco los objetos de la realidad material se comportan del todo según la lógica. La lógica es un proceso de construcción de argumentos por deducción cuidadosa de evaluación de implicaciones, inferencias, evaluar las premisas y cadenas de razón. Así que para estudiar lo desconocido tenemos que lidiar con nuestras emociones que harán ver a la lógica como separada de la realidad. Argumentar es un movimiento racional, de llevar al mundo real al examen de evaluación de la abstracción lógica de las ideas. La ventaja de trasladar el mundo material o social al de la razón, es que en este último todo se comporta lógicamente. Dicen que la locura es hacer lo mismo, esperando que otra cosa suceda. La lógica nos permite identificar nuestros sesgos racionales. Un aspecto esencial de argumentar, es que permite sacar a la superficie de nuestra conciencia los detalles que hemos olvidado. 


Construir y reconocer los segmentos de las cadenas de razón: proposiciones + operadores discursivos, es un primer paso para pensar con rigor lógico. Si no lo concedemos como actitud en la vida diaria no podremos hacernos de procesos lógicos para encontrar soluciones. 


La argumentación es un sistema de pensamiento, un conjunto de elementos interconectados trabajando juntos en un entorno determinado a alcanzar objetivos de conocimiento justificado, fundamentado, explicado, demostrado, referido a evidencia, hechos, conceptos, datos, información y teoría en la búsqueda de la verdad. Esta actividad es sistémica, rompiendo las piezas del conocimiento en pequeñas y digeribles actividades de la razón. Argumentar es mirar en lo profundo a la realidad. La naturaleza de argumentar es la síntesis de combinación lógica de verdades expresadas en modo de sentencias de proposiciones encadenadas con operadores lógicos, que afirman sin ambigüedad sobre lo verdadero o lo falso. Pero sobre todo es un proceso de crear ideas nuevas, donde antes solo existía un espacio desconocido para nuestra persona, la comunidad científico-técnica o únicamente la condición humana. 


La argumentación surge como lenguaje creativo de la ciencia en la Ilustración. Fue conocido como la creatividad del conocimiento objetivo. Esta época se sitúa en el siglo XVII, como la edad de la razón. La argumentación nace para consolidar a la razón, la ciencia, el humanismo y el progreso ético de las sociedades. La justicia, la verdad, la estética, la ética y la técnica fueron sometidas a la coherencia de la lógica. El progreso verdadero, es en si todo lo expresado en términos de la razón más rigurosa posible. 


La razón es el medio para producir el consenso de lo verdadero, lo justo, lo bello, lo lógico, lo que existe y lo que puede ser pensado. Los hombres debaten, discuten en la esgrima de un ir y venir de argumentos y contra argumentos, la idea es la que nos libera de mitos, de autoritarias maneras de imponer la verdad, y esta última, sea el resultado de una actividad racional rigurosa y que gana profundidad responsablemente en los objetos de nuestras creencias. El dogma, las creencias bajo la fe, revelaciones proféticas, misticismos, adivinación, visiones celestiales, sensaciones de tripa o desde los textos sagrados, la razón nos ilustra con pensamientos que pueden ser justificados, fundamentados y explicados bajo evidencias, conceptos, hechos, datos…, los humanos que aplican la razón, son intelectuales que leen y escriben para estructurar sus pensamientos ilustrados. 


La actividad ilustrada, es el empleo de la razón, como estilos de crear la verdad (cada estilo es una forma de inteligencia). Pensar es producir cadenas de razón. Las cadenas de razón son formadas por proposiciones que incluyen en su seno conceptos, hechos, evidencias, datos, teorías; donde las cadenas de estas razones, sus eslabones son operadores discursivos que producen razones más complejas y si estas cadenas infieren una conclusión, estamos ante una idea o llamado argumento. 


Pensadores como Descartes, Kant, Baruch, Spinoza, Thomas Hobbes, David Home, Adam Smith, y los muchos matemáticos de la lógica y psicólogos de la biología de la cognición han logrado hacer de la argumentación un espacio de la ciencia del conocimiento: Epistemología.    


El uso deliberado de las herramientas intelectuales de la razón, nos ayuda a enfrentar la ignorancia, el error como contradicción lógica en nuestras ideas, el sesgo cognitivo como corrupción emocional a nuestras “verdades racionales”, la injusticia no justificada y fundamentada, la técnica como estructura lógica de la realidad se hace un arte de la ingeniería. 


Para los psicólogos cognitivos, estudiar las vías efectivas que intervienen al razonar a través de patrones de pensamiento en la conversación (o diálogo),  es una forma natural de señalar posibles trastornos de nuestras creencias no justificadas en su verdad. Este es particularmente el caso en psicopatología, donde las desviaciones superficiales pueden reflejar más o menos profundamente disfunción de nuestras razones: sesgos cognitivos. De hecho, las conversaciones son actividades humanas complejas que implican una amplia variedad de competencias. Los desórdenes pueden ocurrir en cualquier nivel, desde el reconocimiento fonético o competencia sintáctica para la interacción social y capacidad lógica.


3.2 La lógica 


¿Es la realidad lógica y la lógica es real? Hegel planteó esta famosa pregunta hace exactamente dos siglos, aunque su noción de lógica era significativamente diferente de la predominante contemporánea. El antepasado de esta pareja lógica-realidad, es decir, el dúo temático matemática-realidad, ha abierto la historia de la filosofía, como la conocemos, con Platón y sus críticos. La siguiente generación le ha agregado lógica. La lógica, la realidad, las matemáticas: este trío de conceptos (y los elementos correspondientes) también han estado en el centro de la discusión sobre la contemporaneidad de la racionalidad de la realidad.


El punto de convergencia radica en la exploración de las conexiones entre la realidad, ya sea social, natural o ideal, y las estructuras lógicas empleadas para describirla o descubrirla. La interfaz entre la estructura lógica y la realidad se discute desde varias perspectivas. ¿Cuál es el origen de las intuiciones lógicas? ¿Cuál es el papel de las estructuras lógicas en las operaciones de una mente inteligente que argumenta? ¿Hay algún patrón común en todas las estructuras de razón? ¿El papel de las estructuras lógicas en la formación de conceptos es regulativo o constitutivo o ambos? Las preguntas se abordan con la ayuda de la formulación lógica en un estilo accesible y legible, pero necesariamente riguroso. 


Si el primer filósofo en encontrar la distancia entre lógica y realidad, ve a las matemáticas que no se hacen de acuerdo con los cánones prescritos, el insistirá en que se cambie la práctica. Esto es el revisionismo. Un ejemplo temprano de esto viene de Platón, quien, por supuesto, sostuvo que las matemáticas se tratan de un reino eterno, inmutable; independiente de cualquier actividad realizada por los seres humanos aquí en el  mundo que pudiese convertirse en existencial. En el libro VII de la República, reprendió a los matemáticos por no saber de qué están hablando y en consecuencia, hacer las matemáticas de manera incorrecta:


[La] ciencia [de la geometría] está en directa contradicción con el lenguaje empleado por sus adeptos... Su lenguaje es de lo más ridículo…, porque hablan como si estuvieran haciendo algo y como si todas sus palabras estuvieran dirigidas hacia la acción... [Hablan] de cuadrar y aplicar y agregar y cosas por el estilo... mientras que en realidad el objeto real de todo el sujeto es... conocimiento… de lo que existe eternamente, no de lo que llega a ser esto o aquello en algún momento y deja de serlo.


Los geometristas de la antigüedad no siguieron el consejo de Platón y siguieron empleando un lenguaje constructivo y dinámico. Según Proclus [485], el problema de tal lenguaje ocupó a los de la Academia durante algún tiempo.


Más cerca de nuestro tiempo, el intuicionismo es otro programa revisionista, o grupo de programas, inspirado por una visión filosófica putativa. L.E.J. Brouwer y Arend Heyting sostuvieron que las matemáticas y los objetos matemáticos son dependientes de la mente, en cierto sentido, fundados en algo cercano a la intuición. Esto supuestamente conduce al rechazo de la ley del medio excluido y otras inferencias basadas en ella. Un poco más tarde, Michael Dummett argumentó en contra de la lógica clásica, y por lo tanto de la matemática clásica, sobre la base de doctrinas filosóficas sobre el significado y el despliegue del lenguaje matemático. Dicho de otra manera, su conclusión es que las partes estrictamente clásicas de las matemáticas no gozan de cierto tipo de justificación en lo real.


Por lo general, los realistas prefieren los objetos lógicos  en cuestión, mientras que varios irrealistas se oponen a ellos.  Kant  con su opinión de que la aritmética y la geometría son sintéticos a priori, fundados en la intuición pura, las formas de las posibles percepciones. Si la comunidad matemática se apartara del fundamento propuesto de que la realidad tiene su propia lógica, entonces, según el primer filósofo, se equivocaron y necesitan corregir sus caminos.


Quizás podría afirmarse que, por reflexión, la intuición pura exige alguna geometría no euclidiana o, más probablemente, podría afirmar que la intuición pura es neutral entre varias geometrías. 


Para los propósitos actuales, no necesitamos ir mucho más lejos al articular esta distinción. Como vemos las cosas, el trabajo del filósofo es dar cuenta de las matemáticas. Y su lugar en nuestras vidas intelectuales. Nuestro objetivo es interpretar las matemáticas como fuente de la argumentación y, por lo tanto, responder preguntas sobre el lugar que ocupan las matemáticas en la cosmovisión. Como mucha interpretación es lingüística, un enfoque primero es ver el lenguaje de las matemáticas:¿Qué significan las afirmaciones matemáticas? ¿Cuál es su forma lógica? ¿Cuál es la mejor semántica para el lenguaje matemático? ¿Cómo se entiende el lenguaje matemático? Esto prepara el escenario para responder preguntas filosóficas sobre cómo la lógica matemática dota de coherencia el discurso argumentativo y este se conecta con la realidad. 


Proponemos comenzar con los tres programas principales que dominaron los fundamentos y la filosofía del pensamiento objetivo durante gran parte del siglo XX: intuicionismo, lógisismo y formalismo. 


Intuicionismo


El matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) a comienzos del siglo XX tuvo la idea fundamental de que los argumentos no constructivos se evitarían si uno abandona un principio de la lógica clásica que está detrás de las leyes de De Morgan. Este es el principio del tercero excluido, que afirma que, para cada proposición p, p o no p; y equivalentemente que, para cada p, no p implica p. Este principio es básico para la lógica clásica y ya había sido enunciado por Aristóteles, aunque con algunas reservas, ya que señaló que la afirmación de que “habrá una batalla naval mañana” no es ni verdadera ni falsa. De acuerdo con esta visión, que se remonta a Aristóteles, no existen conjuntos infinitos, excepto potencialmente. De hecho, es precisamente en la presencia de conjuntos infinitos que los intuicionistas abandonan el principio clásico del tercero excluido. Según Hilbert, todo enunciado matemático puede ser afirmado o refutado. El punto de vista intuicionista sostiene que esto es falso. En efecto, existen problemas matemáticos para los cuales “A o no-A” no es verdadero, al contrario de lo que suponen los matemáticos clásicos que infieren inmediatamente la verdad de uno de los cuerpos del dilema a partir de la falsedad del otro. Para el intuicionista se puede rechazar si no se puede construir una demostración, sin caer por ello en un absurdo.


La formalización de la lógica intuicionista de Heyting condujo a una explosión de resultados metematemáticos. Se desarrollaron varios modelos de sistemas teóricos, lo que dio lugar a resultados notables en relación con lo que se puede y lo que no se puede probar constructivamente.


Para el intuicionista, la matemática es independiente de la lógica. La utilidad de la lógica se limita a la construcción del lenguaje matemático, además de ser útil para el análisis del mismo. En todo caso es la lógica la que depende del pensamiento matemático. Sea como fuere, el papel de la lógica, desde el punto de vista de los intuicionistas, consiste en los procesos de construcción de la demostración matemática, de modo que la  prueba de la existencia de una entidad matemática consiste en proporcionar el método para la construcción de dicha entidad y, del mismo modo, para probar una afirmación matemática hay que exhibir el modo en que se ha construido la entidad acerca de la cual trata dicha afirmación.


Logicismo


El logicismo es una tesis de filosofía de la matemática. Fue propuesta por G. Leibniz en el siglo XVII y tiene una formulación sencilla: las matemáticas se pueden reducir a la lógica. En 1931 Gödel le da una bofetada al logicismo, al demostrar sus famosos teoremas. Los teoremas de Gödel son dos y de ellos se sigue, según algunos puntos de vista, que el logicismo es un proyecto imposible. En efecto, según el primer teorema si una teoría aritmética es consistente, entonces es incompleta. Según el segundo, si una teoría aritmética es completa, entonces es inconsistente, de lo cual se sigue que no hay ninguna teoría aritmética que sea a la vez consistente y completa. Esto entraña que no puede haber un sistema formal del que se pueda derivar toda verdad matemática.


Formalismo


En sentido propio se entiende por formalismo la doctrina según la cual las matemáticas son un sistema formal axiomático (independiente por tanto de la experiencia pero que puede ser aplicado a ella) es decir, son un sistema lingüístico organizado a partir de determinados axiomas y ciertas reglas de formación de expresiones válidas, de las que se derivan deductivamente todas las expresiones verdaderas del sistema. Solo es verdadero lo que puede ser demostrado.


Discutir solo es posible si en el proceso no todo es cuestionable o controversial, algo seguro o sólido puede darse por sentado como referencias de verdad (axioma). Esta simple percepción nos permite distinguir entre dos modos pragmáticos en la actividad verbal de la argumentación. Uno es el modo de lo cuestionable, lo incierto, que necesita apoyo; el otro es el de lo cierto y lo sólido, que se utiliza para tal apoyo. Usando una metáfora arquitectónica, llamemos a las partes de apoyo "la base teórica" ??de las tesis de un argumento. Está compuesto por teorías de las que estamos seguros, en un sentido están justificadas. Sin embargo, dado que las tesis en sí son teóricas, es aconsejable articular la diferencia  entre dos modos de teoría, que proponemos llamar teoría "epistémica". La primera pregunta importante para entender un argumento es siempre lo siguiente: ¿qué es epistémico? En otras palabras: ¿Qué se reclama y qué se da por sentado para respaldar la reclamación como verdadera?



Referencias

[1] Wynn, K. (1992). Addition and subtraction by human infants. Nature, 358(6389), 749. Retrieved from https://www.nature.com/articles/358749a0

[2] Tobia, V., Bonifacci, P., & Marzocchi, G. M. (2016). Concurrent and longitudinal predictors of calculation skills in preschoolers. European journal of psychology of education, 31(2), 155-174. Retrieved from https://link.springer.com/article/10.1007/s10212-015-0260-y

[3] Baillargeon, R., & Wang, S.-h. (2002). Event categorization in infancy. Trends in cognitive sciences, 6(2), 85-93. Retrieved from https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4215955

[4] Goel, V., Gold, B., Kapur, S., & Houle, S. (1998). Neuroanatomical correlates of human reasoning. Journal of cognitive neuroscience, 10(3), 293-302. Retrieved from https://www.mitpressjournals.org/doi/abs/10.1162/089892998562744

[5] O’Brien, D. P., & Manfrinati, A. (2010). The mental logic theory of conditional proposition. Cognition and Conditionals: Probability and Logic in Human Thinking, 39-54. Retrieved from https://books.google.com/books?hl=es&lr=&id=N2HmyMAW4eoC&oi=fnd&pg=PA39&dq=The+mental+logic+theory+of+conditional+proposition&ots=2x3EIAK6nB&sig=fzk65G4ZXhoZJ8cPuV2tjQcrsNI

[6] Docherty, S. J. et al. A genome-wide association study identifies multiple loci associated with mathematics ability and disability. Genes. Brain. Behav. 9, 234–47 (2010).

[7] Winograd, T., & Flores, F. (1987). Understanding Computers and Cognition: A New Foundation for Design (First Printing ed.). Addison-Wesley Professional.