Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

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3. Función de onda y cálculo teórico de la velocidad de la luz  

Dicho simplemente, la función de onda de cualquier onda, es la función que define el valor de la perturbación en cada lugar y tiempo. Al leer acerca de las funciones de onda, a menudo se encontrará con declaraciones matemáticas aparentemente redundantes, como la siguiente:

En estas ecuaciones, “y” y representan la función de onda del desplazamiento. En su lugar, representa una función de posición (x) y tiempo (t). ¿Y exactamente cuál es esa función? En cualquier función que describa la forma de la onda en el tiempo y el espacio. Más tarde no usaremos f para representar la función, por la posible confusión que genera con el concepto de frecuencia f asociada a la onda. 

Para comprender esto, solo recuerde que decir “una función de x y t solo significa, las variables independientes x y t. Por lo tanto, una ecuación como la de significa que el valor del desplazamiento (y) depende tanto de la ubicación (x) como del tiempo (t) al que se mide la onda. Así que, si la función f cambia muy lentamente con (x) y con (t), tendrías que mirar la onda en dos lugares muy separados o en dos momentos muy diferentes para ver mucha diferencia en la perturbación producida por la onda.

Y, ya que la elección de la función f(x,t) determina la forma de la onda, a través de la indicación del desplazamiento de onda en cualquier lugar del tiempo, depende de la forma de la onda y su posición. La forma de pensar más fácil es imaginar tomar una instantánea de la onda en algún instante de tiempo: la fase. Para mantener la notación simple, puede llamar al tiempo en la que se toma la instantánea: t=0; las instantáneas tomadas más tarde se cronometrarán en relación con esta primera. En el momento de esa primera instantánea se puede escribir como:

Muchas ondas mantienen la misma forma con el tiempo: la onda se mueve en la dirección de propagación, pero todos los picos y valles se mueven al unísono, por lo que la forma no cambia a medida que se mueve. Por tales ondas “no dispersivas” f(x,0), se puede escribir como f(x), ya que la forma de la onda no depende de cuándo tome la instantánea. La función f(x) se puede llamar “perfil de onda”. Algunos perfiles de onda por ejemplo son:

En un graficador puede observarse el perfil de estas ondas. 

Una vez que tenga un perfil de onda f(x), es un paso corto a la función de onda . Para dar ese paso, hay que pensar en la manera de incluir el hecho de que la perturbación física producida por la onda, depende tanto del espacio, como del tiempo. Recuerde que el desplazamiento responde a la pregunta ¿qué tan grande es la onda en este espacio y tiempo? La fase responde a la pregunta qué parte de la onda está en el tiempo y en el espacio? Por lo tanto, tiene sentido que la dependencia funcional del desplazamiento esté relacionada con la fase de onda. 

Para hacer esto explícito, la fase de onda depende del espacio:

Donde el permite la propagación de ondas en cualquier dirección: positiva o negativa. Escribiendo el cambio de ubicación como:

Cambio en el tiempo como:

Si el tiempo inicial es cero, entonces 

La fase inicial se toma como cero, la fase en cualquier ubicación x y tiempo t se puede escribir como:

Donde la función f determina la forma de la onda y el argumento de la función, es decir, es la fase de la onda en cada ubicación x y en el tiempo t. Esta ecuación es extremadamente útil para resolver una amplia gama de problemas de onda, ya que tiene la velocidad de la onda incorporada. Por lo tanto, la forma del desplazamiento puede escribirse como:

Donde la función f determina la forma de la onda y el argumento de la función , es la fase de la onda para cada ubicación x en el tiempo t.

Por ejemplo, A es la amplitud de la onda de 3 metros, la longitud de onda de 1 metro, el periodo de onda T es de 5 segundos. Encuentre el valor del desplazamiento de en la posición x=0.6 m y un tiempo de t=3 segundos.

La amplitud de la onda nos dice que tan grande es la onda en los picos, la longitud de onda nos dice lo lejos que se diferencia para espaciar los picos en cada página, y el periodo de onda le dice cuánto cambia la onda entre páginas, ya que tiene que moverse una distancia de uno en la dirección de propagación durante cada periodo. 

La longitud de onda de 1 metro significa que el número de onda es:

El periodo de 5 segundos le indica que la frecuencia es f=1/5 segundos:

Conectando estos valores:

Si se desplaza en dirección x negativa. Esto significa que si una función se desplaza a la izquierda, o la derecha, con solo mirar el signo del término adicional en el argumento debemos comparar el signo de ese término con el signo del término x. Si estos signos son los mismos, la función se desplaza en la dirección x positiva. 

Con esto en mente, debería ver que una función se mueve en la dirección x negativa, ya que los signos en el término x y en tiempo son positivos.

Representa que una onda se mueve en la dirección x negativa. 

Caso contrario se mueve en la dirección x positiva, ya que los signos en el término x y el plazo temporal son opuestos.

La velocidad v, por la unidad de tiempo que demora en recorrer esa distancia. 

Donde:

A veces se escribe como

Ambos términos tienen unidades de distancia, porque el propósito de esta ecuación es mostrar la dependencia funcional del desplazamiento f en x y t, por lo que, el factor del número de onda k no se muestra explícitamente. 

(La letra omega griega) la frecuencia angular, indica cuánto ángulo avanza la fase de onda en una cantidad determinada por el tiempo, por lo que las unidades SI están dadas en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por la ecuación:

Relaciona la frecuencia f o el periodo T con los ángulos. 

La amplitud A, es un valor espacial relacionado con el desplazamiento vertical, produce picos y valles como máximos y mínimos. Se mide desde la condición de equilibro hasta el pico. La v velocidad de onda, se refiere a la velocidad de fase. Si medimos cuánto tarda una cresta de una onda en recorrer una cierta distancia, estamos midiendo la velocidad de fase de onda. ¿Qué determina qué parte de una onda está en un lugar determinado en un instante? 

, la fase es el argumento de la función que describe la onda, la fase tiene unidades SI en radianes y valores entre 0 y durante un ciclo (también la fase de onda puede verse expresada en unidades de grados, en cuyo ciclo de 360º =).

Lo que determina el punto de partida de una onda, es la constante de onda. 

La velocidad de onda v es constante, la longitud de onda es variable, si la longitud de onda es corta, la frecuencia debe ser alta. 

Puede verse en esta ecuación que la frecuencia angular tiene dimensiones de ángulo a lo largo del tiempo, rad/s. Por lo tanto, la frecuencia f le indica el número de ciclos por segundo, y la frecuencia angular le indica el número de radianes por segundo. He aquí el porqué la frecuencia angular de una onda es un parámetro útil. Supongamos que desea saber cuánto cambiará la fase de una onda en una ubicación determinada en una cantidad de información de tipo (t). Para encontrar ese cambio de fase , solo tiene que multiplicar la frecuencia angular por el intervalo de tiempo .

Esto ilustra por qué la frecuencia angular puede considerarse un convertidor de tipo fase. Dada cualquier cantidad de tiempo t, puede con ese tiempo obtenerse el cambio de fase como el producto .

En número de onda k y la longitud de onda se relacionan:

El cambio de fase:

Donde el tiempo es constante, esto nos recuerda que el cambio de fase se debe solo al cambio de ubicación. Así que, las ondas son perturbaciones que pueden o no ser propagadas, periódicas y armónicas. Una onda itinerante clásica es una perturbación autosostenible en un medio, que se mueve a través del espacio transformando energía  y momentum. Su representación matemática da lugar a una ecuación diferencial parcial de una forma particular, conocida como ecuación de onda. La característica esencial del movimiento de onda, es que una condición de algún tipo se trasmite de un lugar a otro donde el medio no se transporta. La propagación u ondas viajeras, la perturbación de las ondas debe moverse de un lugar a otro, llevando energía con ella. Pero la combinación de ondas periódicas puede sumar perturbaciones no periódicas, como un pulso de onda. Las ondas armónicas son funciones seno, en el espacio y el tiempo. 

3.1 Ecuación de onda clásica 

Así que, mientras que la ecuación de onda de primer orden se aplica a las ondas que viajan en una dirección, la ecuación de onda de segundo orden toma la misma forma que las ondas que viajan en la dirección x positiva o en la dirección x negativa. Aunque utilizamos funciones sinusoidales para demostrar este concepto, el resultado es general y se aplica a las ondas de cualquier perfil.

La ruta directa a la ecuación de primer y segundo orden para las ondas sinusoidales se basa en las derivadas de una función de onda 

Podemos llegar a la ecuación de onda de primer orden resolviendo (1.3) para 

Sustituimos en (1.1)

Usamos la relación hace que

Realizando un análisis similar en las ecuaciones (1.2) y (1.4) se produce la ecuación de segundo orden clásica. Primero resolver (1.4) para

Luego sustituimos en (1.2)

Una vez más utilizamos la relación da

Que es la ecuación clásica de onda de segundo orden (1.6), si comenzamos con 

llegamos al mismo resultado. Una vez más, aunque utilizamos armónicos (sinusoidal). La ecuación de onda clásica se puede extender a dimensiones más altas mediante la adición de derivadas parciales en otras direcciones. 

Esto se puede ver como

Representa el operador Laplaciano.

Independientemente de la forma que la encuentre, recordemos que la ecuación de onda nos indica el cambio en la pendiente de la forma de onda sobre la distancia, es igual a veces el cambio en la pendiente de la función de onda en el tiempo.

La ecuación de onda clásica es homogénea porque contiene solo términos que implican la variable dependiente (en este caso el desplazamiento y) o derivadas de las variables dependientes () . Matemáticamente se expresa:

Caso no homogéneo 

Una característica extremadamente poderosa de todas las ecuaciones diferenciales lineales, incluía la ecuación de onda clásica, es que las soluciones obedecen al principio de superposición. Este principio describe lo que sucede cuando dos o más ondas ocupan el mismo tiempo y el mismo espacio. Este es comportamiento muy distinto al que sucede con objetos sólidos. Cuando los objetos sólidos intentan ocupar al mismo tiempo un mismo espacio se producen choques que alteran sus movimientos o formas, pero cada objeto tiene que conservar su identidad. Por contrario, cuando las ondas lineales ocupan simultáneamente el mismo lugar, sus desplazamientos en el equilibrio se combinan para producir una nueva onda que también satisface la ecuación de onda. La ecuación de onda clásica es lineal porque todos los términos que implican estas f(x,t) y sus derivadas se elevan a la primera potencia. Ninguna de las ondas se destruye en este proceso, aunque solo la onda combinada es observable durante la interacción. Si las ondas se propagan lejos de la región de superposición, las características originales de cada onda son de nuevo observables. Por lo tanto, a diferencia de las particulares, las ondas pueden pasar entre sí en lugar de colisionar, produciendo una nueva onda mientras se superponen.

El principio de superposición explica por qué sucede esto. Matemáticamente, el principio para dos ondas 

Cada una es solución de la ecuación de onda lineal, entonces, su suma en cada punto en el espacio tiempo total es 

También solución de la ecuación de onda clásica.

Demostración 

Sumas

Por lo tanto, el resultado de agregar dos o más ondas que satisfacen la ecuación de onda, es otra onda que también satisface la ecuación de onda. Y si estás preguntando si esto funciona cuando las ondas están viajando a diferentes velocidades, la respuesta es sí.

3.2 Ecuación de onda electromagnética

I) Ley de Gauss para el campo eléctrico: 

La divergencia del campo eléctrico en cualquier lugar, es proporcional a la densidad de carga eléctrica en ese lugar . Esto se debe a que las líneas de campo electrostáticas comienzan en la carga positiva y terminan en la carga negativa (de aquí que las líneas de campo tienden a divergir de la ubicación positiva y convergen en la ubicación de carga negativa). El símbolo representa la permeabilidad eléctrica del espacio libre, una cantidad que tiene que ver con la impedancia de ondas electromagnéticas. 

II) Ley de Gauss para campos magnéticos:

Dice que la divergencia del campo magnético en cualquier lugar debe ser igual a cero. Esto es cierto, porque aparentemente no hay una carga magnética aislada en el universo, por lo que las líneas de campo magnético no divergen ni convergen (circulan sobre sí mismas).

III) Ley de Faraday:

Indica que el producto cruz vectorial sobre el campo eléctrico en cualquier ubicación, es igual al negativo de la tasa de tiempo del campo negativo en esa ubicación. Esto se debe a que, un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico.

IV) Ley de Amper-Maxwell:

La ley de Amper modificada por Maxwell, dice que el producto cruz del campo magnético en cualquier ubicación es proporcional a la densidad de corriente eléctrica, más la tasa de tiempo de cambio del campo eléctrico en esa ubicación. Este es el caso por el que un flujo magnético de campo es producido tanto por una corriente eléctrica como por un campo eléctrico cambiante. El símbolo representa la permeabilidad magnética del espacio libre, cantidad que verá con la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas y la impedancia electromagnética.

Observe que las ecuaciones de Maxwell relacionan el comportamiento espacial de los campos con los orígenes de esos campos. Estas fuentes son densidades de carga eléctrica que aparecen en la ley de Ampere-Maxwell y el cambio del campo eléctrico. 

Tomadas individualmente a las ecuaciones de Maxwell proporcionan relaciones importantes entre las fuentes de campos eléctricos y magnéticos, y el comportamiento de esos campos. Pero el verdadero poder de estas ecuaciones se realiza en su combinación para producir la ecuación de onda electromagnética. 

Comencemos por producto cruz en ambos lados de la ley de Faraday:

En el que la inserción de la expresión para el producto cruz del campo magnético de la ley de Amper-Maxwell hace que

Finalmente, requerimos el uso de la identidad vectorial para el producto cruz de una función 

Donde es el gradiente del divergente de y el Laplaciano de , aplicando esta identidad a la ecuación anterior:

En el vacío la densidad de carga y la densidad de corriente son cero. 

Y por tanto, la ecuación de onda para el campo eléctrico es:

dado que se trata de una ecuación vectorial, en realidad se trata de tres ecuaciones separadas, una para cada componente del vector. En coordenadas cartesianas esas ecuaciones son:

Podemos encontrar de forma equivalente para el campo magnético tomando del producto cruz de ambos lados de la ley de Amper-Maxwell, y luego insertando el producto cruz de la ley de Faraday. Esto da:

Esta también es una ecuación vectorial:

La ecuación general de propagación de onda comparándolas con las ondas electromagnéticas:

La equiparación de los factores a los derivados del tiempo revela que la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas es:

Esta es la velocidad de la luz en el vacío, un resultado sorprendente que hizo que Maxwell concluyera que la luz es una perturbación electromagnética con límite cosmológico para su propagación en nuestro universo. Las ondas electromagnéticas deben satisfacer no solo la ecuación de onda, sino también las ecuaciones de Maxwell, dado que se generan en átomos con restricciones de cuantización para estas.