Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 1. Pensamiento matemático

Algo esencial para aprender matemáticas. Las primeras ideas sobre algo nuevo, forman en nosotros la intuición, y esta intuición afecta cuánto disfrutaremos en el futuro de un tema. ¿Qué significa cuando queremos aprender matemáticas? 

Siempre es recomendable partir de aquellos conceptos inmediatos a un objeto matemático, antes que de la definición moderna, que es más precisa y compleja. Para la definición moderna es necesario antes conseguir la comprensión matemática intuitiva del objeto estudiado. Aquí abordaremos a la matemática desde un ángulo distinto, es como imaginar un círculo que comienza en cualquier punto alrededor de nuestra comprensión. Pero al comenzar por cualquier punto la perspectiva cambia. Por ejemplo si nos preguntamos por el círculo.

¿Cómo definir un círculo? 

Desde la geometría

? La forma más simétrica posible en dos dimensiones.

? Es la forma que obtiene más área para el menor perímetro (propiedad de Isoperimetría).

? Todos los puntos de un plano equidistante de un punto dado (radio, distancia del centro a una recta tangente a cada punto del círculo).

Desde la analítica

? Los puntos (x,y) en la ecuación x²+ y² =r² (versión de la geometría analítica).

? Los puntos de la ecuación r sen(t), r cos(t) para todo t (versión analítica)

? La forma cuya tangente es siempre perpendicular al vector de posición (interpretación física) 

? Polígono regular de n número de lados. 

Podrían ser más interpretaciones, el hecho es que cada una de ellas describe la misma idea. El cómo lo aprendimos de niños, determina la esquina desde dónde lo miremos en cada nuevo aprendizaje de nuestras vidas, esa es la intuición de un conocimiento, un viaje entre conocimientos alrededor de una idea formal. 

Finalmente, el conocimiento de las matemáticas es sobre ideas perfectas, formuladas en forma de notación matemática, el conocimiento matemático es una intuición clara sobre un concepto, logrado esto, las ecuaciones encajan cada una en su lugar, con coherencia y precisión.

Aprender matemáticas es 

? Encontrar el tema central de un concepto matemático.

? Expandir sus propiedades y aplicaciones.

?   Explorar la relación de sus propiedades con otras áreas de la matemática.

El aprendizaje de las matemáticas, es una búsqueda de conocimiento y aplicación. Esa primera visión intuitiva puede ayudar a todo aprendiz a comenzar, son esas definiciones que hacen sentido y camina alrededor del círculo para encontrar otras. Golpearnos la cabeza contra una idea que nos resulta abstracta no es muy divertido, para ello debemos ver desde diferentes ángulos, es decir, desde un libro a otro, de un profesor a otro, de manera que tenga sentido la idea explorada. Las matemáticas pueden llegar ser difíciles y desalentadoras cuando nos enfocamos a partir de defecciones avanzadas en el conocimiento, sugerimos que el punto de partida debe ser intuitivo, diverso y observado desde una mente abierta.

Pensamiento matemático aplicado

La frontera entre teoría y aplicación es muy subjetiva y cambia con el tiempo. Algo que podemos hacer es conectar a las matemáticas puras con la ciencia y la tecnología. Las matemáticas aplicadas no son un campo científico o técnico definible, pero quizás sí desde la actitud humana, puede dirigirse una idea respecto a la integridad matemática rigurosa; debe complementar al razonamiento teórico con el trabajo numérico, considerando ejemplos plausibles que sucesivamente planteen al pensamiento matemático como la acción de modelado, aquí las fases del pensamiento matemático aplicado^[1]:

a. Modelado de problemas matemáticos

b. Análisis del problema matemático

c. Desarrollo de algoritmos 

d. Escritura de software

e. Experimentos computacionales

f. Validación del modelo

Es decir, esencialmente, las matemáticas se convierten en aplicadas cuando se utilizan para resolver problemas del mundo real, no buscan resolver dificultades matemáticas. Aquí, en lugar de intentar dar nuestra definición de las matemáticas aplicadas, las hemos descrito como diversas faces, organizadas en forma de etapas, donde ella última nos conduce de retorno a la primera. Para comprender más afondo el pensamiento matemático aplicado, ensayemos sus conceptos.

Modelado del problema. Es acerca de tomar un problema físico y el desarrollo de las ecuaciones diferenciales o algebraicas que capturan las características esenciales del problema y así puede ser utilizado para obtener una comprensión cualitativa o cuantitativa de su comportamiento. De este modo, el problema físico puede hacer referencia a una cuerda vibrante, a la propagación de un virus, a la respuesta social a una idea. El modelado es necesariamente imperfecto y requiere simplificar sus compuestos. Es necesario mantener suficientes aspectos del sistema en estudio que reproduzcan el comportamiento modelado, pero no con tantas variables que resulte difícil de analizar. Diferentes modelos resultan útiles para describir el comportamiento real, sumando modelos continuos, discretos o estocásticos aumentan las posibilidades de acertar. Muchos no realizan el modelado y directamente van al análisis.

Análisis del problema matemático. Las ecuaciones formuladas en la fase anterior, son ahora analizadas e, idealmente, solucionadas. En la práctica, una solución explícita, fácilmente evaluada, generalmente no puede obtenerse, para ello se aproxima reduciendo a la forma de un problema menor. Las técnicas necesarias para el análisis de las ecuaciones se pelean sobre un problema reducido que sea representativo para la validación del problema. 

Desarrollo de algoritmos. Es posible resolver el problema reducido empleando algún algoritmo existente (una secuencias de pasos que pueden seguirse mecánicamente sin necesidad de ingenio. Incluso si existe un algoritmo adecuado, quizás no sea lo suficientemente exacto para explorar la estructura disponible u otras características del problema, o no permite aprovechar la arquitectura de las computadoras para ejecutarlo en forma software. Menudo hay que combinar y mejorar algoritmos.

Escritura de software. Para utilizar algoritmos en un ordenador es necesario ponerlos en funcionamiento sobre algún lenguaje de computadora. Escribir eficientemente un algoritmo no es fácil, depende del entorno del lenguaje de computadora y la habilidad del pensamiento matemático para traducir conceptos abstractos en rutinas de elementos y operaciones básicas. Escribir secuencias de comandos, módulos, funciones y objetos  que llevarán a cabo los cómputos necesarios para alcanzar resultados y exponerlos quizás gráficamente.

Experimentos computacionales. El software se ejecuta ahora en instancias del problema y las soluciones obtenidas, pudiendo los cálculos ser numéricos o simbólicos o mezcla de ambos. 

Validación del modelo. El último paso es tomar los resultados de los experimentos, interpretar (que puede ser un tarea no trivial) y observar si están de acuerdo con el comportamiento observado del sistema original. Si no fuera así, exigirá ajustar los pasos del algoritmo. El paso de validación puede ser imposible, cuando el sistema en cuestión puede no que solo sea un proyecto.

Otras tareas importantes del pensamiento matemático son mostrar explícitamente en nuestro entorno, la calibración de parámetros de un modelo, para calcular la incertidumbre y analizar el efecto de esta en las soluciones a problemas reales. 

Una vez que todos los pasos se han completado con éxito el modelo matemático puede ser utilizado para hacer predicciones, comparar hipótesis rivales y así sucesivamente mejorar el desempeño de nuevos modelos.  

Un modelo matemático aplicado, es más un trabajo de pensamiento matemático para que las personas adquieran la competencia para llevar a cabo todo el proceso de modelado, donde plantear, solucionar y validar son tareas fundamentales de este tipo de trabajo^[2].

Para muchos problemas, los algoritmos fueron desarrollados para contextos de aplicación distintos, ello suele requerir un esfuerzo significativo para traducir los algoritmos de un contexto a otro. Investigar y asesorarse con personas de otras disciplinas es una valiosa ayuda para el pensamiento matemático aplicado. Es erróneo dar la impresión que las matemáticas aplicadas se realizan de forma aislada al contexto del modelo. Con frecuencia, un problema matemático se aborda con la idea de desarrollar la destreza del pensamiento, que más tarde puedan ser el camino para una vida profesional exitosa. La historia esta llena de ejemplos de aplicaciones matemáticas prácticas que surgen antes de aplicaciones técnicas. Antes del siglo XX, las matemáticas fueron impulsadas por aplicaciones astronómicas, mecánicas, electromagnéticas, entre muchas más. En el siglo XX la física y los estudios sociales fueron los motores de la matemática aplicada, en áreas como la sociología, la economía, la biología, la ingeniería y la medicina. Con las cantidades masivas de datos, seguridad y comercio digital, hoy este es el motor de creación de modelos de aplicación matemáticos del siglo XXI^[3]. Desde aquí, dejamos ver que nuestra hipótesis para que un joven bachiller desarrolle el pensamiento matemático aplicado, enuncia: El desarrollo de inferencias entre matemáticas y ciencia-técnica se aprende desde ejemplos prácticos en los que intuitivamente se reconoce la naturaleza de planteamiento, soluciones y validaciones.

Entre matemáticas puras y aplicadas

La cuestión de cómo comparar las matemáticas aplicadas y puras a menudo es algo polémico. Debido a que las matemáticas puras pueden ser prácticamente útiles y las matemáticas aplicadas pueden ser un arte elegante. Las matemáticas aplicadas son una disciplina intelectual, no una parte de la tecnología industrial, no solo la aplicada necesita de la matemática pura, en sentido contrario, se necesitan también para evitar ser endogamia, estéril, o sin sentido, la pura necesita la revitalización y el contacto con la realidad que solo la aplicación puede proporcionar^[4]. Las diferencias en motivación y objetivos entre la matemática pura y aplicada deben plenamente reconocerlas. La matemática pura, menudo se trata con conceptos tan abstractos que la lógica sigue siendo la única herramienta que permite el juicio de la corrección de una teoría. Por otro lado, la matemática aplicada verifica empíricamente como juez necesario su validez ontológica, es decir, su relación con el mundo real. Pero también es un hecho que la matemática pura esta oculta detrás de los símbolos de las matemáticas aplicadas. Pero, para ambas es necesaria la actitud de calidad y elegancia frente al conocimiento necesario. 

Suele ser la matemática pura, una segunda categoría culta bajo los símbolos de las matemática aplicada, así que conocimiento y gusto son necesarios si lo que pretendemos es crear conocimiento objetivo. En ocaciones se considera a las matemáticas aplicadas un subcampo de las matemáticas puras. 

Como ejemplo de matemáticas aplicadas destacan los algoritmos de los navegadores de Internet. En los comienzos de la década de los 90’s la Web nació, y los motores de búsqueda de páginas Web se hacen indispensables para los usuarios, ordenando información por criterios simples como el número de veces que aparecen en la consulta de búsqueda en una página. Este enfoque resulto poco satisfactorio cuando la Web creció en tamaño y los spammers aprendieron  a influir en los resultados de búsqueda. Desde la década de 1990 hacia a delante, se desarrollaron criterios más sofisticados, basados en el análisis de vínculos entre páginas Web. Uno de ellos es el algoritmo de PageRank de Google. Otro es el algoritmo de búsqueda (HITS) hyperlinkinduced of Kleinberg. Es de destacar que ahora mismo los motores de búsqueda intentan restringir la piratería y el plagio de obras, para ello introducen criterios literarios de originalidad. 

El algoritmo que ilustra representación de las consideraciones del trabajo en la red Web corresponde a la matriz:

El una búsqueda sobre las páginas Web produce:

Esto indica que hay una página de autoridad más alta en el ranking y es eje clasificatorio razonable de otras páginas. El primer paso del algoritmo determina la página concentradora o de autoridad, mediante la iteración de los pesos dados por el número de consultas a la misma y en relación a las palabras claves que relación al índice de páginas relacionadas. El segundo paso construye el grafo de iteración entre las mismas, como tercer paso con ayuda de la matriz Ase computa búsquedas particulares sobre la Web, de este modo el modelo es valido para computar el ranking por el concepto de página de autoridad.

Otro ejemplo de matemáticas aplicadas refiere al proceso de cambio de una imagen digital para hacerla más agradable a la vista mediante la eliminación de un tinte de color, ajuste creativo de color y contraste, suavizado las arrugas en rostro humanos entre otras funciones de edición digital de ImagLec1. En los días de las cámaras digital y teléfonos inteligentes que procesan fotos y video, se requieren aplicaciones adecuadas para clonar zonas de ImagLec1 de interés. La clonación es la copia de una zona de la imagen de interés. Su uso común es quitar defectos o elementos no deseados de una imagen, como polvo, manchas, cables.

Una herramienta de clonación es software moderno que utiliza matemáticas sofisticadas para la mezcla de fragmentos de imagen. Nos representa la imagen como una función f de dos variables f(x,y) de un RGB (Rojo,Verde,Azul) triplete correspondiente al punto (x,y). En la práctica, una imagen es una discreta rejilla de puntos y valores RGB, que son números enteros . Nuestro objetivo es reemplazar un objeto abierto en la región , por una región que tiene la misma forma y tamaño pero es de una ubicación diferente a la imagen, y por lo tanto corresponde a una  traducción . Si simplemente copiamos la región de origen  en el destino, el resultado resulta no conveniente visualmente para la imagen, ya que no conserva la textura al rededor de la frontera . Para aliviar estos problemas podemos reemplazar f dentro  de por la función g que esta defina por la ecuación diferencial PDE

Donde es el operador Laplace. Nosotros podemos forzar g para que sea idéntica a f sobre el límite de la región de destino, pero dentro de la región Laplaceana de g que tiene que coincidir con de la de f en al región origen. Se trata de una ecuación Poisson con condiciones limites de Dirichlet. Puesto que el operador Laplace está conectado con los efectos de difusión en equilibrio, debemos pensar en los pixeles de la imagen de difusión para formar un resultado visual más convincente. Otra interpretación que demuestre que la solución tiene suavidad óptima en cierto sentido, se minimiza mediante 

Donde es el operador gradiente y es el . En la práctica, PDE es resuelta por métodos numéricos. Adobe Photoshop, software de manipulación de ImagLec1 digitales lanzado en 1990, introdujo una nueva característica denominada Pincel corrector en 2002. Se lleva a cabo mediante la clonación resuelta por ecuación biarmónica 

Donde , porque esto a demostrado que proporciona una mejor coincidencia de los derivados en al frontera y de tal modo que produce una mejor mezcla de la fuente en el área que contiene el objetivo. Ene este caso estamos minimizando 

.

La idea de usar la ecuación de Poisson o la Ecuación biarmónica para llenar vacíos en los datos dimensionales aparecen en otras áreas de aplicación, como por ejemplo en mateo y modelado de datos geofísicos propuestos en década de 1950.

Un problema relacionado es cómo detectar cuando una imagen ha sido objeto de clonación dentro de las ciencias forenses. La aplicación incluye la comprobación de la veracidad de las imagines que aparecen en los medios de comunicación como evidencia en casos legales y comprobar la legalidad de la prueba fotográfica como imagen orgánica, es decir no manipulada digitalmente.  Las mismas consideraciones que hacen posible la clonación también permiten su uso para detectar este procedimiento digital. Se emplea para tal fin forense el operador Laplaceano o biarmónico para evaluar los valores y hacer búsquedas sistemas para encontrar áreas con esta propiedad. Una complicación es que si la imagen se ha comprimido después de la clonación , normalmente una compresión jpg, la imagen eliminara el ruido de clonación causado y derivado de procesos de mapeo de pixeles. Tener que lidiar con ruido es un requisito común en las aplicaciones matemáticas de procesos de video, fotografía y sonido, recientemente se aplican en proteínas y genes para identificar patrones de clonación reaccionamos con manipulación biotecnológica artificial y de este modo reconocer virus, proteínas que fuera deliberadamente manipulas en laboratorios. 

La aritmética computacional o bioinformática. En la moderna biología para nosotros en la era digital juega un rol computacional para realizar cálculos aritméticos para una amplia gama de tareas que incluyen el diseño de fármacos, anticuerpos y tejidos sintéticos. La matemática aplicada y la ciencia computacional son responsables de asegurar que los cálculos que producen es el resultado correcto, y no se caiga en una situación infame, así que otra forma tomar desiciones éticas es basarlas en la confiabilidad de los cálculos computacionales.

La matemática aplicada puede estar presente en todo tipo de aplicaciones de laboratorio de investigación académica, enseñanza o de recreación en video juegos.  Toda innovación implica su tiempo haciendo matemáticas en el sentido tradicional de sentarse con lápiz y dibujar en papel ecuaciones o demostrar teoremas, redacción de justificación de modelos y programación de software que exprese las soluciones. Intentamos que los estudiantes se den cuenta que interesarse e invertir tiempo al pensamiento matemático es lo que posibilita control, manipulación, descripciones de todo tipo de realidades físicas, biológicas, administrativa, financieras, artísticas,… , en otras palabras las matemáticas permiten a las personas ganar autonomía intelectual y esta en sociedad es soberanía intelectual de un país. 

Las matemáticas suelen ser una tarea solitaria, es decir uno puede estar trabajando sobre diferentes problemas, pero cuando se es un novel, es necesario colaborar en una sociedad de aprendizaje entre docente y alumno al modo de colaborar en discusiones en las que se interprete, aprenda procesos y amplia la base conceptual simbólica del lenguaje artificial llamado matemáticas. El conocimiento aplicado proporciona una fuente importante de identidad disciplinar y conductividad profesional, así como oportunidades de desarrollo profesional dentro de una red trabajo en sociedad laboral.  

Los ejemplos anteriores nos ilustran la importancia de la matemática aplicada, son una muestra de la importancia del impacto de estas en nuestro futuro, que requiere una discusión más detallada. 

Las matemáticas aplicadas proporcionan la herramienta y sus algoritmos permiten la compresión y modelado productivo de muchos aspectos de nuestra realidad, incluyendo pronósticos del tiempo para trafico aéreo o la agricultura. En muchos casos los modelos se utilizan para informar a los responsables de las políticas de gobierno, es por ello que la clase política debería mostrar más interés en su formación para ser responsable en la toma desiciones a favor de sus sociedades. Por lo menos todos usamos dos algoritmos matemáticos de manera cotidiana. La transformación rápida de Fourier, que se encuentra en todos los dispositivos movibles tales como teléfonos inteligentes. Por ejemplo, las fotos de nuestras cámaras digital vistas en pantallas se almacenan generalmente utilizando una formada compresión JPEG. Del mismo modo tomografía de rayos X, scanners de equipaje en aeropuertos, exploradores del cuerpo humano como resonancias electromagnética nucleares, dependen de la solución precisa de problemas de recuperar información de sistemas de medición libres de ruido (errores) introducido desde fuera del sistema.

El lenguaje aplicado a soluciones matemáticas,  son necesarios para los ingenieros o todo tipo de técnicos que podría decirse que quien maneja este lenguaje puede ser considerado un tecnólogo que maneja el arte  de la matemática aplicada. Sugerimos comenzar por la notación occidental heredada a nosotros por los Griegos antiguos. 

Otra notación

Implica

Implicado por

Sí  y solo sí

  Allí existe

Allí no existe

Para todo

La tabla de enumeración del alfabeto griego es ampliamente utilizada para denotar variables matemáticas en modelos de la realidad. Tenga encuenta que casi siempre se emplean para denotar cantidades pequeñas o infinitesimales, y para expresar pi=3.14159… Las matemáticas tienen una gran cantidad de notaciones para expresar conceptos comprimidos bajo un símbolo. Pero la notación es un recurso de enorme utilidad para ciencia y la ingeniería, si embargo, aprenderla para migrantes a este espacio intelectual aveces se le presenta como una terror que al no aprender con cuidado su conceptos asociados produce vértigo y estrés traumático. Pero si se aprende proceptuales  y símbolo asociado en la escritura matemática, se abre la posibilidad de ser habitantes del mundo del pensamiento matemático y no meros turistas memorísticos de esta notación artificial que da rigor a los argumentos matemáticos. Leer y entender argumentos matemáticos es discutir la coherencia, es decir, a la no contradicción lógica expresada en todo argumento matemático. Como ejemplo de la notación matemática nos introducimos a la noción de números complejos tan presentes aplicaciones de telecomunicaciones, física cuántica y otras muchas áreas de aplicación.

Números y continuidad en la línea

Es muy difícil leer letras negras en una habitación oscura. Sobre todo si no hay ningún texto. Esto nos parece particularmente descriptivo de cómo la ciencia procede sobre una base diaria cuando investiga en la realidad, sea esta lo que fuere. El trabajo del científico académico, es un oficio paciente para que los cañonazos de información no nos distraigan de ser cautos al arribo del talento necesario para inferir dentro de un rompecabezas infinito, en el que la razón es desafiada en la fabricación de soluciones creativas.

Nos damos cuenta que el académico habita un proceso científico, con la sensación de estar en un cuarto oscuro, chocando contra cosas no identificadas, buscando fantasmas de conocimiento apenas perceptibles dentro de un infinito de información. La búsqueda sistemática de la ciencia de los últimos 500 años ha revelado más sobre el universo que los 5 mil años de historia de la humanidad. Nos imaginamos una comunidad de epistémica básica en la regla de oro, es decir, hablamos del método científico, un conjunto inmutable de preceptos para idear experimentos que avanzan hacia fuera de los hechos modernos que modifican sin precedente la vida humana y su entorno. La luz en la oscuridad es la matemática de números, el texto académico, que representa la luz en el aula oscura, buscando su siguiente escenario a explicar. El presente texto nos introduce a el rol de los números con el concepto de continuidad, además del plano y álgebra compleja tan necesaria en la tecnología electrónica moderna. 

El propósito es explicar la extensión de los números reales al plano complejo y el concepto de continuidad desde la noción de número. Para ello los números enteros, racionales, e irracionales se vislumbran como necesarios  para la continuidad e infinitos dentro de una línea en el espacio geométrico.   

Números en el infinito de una línea

La cultura humana y sus sociedades encontraron al número en la necesidad de hacer eficiente los procesos rudimentarios de contar. La propia estructura del cerebro adopto circuitos de cálculo neuronal haciendo de nuestras abstracciones una actividad coherente con las herramientas matemáticas modernas. Incluso la notación de número, tan obvio  ahora, es el resultado de un lento proceso de invención que demoro miles de años. Según los antropólogos cada persona tiene cierta capacidad innata para adquirir la noción de los primeros números, emparejando el sentido de símbolos y la cantidad de objetos referidos^[5]. Casi todas las personas parecen haber utilizado sus dedos como contadores naturales, de allí que se fijara el término dígito para referirnos a número e inclusive que se adoptara la base 10 como la más natural. El primer paso fue organizar números en grupos convenientes de 10, dado que significa hombre. Los mayas adoptaron un sistema vigésimal,  por ser el 20 el número de dedos de pies y manos. Los babilonio adoptaron un grupo base 60 (sistema sexagésimal), sistema que aún se utiliza para medir el tiempo, ángulos en minutos y segundos. Así nacieron los sistemas numéricos, cuando el grupo de cuenta básico es fijo y cuentas superiores al primer grupo se obtienen contando desde cero a un nuevo grupo dentro de un sistema posicional. Los científicos creen que los animales poseemos en nuestro cerebro un dispositivo de procesamiento numérico que llaman acumulador, en consecuencia dando por intuición los conceptos de cantidad, espacio geométrico y probabilidad en términos numéricos^[6]. Es lógico que la base axiomática sean verdades intuitivas, evidentes por ser de origen biológico.

En la línea histórica, el análisis es una disciplina moderna con raíces antiguas. Los mecanismo de análisis, es decir el cálculo, es una fusión de la aritmética con la geométrica. Pero el problema de la fusión fue abordado con éxito hace unos 300 A.C., al vincular geometría y aritmética, Euclides en su obra “Elements”, nace de este trabajo el razonamiento de demostración deductivo moderno. Los griegos descubrieron en la dificultad de conciliación de aritmética y geometría, la existencia de números irracionales. Los irracionales son necesarios para cubrir las brechas del concepto ingenuo de número. 

La pregunta especifica de ¿por qué ab=ba?   No es tan trivial como parece, donde a y b son números,  ab y ba son el producto de a y b. Todavía tendríamos que precisar el concepto de número  y del producto. Para ello Euclides considero a los números a y b como longitudes y al producto ab como el rectángulo con lados perpendiculares a y b. Es así que nace la percepción geométrica del mundo numérico^[7]. Es totalmente obvio que  ab=ba, porque el rectángulo con lados perpendiculares prueba este hecho interesante de fusión geométrica y aritmética. Otro caso similar es por ejemplo:

Esta fusión crea el álgebra  como productos hasta tres longitudes en caso para los Griegos. Aquí nace la idea de que las líneas son lo que llamamos curvas algebraica o dimensiones. Ciertamente, nada podría ser más claro. Sin embargo, es sorprendente que la misma idea se aplica otros tipos diferentes de cantidades que varían continuo o discretamente en saltos. Encontrar conceptos de números entre lo continuo y lo discreto implica un nuevo desafío. Por número se responde a dos preguntas  ¿cuántos y cuánto?, la primera se contesta con los números naturales 0,1,2,3,4,5,6,7,… esos que se originaron con el simple propósito de contar, pero de igual manera intuitivamente surgieron a la par las estructuras de operadores de adición, resta, multiplicación y división. Las operaciones de resta crean la extensión de los números naturales a los números enteros

…,-3,-2,-1,-0,1,2,3,…

Y la operación de división extiende los números enteros a los números racionales   para todo , por lo que la división define a los números racionales distintos de cero. Sin embargo, esta extensión de los números no distrajo del objetivo original de contar y contestar sobre ¿cuánto?. Esto es debido a cantidades ontológicas  como longitud, masa, área, …, con las que se puede medir el mundo con precisión empleando para tal efecto de precisión fracciones decimales, que son números finitos decimales de la forma , donde m y n son números enteros. Pero pronto se descubrieron divisiones que dan por resultado una precisión arbitraria inexacta a  cualquier número racional. Por ejemplo el caso más típico es la longitud de la diagonal de , no hay ningún número racional cuyo cuadrado es igual a 2. Así es que la geometría escondía en su interior números irracionales. 

¿Qué es un línea?, más precisamente ¿qué son los puntos, y cómo forman la línea?, desde luego que nos gustaría decir que los puntos en la línea son números, pero es difícil recrear la calidad intacta y uniforme de la línea en un perspectiva fragmentada de unidades individuales de un algo. Si visualizamos los números enteros en la línea,  su extensión se fragmentaria, de misma manera al extender esta idea a los puntos racionales, aunque más densos que los enteros, hay infinitamente muchos espacios entre intervalos de racionales. Pero es con los irracionales donde la imagen nos lleva más cerca de una definición aritmética de los puntos de una línea. Por eso necesitamos conceptos de decimales infinitos, que abarquen puntos racionales e irracionales de una manera uniforme. Decimales infinitos y finitos corresponden al orden de los puntos en la línea. 

Como hemos dicho un decimal finito es un números de la forma , donde m y n son números enteros, se escriben insertando un punto decimal para la fracción que acompaña a la parte entera del número. Y una coma decimal para expresar el límite decimal de dígitos, por ejemplo:

Para el caso de números decimales infinitos tres puntos anteceden al como decimal, por ejemplo

Es intuitivo que cada punto de la línea corresponde a un decimal infinito, porque podemos encontrar las sucesivas cifras decimales  de cualquier punto P comenzando con el intervalo de enteros que contiene a P, dividiendo el intervalo en 10 partes iguales para encontrar el primer decimal de P, y así sucesivamente. Así, infinitos decimales dan una representación numérica simple de puntos sobre la línea, que es particularmente conveniente para describir el orden de puntos. Sin embargo, los decimales infinitos no son ventajosos para describir la adición y la multiplicación, por lo que no son una solución útil del problema de la definición de adición y multiplicación de números irracionales. 

En resumen los números están relacionados con la geometría porque los números verdaderos son motivados por nuestra imagen mental de la línea. Sin embargo, la geometría de la línea no es muy interesante, en comparación con la geometría del plano. ¿Qué propiedades de los números son pertinentes a la geometría del plano? La respuesta la da Pitágoras: . Esto es un número entero triple tal que es un cuadrado perfecto.

Tabla 1. Tabla Plimpton 322.

La tabla Plimpton 322 original enumera los pares en el orden dado para los cuales parecen casi al azar. La primera persona en darse cuenta de que los pares matemáticamente significaban algo más, fue Otto Neugebauer en 1945, propone que son números enteros en cada caso, esto lo llevo a sospechar que la Plimpton 322 era realmente una tabla de triples con la propiedad 

Estos tripletes se llaman pitagóricos por el famoso teorema de Pitágoras que afirma que en cualquier triángulo rectángulo con lados a, b, la hipotenusa c. ¿Apenas puede ser una coincidencia que el número b, c tienen la característica numérica que es un número entero, pero ¿Plimpton estaba pensando en triángulos? Que hace esto casi seguro, es que la relación  es la pendiente de la hipotenusa, decrece de manera constante y es aproximadamente igual justo debajo de la cuesta de justo por encima de . Así, los tripletes son geométricamente ordenados y delimitados de forma natural. Son solo 16 triángulos entre los limites mencionados, sujetos a una cierta condición de simplicidad, Plimpton 322 por lo menos contiene 15 de ellos. 

Estos resultaos sugieren que los números Plimpton 322 tienen un significado geométrico y demostró que el teorema de Pitágoras fue conocido antes que el propio Pitágoras naciera, unos 500 años. Estos 15 triángulos son encontrados como base de inclinaciones de pirámides antiguas, como videncia que estas civilizaciones no querían construcciones que implicaran a los infinitesimales irracionales, quizás por razones religiosas. 

Ahora que nos hemos dado cuenta que los números racionales e irracionales completan plenamente los puntos de una línea de números reales, podemos esperar que existan de manera similar  funciones racionales entre las funciones reales. De hecho, son funciones racionales como consientes de polinomios. Una función f es un conjunto ordenado de pares que incluyen a más de un par para cada x, en cuyo caso decimos que . El conjunto de x valores ordenados se llama dominio de f, y el conjunto de valores de y se llaman rango.  Reducir el concepto de función al de conjunto, es parte de la visión de las matemáticas que considera que todo en el fondo es definido por conjuntos.

El plano complejo

Los números reales incluyen a los racionales e irracionales, que corresponden a todos los puntos de una línea infinita llamada línea real. Parece indiscutible que el cuadrado de un número negativo es positivo, puesto que el cuadrado de un número real es no negativo, cumpliendo la ecuación

Es Raphael Bombelli en 1526 quien introduce el número complejo, fue en su obra L’Algebra^[8], la ecuación anterior no tiene ninguna solución real (raíces). Sin embargo, Roger Penrose destaca que al superarse el parecer imposible, por un enfoque razonable que exige otro sistema de números que sea adecuado para tales propósitos, en que nos permita resolver la ecuación^[9] . Para este caso la ecuación algebraica general de grado n, donde son números reales cuales quiera

Este objetivo solo puede lograrse si conseguimos de alguna manera extender el sistema de números de los reales, por lo que es parte lo hacemos un sistema de numeración de otro más extendido. es en cierto sentido la ecuación algebraica más simple sin raíces reales, un primer acercamiento evidente para nuestro problema es introducir una unidad imaginaria , y entonces el plano numérico se extiende al número complejo de la forma

,

donde a y b son números reales arbitrarios y la operación de estos números se define de manera natural como binomios  donde x es desconocida, salvo que este caso 

Si b=0, vemos que solo esta presente la línea real con sus características especiales. Asombrosamente como veremos resulta que una vez que permitimos que x tome valores complejos, la ecuación general algebraica siempre tiene una raíz, aunque los coeficientes  sean números complejos, un resultado que es conocido como el teorema fundamental del álgebra: establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. 

Por número complejo nos referimos a una expresión , donde a y b son números reales e “i” es la unidad imaginaria. Si  a es la parte real de c, escrita como Re c,  b es llamada la parte imaginaria de c, escrita como Im c. El número complejo cero es , donde las partes imaginaria y real valen cero. Por definición dos números son iguales solo si 

Si Im c=0, c=a+bi se reduce a un número real, mientras que , de dice que c  es puramente imaginario. Los números complejos pueden ser representados geométricamente como puntos en el plano, un hecho que no solo es útil, sino prácticamente indispensable para la ingeniería y la aplicación científica moderna de este “mágico número”, como lo llama Roger Penrose. Con la introducción de un sistema de coordenadas rectangulares en el plano, podemos identificar el número complejo , como, asociado con el punto P.

De esta manera,  establecemos una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los números complejos y el conjunto de todos los puntos en el plano con una precisión  infinita dado que las partes Re y Im son números racionales e irracionales. Claramente, con esta asignación, el conjunto de todos números reales en el eje x y el conjunto de los números puramente imaginarios en el eje y,  mientras que el conjunto de los números   corresponden al plano complejo o llamado plano z, en el entendido que tal plano z es construido por términos   que son los puntos que definen la densidad de la superficie z. Otra  manera de representar al número complejo es usar el vector posición que une el origen  con algún punto en el plano z.  El vector cuyo módulo o norma está dado por el valor absoluto del número complejo z, denotado por . El ángulo de dirección entre el eje real y el vector , es positivo solo si la rotación es en el sentido antihorario y negativo en el sentido contrario, se llama argumento del número complejo z y se denota por Arg z. En otras palabras son las coordenadas polares^[10] .

Por lo tanto

Esta última forma es la que se llama forma trigonométrica de un número complejo z. Claramente Arg z, se define solo en un múltiplo entero de . Sin embargo, existe uno y solo un valor de Arg z, es decir de , que satisface la desigualdad

donde n se extiende sobre los números enteros positivos y negativos incluyendo al cero. 

y

Se requiere algún cuidado en invertir la expresión de la tangente, puesto que el arco tangente de un número real x, es escrito como Arc tan x, se define solo para múltiplos enteros  de . Sin embargo, existe uno y solo un valor de Arc tan x, digamos un que satisface la igualdad 

y llamaremos al valor  el valor principal del arco tangente de x, escrito arc tan x.  Nosotros ahora podemos invertir la relación , obteniéndose

Por otra parte, se convierte en infinito, claramente si tenemos 

mientras que el caso z=0 es indeterminado como la versión Maya del cero.

Los números complejos 

se dice son números complejos conjugados, si uno de estos se denota por z, y el otro se denota por o .

Obviamente los puntos z y son simétricos con respecto al eje real x.  

Por otra parte

amenos que z es un número con la parte real negativa, en cuyo caso

La ecuación de Euler  o llamada en otras identidad de Euler 

donde i es la unidad imaginaria. Tenga en cuenta que la fórmula de Euler es  poliédrica y veces también se llama la fórmula sobre una curvatura Euler. La expresión equivalente

previamente había sido publicada por Costas (1714). El caso especial de la fórmula con  da la identidad:

una ecuación que conecta los números fundamentales, , e, 1 y 0 (cero), las operaciones fundamentales +, ×, y exponenciación, la relación más importante =, y nada más. Gauss comento que esta fórmula no era inmediatamente obvia.

La fórmula de Euler se puede demostrar utilizando un desarrollo de series

También se puede demostrar utilizando la integral compleja

Aplicando a ambos miembros de la igualdad la exponencial 

Donde r representa la magnitud de z y  es el argumento de z, usualmente llamado arg z.

Potencias de complejos 

Ejemplo 1. Determine el valor de

Sabemos que 

Solución:

Ejemplo 2. Determine el valor de

Solución: 

Ejercicio 1. Determine el valor de escribiendo el procedimiento

Solución: 

La ecuación donde n es el valor complejo de raíces n-esimas  de la unidad, es decir, se dice “cada raíz tiene una magnitud de”.  Ahora que:

Usando la ecuación de Euler:

Ahora nosotros usamos la fórmula e  De Moivre que establece:

Así que

Donde k es cualquier número entero. Ahora está claro que todas las n raíces de z deben estar en un circulo de radio 1, y las expresiones del tipo son típicamente de la forma:

Pero en este caso r=1, por lo tanto

Álgebra compleja 

Se deduce de su tratamiento como binomiales, suma y producto de dos complejos 

están dados por

Álgebra compleja es un campo para el que se cumplen las propiedades axiomáticas de toda álgebra, dado los números complejos , , 

Conmutativa bajo +

Conmutativa bajo

Asociativa bajo +

Asociativa bajo

Distributiva  bajo la +

Distributiva  bajo la

Elemento neutro bajo la +

Elemento neutro bajo la

Inverso simétrico 

Hasta lo visto aquí, uno podría representar a los números complejos como pares ordenados (sin emplear la unidad imaginaria i)

donde son números reales, entonces multiplicación y adición pueden ser representadas 

Con este enfoque, la relación tiene como análogo 

Hemos visto que la explicación de la extensión de los números reales a los números complejos no es menos exquisita que la extensión de los números enteros a los racionales y su posterior extensión de los racionales a los irracionales implicados en el concepto de una línea continua.

¿Qué ocurriría si en lugar de utilizar números complejos ordinarios, utilizamos números complejos que anticonmutan? Es cuando se crean los Números de Grassmann , son números anticonmutativos, es decir, la suma de la conmutación de dos números de Graassmann se hace cero

Y en particular i=j

Así que el cuadrado de cualquier número de  Grassmann es cero

Con esta propiedad podemos hacer expansiones de funciones que dependen de estos extraños números anticonmutativos, Si consideramos una función de dos variables Grassmann llamada .

Recordamos que para una función de dos variables, la fórmula de Taylor se expresa

Si hacemos la expansión de nuestra función f en serie de potencias que depende de variables de Grassmann, entonces

Las cantidades  son números ordinarios. La expansión se detiene en el término cuadrático cruzado debido a la propiedad fundamental

La segunda línea se obtiene por anticonmutación. 

Ejercicios aritmética 

Ejercicios 1: Represente los siguiente números complejos  en su forma trigonométrica:

1. 1+i
2. -1-i
3. 1-i
4. 
5. Practicar suma, división, multiplicación de números complejos. 

Arreglos

Un arreglo es un conjunto ordenado de números de cualquier dimensión. Un arreglo de una dimensión se le conoce de varias maneras, n-tupla, vector fila por estar escrito en horizontal, vector n. Los números son entradas o componentes. Un arreglo de dos dimensiones con i desde 1 a n, y desde 1 a m,  es llamado matriz n x m. Los números son entradas, elementos o elementos de matriz. Uno puede pensar a la matriz como un arreglo de filas y columnas de vectores. Si añadimos dos n-tuplas 

Esto es dos n x m matrices a y b, sumadas como 

Uno puede multiplicar matrices por números. Por lo tanto z veces la matriz tridimensional , es decir la matriz de entradas . Podemos multiplicar dos matrices 

Otro producto es el producto externo de la matriz por una matriz de tres dimensiones , es un arreglo de cinco dimensiones

Un producto interno es posible si dos arreglos son del mismo tamaño, es decir, sus dimensiones son iguales. Por lo tanto el producto interno o producto punto  de dos n-tuplas a y b es

El producto interno de dos n-tuplas complejas es definido por 

o de complejos conjugados 

La lógica en la terminología matemática 

Las declaraciones, sentencias o también referidas como proposiciones matemáticas, estas pueden ser solo verdaderas o falsas, pero no ambas. La negación de la declaración A (not A); en tanto A y B; la exclusión A o B que indica la frase pero no ambos; son ejemplos de declaraciones lógicas. Con operadores lógicos es posible construir razones puras, tautologías que declaran un cadena que formula una declaración expresada por la cadena de sus componentes conceptuales, en un universo de implicación falso o verdadero. Por ejemplo, la implicación de declaración “si se cumple A, entonces B está satisfecha” o de otro modo un equivalente es “A implica B” al mismo tiempo es equivalente a y . Estas tautologías son declaraciones de verdad, sin importar si sus componentes guardan un estado falso o verdadero. Una contradicción es un estado que afirma una falsedad, independientemente de si las declaraciones de los componentes conceptuales son verdaderos o falsos. 

La no contradicción en las cadenas de razones puras, es un requisito necesario para la demostración. Por ejemplo, entonces, A satisface  si y solo si B es satisfecha. La implicación es una parte que es necesaria, mientras es innecesaria y equivalente a decir . 

Un teorema es una declaración importante, es una proposición de mayor importancia por su función primordial de su rol de lema. Los lemas, su función es apoyar la prueba de un teorema o proposición general. Además, un corolario es una consecuencia de un teorema o proposición. Si un dato es un teorema, proposición o corolario, los hechos son declaraciones probables de un estado de verdad.  

La lógica implica a los conjuntos, esas colecciones de existenciales como un todo. Las cosas de un conjunto se llaman elementos o miembros del conjunto. La expresión significa que x es un miembro del conjunto A,  y se lee “x es un elemento de A” o que x es un existencial de A. La expresión significa que x no es un existencial del conjunto A. Asumimos que todos los conjuntos están formados de elementos de algún conjunto universal bajo consideración. El conjunto de los números Reales se denota por , enteros por , complejos y enteros positivos . Mientras, con la idea de conjunto que ya hemos expresado, asumimos que cualquier particular existencial puede ser definido dando una regla para decidir que son elementos del conjunto universal en el sistema invocado y cuáles no. Por ejemplos si es el conjunto universal, entonces el conjunto de todos los números reales entre 0 y 1 se escribe . Esto se lee “el conjunto de todos los x en tal que el cero es menor que x  y x es menor que uno. En la expresión  el símbolo x se utiliza como una variable local. Es decir, x no tiene significado fuera de la expresión. A veces la regla de pertenencia a un conjunto no se menciona explícitamente, sin embargo es evidente. Por ejemplo, puede administrarse un conjunto enumerando sus elementos, por ejemplo, .

Ya hemos dicho que una declaración matemática es una expresión definida que es falsa o verdadera, cuyas reglas pueden ser de simetría (=), de pertenencia () o inequidades (<, >) en relación a propiedades que satisfacen los miembros de un conjunto A. Mientras al conjunto sin elementos se le llama conjunto vacío y es denotado por . Una de las consideraciones para una colección vacía como un conjunto, es denotar los extremos, la nada y el todo. 

Una demostración matemática consiste en una secuencia numerada de sentencias, donde cada una debe seguir lógicamente una coherencia con las declaraciones inmediatas anteriores^[11]. En resumen, hemos dado cuenta de una introducción, las matemáticas son un actividad académica de pensamiento y no una actividad de una computadora de procesos en un vacío de conciencia. Son el resultado de siglos de creatividad humana, el cerebro con todas sus fortalezas y limitaciones biológicas encontró en las matemáticas una inspiración para llenar la existencia humana de desafíos de comprensión. No es que la mente no pueda por si sola realizar diferentes tipos de comprensión incluyendo su propia existencia, pero requería de una comprensión  rigurosamente lógica para demostrar paso a paso su comprensión formal de las existencias abstractas y ontológicas. Cada paso individual de una proposición es a la vez  el deseo de hacer encajar entre sí ideas en el amplio sentido de la demostración, es decir, de esas razones que hacen coherente el pensamiento objetivo. De aquí, otro tipo de entendimiento surge, el que parte del lenguaje artificial matemático como estructura de soporte de una semántica de lenguaje natural, que recrea el pensamiento hipotético en su mejor versión científica. Se trata del montaje de ideas y fundamentos teóricos y facticos dentro de cadenas de razones que infieren una conclusión: los argumentos. Una comprensión del individuo, en una ambigüedad y vaguedad reducidas a un mínimo, hace que la comprensión general de las ideas como un todo coherente tengan un efecto de progreso acelerado de los beneficios científicos para una sociedad^[12]. Si bien David Hilbert sucumbió ante su idea absoluta de considerar que las matemáticas son en esencia el acto de demostración, cuando Henri Poincaré le insta en su propuesta inductiva de las matemáticas a que demuestre los axiomas de la matemática^[13][14] 

Desde luego que la comprensión no es solo estética, académica o científica. La humanidad está condenada a lidiar con sus errores materiales, de juicio de interpretación y dogmas. En el método de demostración, paso a paso podemos notar una consecuencia lógica o una incoherencia, pero solo es dentro del  marco general, donde notaremos si un error conduce a una conclusión que no encaja  con la totalidad de la realidad en contexto, la contradicción es la señal por excelencia que buscamos corregir para hacernos de un mejor conocimiento. Esta combinación de comprensión paso a paso y en el contexto de lo general, es la oportunidad de detectar errores y progresar en la comprensión profunda de las diferentes parcelas de la realidad. Debemos desarrollar ambas capacidades con el fin apreciar el arte presente en el pensamiento científico y matemático, entender paso a paso es lo fácil, solo basta una vez y hacer muchos ejercicios taladrando en la idea hasta su claridad. Pero en el contexto general de la idea, esto no basta, se trata de demostrar la idea global y no solo las piezas que la forman y dan sustento. Es común que la nueva información haga tambalear las teorías y forcé a su renovación modificando sus inconsistencias. 

En la formación de conceptos complejos, pensar en cualquier área de las matemáticas como ejercicio mental, esto ayuda a comprender un poco más en cada nueva tarea de pensamiento, implicando revisar ideas que creemos que ya sabemos por estar ligeramente informados. Esta actividad nos hará sentir incomodos al exponer que estamos en errores de fundamento y nos da luz sobre las ligerezas en el arte del algún conocimiento. Si padecemos esta emoción, es condición de reconocer nuestra ignorancia, es buena, es cuando revaloraremos poder tener a nuestro alcance una extensa y diversa literatura. Incluso los más diestros y sofisticados científicos debieron en un momento dado en el pasado haber vivido complejos procesos de construcción de conceptos matemáticos para producir explicaciones, controlar y medir la realidad. 

Un novel científico ante un problema de un nuevo marco conceptual, revisa en su mente experiencias pasadas, comparando si es similar a algo que ha visto antes. En esta etapa estudiar matemáticas es reconocer los objetos matemáticos en términos de conceptos que los definen. Cuando se supera esta etapa conceptual, es cuando las piezas o objetos matemáticos se pretende encajar en nuevas estructuras más complejas, en una apariencia inicial de un orden que requiere ser demostrado. Las definiciones están escritas de tal modo que sirven para formar cadenas de deducciones, que en procesos de pulido fino, se alcanza a lograr de forma elegante, es decir, demostraciones limpias en versiones lo más simples posibles.

Cuando de niños preguntamos por qué el cielo es de color azul, asumimos que sabíamos que es un color particular. La comprensión del concepto de color requiere que sea refinada para que intentemos contestar la pregunta anterior. Por refinada entiéndase una definición que precisa en un marco teórico especifico. En este caso uno que muestre con claridad lo que es un espectro de luz atreves de un prisma, con el fin de llegar a saber que las longitudes de onda de luz corresponden a la luz de un color particular. El texto científico por ello emplea un arte de crear definiciones precisa e inequívocas para la formación de conceptos que permitan crear estructuras coherentes más complejas. Para que en un momento dado, estas definiciones refinadas puedan crear explicaciones de ionización de gases atmosféricos que explica el color azul del cielo terrestre.  

El caso es el mismo para la estructuras matemáticas. Un lector al indicarse en la universidad tiene una gran cantidad de conceptos en su mente, tales como línea, punto, función, ángulo, ecuación cuadrática, regresión lineal, gráficos,…, facilidad de cálculos aritméticos, trigonométricos y algebraicos polinomiales. Nuestra idea es aprovechar esta riqueza diversa y estructurar nuevos objetos matemáticos necesarios para la ciencia aplicada y básica. Un experto no se enfrenta con la masa cotidiana de símbolos que para el novel parecen indescifrables, pero en el pasado claro que lo enfrento incorporando objetos matemáticos mediante construcciones por definiciones refinadas, aunque este experto pueda parecer no necesitar mucha ayuda en sus cálculos una vez que alcanzo la experticia profesional. 

Un concepto matemático o científico, es entonces, una cadena organizada de ideas que de alguna manera se interrelacionan con otros conceptos primarios a nuestra experiencia, desde los ya establecidos, es decir los innatos dados por nuestra biología. Estas cadenas de ideas, son razones o argumentos que pueden ser referidos como mapas o esquemas mentales. El novel progresa desde la noción primaria de número, geometría, probabilidad, álgebra; entonces desde objetos o hechos conocidos puede conocer nuevos objetos o hechos; de este modo amplia sus esquemas dentro de un lenguaje, ya sea científico, matemático o literario. Si le preguntamos a un novel sobre el producto interno de vectores puede ser que lo frustremos si en él no hay previamente una base de conocimiento de los términos involucrados en una estructura compleja como esta. 

Un desafío de aprendizaje tiene dos caminos, uno moral y otro epistemológico. El moral esta relacionado con la autoestima, dada por vivir la eficacia de desempeño. El epistemológico consiste en superar esquemas básicos por unos más complejos, que implican nuevas ideas en un proceso coherente de crear esquemas. Si fuera posible seguir este modo de conocimiento creando terminología especializada, aseguramos que la vida universitaria de los novel de ciencias sería sublime, es decir llena de curiosidad virtuosa que alimenta lo  emocional necesario para grandes desafíos. 

En resumen:

Salir al mundo, es aprender a caminar con números

Cuando desarrollamos la habilidad para los números, la mayoría de la matemática se aprende al pertenecernos por la vía de la razón e interactuar con la realidad racionalizable. En cada nueva interacción del día a día, nos sorprenden patrones de proporción, razones y regularidades de nuestro mundo. Cuando incorporamos el sistema decimal de los números, nos hacemos más autocríticos y relacionamos al cero con ausencia de elementos y nuestro comportamiento es motivado por caminos aritméticos; en unos momentos dados dividimos, en otros restamos, multiplicamos o manejamos los neutros bajo la suma o la multiplicación, creando combinaciones de ecuaciones para manejar nuevas situaciones sociales, tecnológicas y existenciales. Comprender estos patrones es en mucho ir ganando poder en nuestra sociedad, es salir de nosotros al mundo mediante la imaginación, mediante rebeldía como nuevas posibilidades de vivir. Literatura y matemáticas, ambas enfrentan a todos los que las habitan con sus infiernos, elevan el acto de rebeldía como fuente de héroes con temor a ser olvidados. En fin, aprender matemáticas es reconocer que los números pertenecen a la vida virtuosa. 

[1] Kjærulff, U. B., & Madsen, A. L. (2012). Bayesian Networks and Influence Diagrams: A Guide to Construction and Analysis (Information Science and Statistics) (2nd ed. 2013 ed.). Springer.

[2] LaSalle, J. P. (1974). The Influence of Computing on Mathematical Research and Education (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics). Amer Mathematical Society.

[3] Marsden, S. S. A. J. E., Wiggins, L. S. S., Glass, L., Kohn, R. V., & Sastry, S. S. (1993). Interdisciplinary Applied Mathematics. Retrieved from http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/111125987.pdf

[4] HALMOS P.R. 1988. I Want to Be a Mathematician: An Automathography in Three Parts (Maa Spectrum Series). Mathematical Association of America (MAA).

[5] Ore Oystein (1976). Number Theory and its History. New York: Dover Publications.

[6] Dehaene Stanislas (2011). The numbers sense. New York: Oxford University Press.

[7] Gobson, J. J. (I950). The Perception of the Visual World. Cambridge: Mass.

[8] Teresa Lucca, Ana M. (2013). Blog de matemáticas y TIC’S. Recuperado de https://matematics.wordpress.com/2013/12/09/rafael-bombelli/

[9] Penrose Roger (2007). El camino a la realidad. Barcelona: DEBATE.

[10] Conway, J. H. & Guy, R. K. (1996). Euler's Wonderful Relation. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag

[11] Wohlgemuth Andrew (2011). Introducción to proof in abstract mathematics. Philadelphia: Dover

[12] Gerstein  Larry J. (2012). Introduction to mathematical structures abd Proofs. New York: Springer.

[13] Corry, Leo (2003). David Hilbert y su filosofía empirista de la geometría. Universidad de Tel Aviv. Consulta 11 de noviembre de 2012, de http://www.tau.ac.il/~corry/publications/articles/pdf/Hilbert%20USB.pdf

[14] .