Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 12: Patrones y ecuaciones

En las matemáticas, y especialmente en álgebra, buscamos patrones en los números que vemos. Las herramientas del álgebra nos ayudan en la descripción de estos patrones con palabras y con ecuaciones (fórmulas o funciones). Una ecuación es una fórmula matemática que da el valor de una variable en términos de otra.

Por ejemplo, si un parque temático cobra de admisión $12, entonces el número de personas que ingresan al parque todos los días y la cantidad de dinero tomada por las taquillas están relacionadas matemáticamente. Podemos escribir una regla para encontrar la cantidad de dinero tomada por la taquilla.

Podríamos decir: "El dinero tomado en pesos es (igual a) doce veces el número de personas que entran en el parque". También podríamos hacer una tabla. La siguiente tabla relaciona el número de personas que visitan el parque y el total de dinero tomado por la taquilla.

Está claro que vamos a necesitar una gran tabla, si vamos a ser capaces de hacer frente a un día de trabajo en medio de unas vacaciones de escuela.

Una tercera forma en que podríamos relacionar las dos cantidades (visitantes y dinero) es con un gráfico. Si graficamos el dinero tomado en el eje vertical y el número de visitantes en el eje horizontal, entonces tendríamos un gráfico que se ve como el que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que este gráfico muestra una línea suave para valores no enteros de números de x (por ejemplo,  x= 2.5). Pero en la vida real esto no sería posible porque no se puede tener la mitad de una persona que entra en el parque. Este es un tema de dominio y rango, algo de lo que hablaremos en el texto sobre funciones.

El método que se examinará en detalle en esta lección está más cerca de la primera manera que elegimos para describir la relación. En otras palabras "el dinero tomado en pesos es de doce veces el número de personas que ingresan al parque". En términos matemáticos, podemos describir este tipo de relación con variables. Una variable es una letra usada para representar una cantidad desconocida. Podemos ver el comienzo de una fórmula matemática en las palabras.

El dinero tomado en pesos es doce veces el número de personas que entran en el parque.

Esto se puede traducir a:

el dinero tomado en pesos = 12x (el número de personas que ingresan al parque)

Para hacer más visibles las cantidades han sido colocadas entre paréntesis. Ahora podemos ver que las cantidades pueden ser asignadas a la carta. En primer lugar, hay que decir qué letras (o variables) se relacionan con las cantidades.

A esto le llamamos la definición de las variables:

• • Sea x = el número de personas que entran al parque temático.
• • Sea y = la cantidad total de dinero recaudado en la taquilla.

Ahora podemos mostrar la cuarta forma de describir la relación con nuestra ecuación algebraica.

y=12x

Escribir una ecuación matemática que utiliza variables es muy conveniente. Usted puede realizar todas las operaciones necesarias para resolver este problema sin tener que escribir las cantidades conocidas y desconocidas una y otra vez. En el extremo del problema, solo tenemos que recordar qué representan las  variables x,y.

Escribir ecuaciones

Una ecuación es un término utilizado para describir un conjunto de números y variables relacionadas a través de operadores matemáticos. Una ecuación algebraica contendrá variables que se refieren a las cantidades reales o números que representan valores para cantidades reales. Si por ejemplo, se quiere utilizar la ecuación algebraica en el ejemplo anterior para encontrar el dinero necesario para un determinado número de visitantes, que podría sustituir ese valor de x en y, luego resolver la ecuación resultante para y.

Ejercicios 3.1:

Un parque temático cobra $12 de entrada a los visitantes. Encontrar el dinero obtenido sí 1296 personas visitan el parque.

Vamos a romper la solución a este problema en una secuencia de pasos. Esto nos ayudará a resolver todos los problemas en esta lección.

Paso 1: Extraer la información importante.

(dinero tomado en pesos) = 12x  (número de visitantes)

(número de visitantes) = 1296

Paso 2: Traducir en una ecuación matemática.

Hacemos esto mediante la definición de las variables y sustituyendo los valores conocidos.

Sea  y= (dinero tomado en pesos)

y = 12 x 1296                       ESTA ES NUESTRA ECUACIÓN

Paso 3: Resolver la ecuación.

 y= 15552          Respuesta: El dinero  es  $15,552.

Paso 4: Comprobar el resultado.

Si $15,552 se toma en la taquilla y los boletos son de $12, entonces podemos dividir la cantidad total de dinero recogida por el precio por entrada individual.

Nuestra respuesta es igual al número de personas que ingresaron al parque. Por lo tanto, la respuesta concuerda.

Ejercicios 3.2:

La siguiente tabla muestra la relación entre dos cantidades. Primero, escribe una ecuación que describa la relación. Luego, averigua el valor de b cuando a es 750.

Paso 1: Extraer la información importante. 

Podemos ver en la tabla que cada vez que a tiene un aumento de 10, b aumenta en 20. Sin embargo, b no es simplemente dos veces el valor de a. Podemos ver que cuando  a= 0, b = 20, así que esto da una idea de lo que norma el patrón siguiente. Esperamos que usted pueda ver  la regla que une a con  b.

Paso 2: Traducir en una ecuación matemática.

La ecuación es: 

Paso 3: Resolver la ecuación.

Ir de nuevo al problema original. Sustituimos los valores que tenemos para nuestra variable conocidos y volver a escribir la ecuación.

"cuando  es  750" 

Paso 4: Comprobar el resultado.

En algunos casos se puede comprobar el resultado al volver a colocarlo en la ecuación original. Otras veces simplemente hay que verificar su matemática. Doble control es siempre recomendable. En este caso, podemos conectar nuestra respuesta por b en la ecuación junto con el valor de esta  y ver qué sale.

1520 = 2 (750) + 20 es verdad porque ambos lados de la ecuación son iguales o sea, equilibrada. Una verdadera declaración significa que la respuesta es correcta.