Pensamiento Matemático
proceptual-simbólico
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán
Lección 13: Ecuaciones y desigualdades
En álgebra, una ecuación es una expresión matemática que contiene un signo igual. Nos dice que dos expresiones representan el mismo valor. Por ejemplo, y=12x es una ecuación. Una desigualdad es una expresión matemática que contiene signos de desigualdad. Por ejemplo, 
es una desigualdad. Las desigualdades nos dicen que una expresión es más grande o más pequeña que otra expresión. Ecuaciones y desigualdades pueden contener variables y constantes.
- Las variables se dan generalmente con una letra y se utilizan para representar valores desconocidos. Estas cantidades pueden cambiar porque dependen de otros números en el problema.
- Las constantes son cantidades que se mantienen sin cambios.
Ecuaciones y desigualdades se utilizan como notación abreviada para situaciones que involucran datos numéricos. Son muy útiles porque la mayoría de los problemas requieren varios pasos para llegar a una solución, y se vuelve tedioso escribir repetidamente la situación en palabras.
Escribir ecuaciones y desigualdades
Estos son algunos ejemplos de ecuaciones:
Para escribir una desigualdad, se utilizan los siguientes símbolos:
> mayor que
mayor que o igual a
< menor que
menor que o igual a
no es igual a, o distinto de
Estos son algunos ejemplos de las desigualdades.
La habilidad más importante en el álgebra es la capacidad de traducir un problema planteado en la ecuación o desigualdad correcta para que pueda encontrarse la solución fácilmente. Pasar de un problema de palabras para la solución, pasa por varias etapas. Dos de los pasos iniciales definen las variables y la traducción de la palabra problema en una ecuación matemática.
Definición de las variables significa asignar letras a las cantidades desconocidas en el problema.
Traducir significa pasar la expresión verbal en una expresión matemática que contiene variables y operaciones matemáticas con un signo igual o un signo de desigualdad.
Ejercicio 1
Definir las variables y traducir las siguientes expresiones en ecuaciones:
a) Un número más 12 es 20.
b) 9 menos, de dos veces un número, es 33.
c) Cinco más de, 4 veces un número, es 21.
d) $ 20 eran una cuarta parte del dinero que se gasta en la pizza.
Solución:
a) Define
Sea n = el número que estamos buscando.
Traduce
n+12=20
La ecuación es: n+12=20
b) Define
Sea n = el número que estamos buscando.
Traduce
9 menos, de dos veces un número, es 33.
Esto significa que dos veces un número menos 9 es 33.
2 x n – 9 = 33
La ecuación es: 2 x n – 9 = 33
c) Define
Sea n = el número que estamos buscando.
Traduce
Cinco más de, 4 veces un número, es 21.
Esto significa que 4 veces un número más 5 es 21.
4 x n + 5 = 21
La ecuación es: 4 x n + 5 = 21
d) Define
Sea m el dinero gastado en la pizza.
Traduce
$ 20 eran una cuarta parte del dinero que se gasta en la pizza.
La ecuación es: 
A menudo, los problemas en términos de palabras es necesario reformularlos antes de poder escribir una ecuación.
Ejercicio 2
Encontrar la solución a los problemas siguientes:
a) Juanito trabajó durante dos horas y embaló 24 cajas. ¿Cuánto tiempo gastó en una caja de embalaje?
b) Después de un descuento del 20%, un libro cuesta $ 12. ¿Cuánto costaba el libro antes del descuento?
Solución:
- a) Definición
Sea t = tiempo, t necesario para empacar una caja
Traducción
Juanito trabajó durante dos horas y embaló 24 cajas.
Esto significa que dos horas es 24 veces el tiempo que se necesita para empacar.
Solución:
Solución:
Juanito tarda 5 minutos para empacar una caja.
b) Definición
Sea p = precio del libro antes del descuento.
Traducción
Después de un descuento del 20%, un libro cuesta $ 12.
Esto significa que el precio -20% de precio es de $ 12.
Solución:
Comprobación
20% de descuento: 0.20 $ 15 = $ 3
Precio con descuento: $ 15 - $ 3 = $ 12
La respuesta correcta.
Ejercicio 3
Definir las variables y traducir las siguientes expresiones en desigualdades.
a) La suma de 5 y un número es menor o igual a 2.
b) La distancia desde Cerano a Morelia está a menos de 150 km.
c) Rogelio necesita ganar más de 82 puntos en su examen para recibir una B en su clase de álgebra.
d) Un niño tiene que ser de 42 pulgadas o más para subir a la montaña rusa.
a) Definición
Sea n = el número que estamos buscando.
Traducción
b) Definición
Sea d = la distancia desde Cerano a Morelia en Km.
Traducción
c) Definición
Sea = Rogelio aprueba con B.
Traducción
d) Definición
Sea h = la altura del niño en pulgadas.
Traducción
Desigualdades gráficas
Ejemplo:
http://demonstrations.wolfram.com/GraphingSystemsOfInequalities/
Compruebe las soluciones de las ecuaciones
A menudo, tendrá que comprobar las soluciones de las ecuaciones con el fin de comprobar su trabajo. En una clase de matemáticas, la comprobación de que usted llegó a la solución correcta es buena práctica. Comprobamos la solución de una ecuación mediante la sustitución de la variable en una ecuación con el valor de la solución. Una solución debería resultar en una declaración verdadera cuando se evalúa en la ecuación.
Con ayuda de Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com) evaluaremos algunas ecuaciones.
Ejercicio 4
Compruebe que x = 1 es la solución a la ecuación 4x + 1 =-2x + 7.
Esta es una declaración verdadera.
Esto significa que x = 1 es la solución de la ecuación 4x + 1 =-2x + 7.
Ejercicio 5
Comprobar que el número dado es una solución de la ecuación correspondiente.
Solución:
Sustituya la variable en cada ecuación con el valor dado.
a) 
Esta es una declaración verdadera. Esto significa que x = -3/4 es una solución a 5x + 6 =-3x.
b)
y=2 es solución para 
y=-4 es solución para
.
Esta es una declaración verdadera. Esto significa que 
son soluciones de 
.
c)
Esto no es una declaración verdadera. Esto significa que t= 4 no es una solución para
Compruebe soluciones para las desigualdades
Ejercicio 6
Para comprobar la solución de una desigualdad, se sustituye la variable en la desigualdad por el valor de la solución. Una solución para una desigualdad produce una declaración verdadera cuando es sustituida en la desigualdad.
Compruebe que el número dado es una solución de la desigualdad correspondiente.
Soluciones
a) Remplazamos las variables en la inecuación con el valor
a=8 es una solución para 
b) 
b=-3 es una solución para 
c) 
x=(3/5) es una solución para 
d) 
x=29, no es solución para 
puesto que no cumple con la inecuación o llamada desigualdad algebraica.