Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 9: Punto en el cálculo infinitesimal

Un punto u objeto matemático dimensional cero, se puede especificar en el espacio tridimensional utilizando las coordenadas. Aunque la noción de un punto es intuitivamente bastante clara, la maquinaria matemática usada para tratar con puntos y objetos de puntos, suele ser sorprendentemente compleja. Esta dificultad se encontró nada menos que por el propio Euclides, en sus Elementos, dio la definición vaga de un punto como "lo que no tiene ninguna parte." Las estructuras geométricas básicas de geometría dimensional superior - la línea, el plano, el espacio y el hiperespacio - están construidos de un número infinito de puntos dispuestos de manera particular. Estos hechos llevan a la matemática a un juego de palabras, "sin geometría, la vida no tiene sentido." El punto decimal en una expansión decimal es expresado como "punto".

Los continuos, es una propiedad matemática general a la que obedecen los objetos matemáticos en los que todos los elementos se encuentran dentro de una vecindad de puntos cercanos (no hay ausencia de puntos). La designación "continuo" a veces se utiliza para indicar la pertenencia a esta categoría dentro de una función continua. Es necesario citar una generalización del principio de continuidad de Poncelet hecha por H. Schubert en 1874-1879^[1]. El principio de conservación de número, afirma que el número de soluciones de cualquier problema, determinado algebraicamente en cualquier número de parámetros, en virtud de la variación de los parámetros es invariante de tal manera que no hay soluciones que sean infinitas. Schubert le llama a la aplicación de esta técnica, el cálculo de la geometría enumerativa.

La curva y el polígono regular de “n” número de lados

Una curva es un continuo unidimensional, es función continua de un espacio unidimensional a un espacio tridimensional. En términos generales, la palabra "curva" se utiliza a menudo para referirse a la función gráfica de una curva de dos o tres dimensiones. Las curvas más simples se pueden representar paramétricamente en el espacio tridimensional como^[2]

Otras curvas simples pueden definirse implícitamente, es decir, en la forma:

En el álgebra una curva  es un campo en forma de ecuación, donde el polinomio es una curva cuadrática, cúbica, cuártica, quíntica, séxtica, octava, dodécica, … donde un punto sobre una curva es una solución de la ecuación de la curva.

Cada punto de una curva pertenece a un círculo. Un círculo es el conjunto de puntos en un plano que son equidistantes de un punto dado. La distancia desde el centro se llama radio, y el punto se llama centro. Dos veces el radio se conoce como el diámetro. El ángulo subtiende de un círculo a partir de su centro, hay un ángulo completo, igual 360º o 2pi radianes.

Sin embargo, el cálculo requería un concepto de círculo, más abstracto, uno más útil al concepto de infinito. El polígono regular (lados iguales y ángulos iguales) de n número de lados, este nuevo concepto de círculo permite concebir a un punto tangente en una curva, como un segmento de este polígono regular de n número de lados, que es parte de una curva.   

Una línea recta es tangente a una curva f(x) dada en un punto P de la curva si la línea pasa a través del punto de la curva y tiene pendiente, donde es la derivada de . Esta línea se llama línea tangente, o a veces simplemente tangente.

Si TP de la curva  es un segmento de un círculo, es decir, un lado de un polígono de n número de lados, serian el segmento PT una prolongación de ese lado del círculo, o recta tangente en T, con misma pendiente .

En al figura  la línea tangente PT y PA son líneas secantes

En la figura mostramos esta construcción en el infinito. La línea tangente a un círculo de radio a con centro en

a través de (0,0) se puede encontrar resolviendo la ecuación

Dos de estas cuatro soluciones dan líneas tangentes, como se ilustra arriba, y las longitudes de estas líneas son iguales.

En el espacio euclidiano, la curva que minimiza la distancia entre dos puntos es claramente un segmento de línea recta. Esto se puede demostrar matemáticamente como sigue: utilizando cálculo de variaciones y la llamada ecuación diferencial Euler-Lagrange. El elemento línea en   está dada por:

por lo que la longitud del arco entre los puntos y es

la cantidad que estamos minimizando

sus derivadas

y

por lo que las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange son

Estas dan

Tomando la relación,

Lo que da

Por lo tanto,  y   por lo que la solución es la representación paramétrica de una línea recta con el parámetro. La verificación de la longitud de arco de a,

Función

Una función es una relación que asocia únicamente los miembros de un conjunto con los miembros de otro grupo. Más formalmente, una función A de B es un objeto , de tal manera que cada elemento está asociado únicamente con un objeto. Una función es por lo tanto, una relación de varios a uno (o, a veces uno-a-uno). El conjunto de valores en los que se define una función se llama dominio, mientras que el conjunto de valores de la función que puede producir se llama su rango. El término "mapa" es sinónimo de función.

Desafortunadamente, el término "función" también se utiliza para referirse a las relaciones que asignan puntos individuales en el dominio de los puntos posiblemente múltiples en el rango. Estas "funciones" se llaman funciones de varios valores (o funciones de valores múltiples), y surgen de manera prominente en la teoría de las funciones complejas.

Varias anotaciones son comúnmente utilizadas para representar funciones. La notación más rigurosa es , que especifica que la función actúa sobre un solo número (es decir, es univariante, o de una variable) y devuelve un valor. Para ser más precisos, una notación similar , dondese utiliza a veces para especificar explícitamente el dominio y el codominio de la función.  En ocasiones se asigna el término “mapa” notación que a veces también se utiliza cuando la función está explícitamente considerada como un "mapa".

En términos generales, el símbolo se refiere a la función en sí, mientras que se refiere al valor tomado por la función cuando se evaluó en un punto. Sin embargo, especialmente en más textos de introducción, la notación se usa comúnmente para referirse a la función en sí (en comparación con el valor de la función evaluada en x). En este contexto, el argumento considera que es una variable ficticia cuya presencia indica que la función toma un argumento único (en oposición , etc.). Mientras que esta notación es obsoleta por los matemáticos profesionales, es la más conocida, para la mayoría de los no profesionales. Por lo tanto, a menos que se indique lo contrario por el contexto, la notación se toma en este trabajo como una abreviación de la más rigurosa.

Tipos de funciones

Funciones complejas: una función cuyo rango está en los números complejos, se dice que es una función compleja, o una función de valores complejos.

Mapa es una forma de asociar objetos únicos para cada elemento en un conjunto dado. Así, un mapa donde A de B es una función tal que para cada uno, hay un objeto único. El término función y  mapa son sinónimos.

 Hablamos de intervalo

Una función multivariada, también conocida como una función de múltiples valores, es una "función" que supone dos o más variables independientes en su dominio. Si bien estas "funciones" no son funciones en el sentido normal de ser de uno a uno o de varios a uno, el uso es tan común que no hay manera para despreciarlo. Al considerar las funciones de varios valores, es necesario hacer referencia a las funciones habituales como un solo valor de la función.

Hablamos de superficies

Hablamos de volumen 

http://www.youtube.com/watch?v=P8QHsN-dS1s 

Funciones patológicas

El término "patológico" se utiliza en matemáticas para referirse a un ejemplo concreto preparado para violar ciertas propiedades casi universalmente aceptadas. Problemas patológicos suelen proporcionar interesantes ejemplos de comportamiento contrario a la intuición, además de servir como un excelente ejemplo del por qué de las condiciones necesarias para que muchas afirmaciones matemáticas puedan ser una verdad universal.

Por ejemplo, son las funciones Blancmange  (curva fractal), son ejemplos de una función continua que no es en ninguna parte diferenciable, una posibilidad que para muchos estudiantes de cálculo parece bastante sorprendente. En los tiempos antiguos, cuando uno inventó una nueva función era para un propósito práctico, hoy se les inventa deliberadamente para parecer defectos en el razonamiento.

Si la lógica fuera la única guía del profesor, sería necesario comenzar con las funciones más generales, es decir, con la más extrañas.

Una función cuyo intervalo está en los números reales se dice que es una función real, también llamada una función de valor real.

Una función de valor simple, para cada punto en el dominio, tiene un valor único en el rango. Por lo tanto, uno a uno o de varios a uno.

Una función especial (por lo general con nombre de un investigador) que tiene un uso particular en la física matemática o alguna otra rama de las matemáticas. Ejemplos destacados incluyen la función gamma, función hipergeométrica, la función de Whittaker, y Meijer G-función.

Una función de cero es una función que es en todas partes cero.

Las funciones con las que más estamos familiarizados son las funciones algebraicas y trascendentales. Las primeras son racionales  (enteras o polinómicas, y fraccionarias P(x)/Q(x))  e irracionales o complejas. Las trascendentales son trigonométricas, logarítmicas, exponenciales.  

Funciones escalares (devuelven un número escalar) y funciones vectoriales (devuelven vectores).

Límite

Si  es una función para cualquier valor de x cerca de x=a, sin ser x=a, y si L es un número real tal que converge acercándose a L, como los valores de x son tomados cada vez más cerca de a, entonces inferimos que L es el límite de cuando x se aproxima en una razón infinitesimal cerca de a y esto lo escribimos:

Una función se dice que tiene un límite, si para todo , existe una tal  (que depende de ) que. Decimos entonces que el límite L está definido  para cuando x se aproxima a a. Esta forma de definición es a veces llamado una definición épsilon-delta. Es decir, expresa que cuando x se está aproximando es diferente de a, entonces está cerca de L. La función no es necesario que esté definida en a. El límite está relacionado con el comportamiento de funciones cuando x está a un paso infinitesimal de a, pero no en a.

Ejemplo: Mostrar que el

Demostración. 

Método uno:

Sea  y definimos , tenemos entonces que

Por tanto hemos demostrado

Si en particular, si , entonces , es decir, sería de 0.003333, este valor de .

Método dos:

Si evaluamos x por encima  y por debajo para determinar un, donde

como no hay distancias negativas

Podemos ver en el manejo de dígitos , de modo que elegimos =0.0033

Ejemplo: Mostrar que el

Demostración. 

Método uno:

Sea y definimos, tenemos entonces que

Por tanto hemos demostrado

Si en particular, , entonces , es decir, sería de 0.001428 este valor de .

Método dos:

Si evaluamos x por encima  y por debajo para determinar un, donde

como no hay distancias negativas

Podemos ver en el manejo de dígitos, de modo que elegimos =0.0014

Los límites pueden ser tomados desde abajo

o desde de arriba

Si las dos son iguales, a continuación, el límite se dice que existe

Un límite inferior h

Se dice que existe si por cada uno , para un número infinito de valores n y sí no hay ningún número h más menor que tiene esta propiedad.

Un límite superior k

Se dice que existe sí, por cada uno , para un número infinito de valores n y si no hay ningún número h más grande que tiene esta propiedad.

Formas indeterminadas límite del tipo y con frecuencia se pueden calcular con la regla de L'Hpital. Los tipos 0 y  se pueden convertir a la forma por escrito,

Tipos,y son tratados mediante la introducción de una variable dependiente,

de modo que

luego se calcula el límite. El límite original, entonces es igual,

La forma indeterminada es también frecuente.

Ejemplos, determine los límites:

a)

Solución: cuando x está cerca de 4, 5x-6 está cerca de (5x4)-6=14, escribimos 

b)

Factor [x^2-x-6]

=(x-3)(x+2)

Limit [ (x^2-x-6)/(x-3), x->4]

c)

Para este ejemplo no hay método algebraico para simplificarlo, lo haremos con calculadora electrónica 

d)

Escoja una sucesión de números que se aproxime a 0, los valores oscilarán mucho, 

Por la gráfica podemos concluir que no hay en la aproximación ningún número L cuando se acerca a cero, no existe el límite.

Aplicando regla de  L’Hspital

Sí , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe, este límite coincide con

Teoremas

Para hacer la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se utilizan los siguientes teoremas:

Teorema 1:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces 

Demostración:

Teorema 2:

Sea a una constante, entonces

Teorema 3:

Teorema 4:

Donde c es una constante

Teorema 5:

Teorema 6:

Continuidad de una función en un valor de x, sea a ese número,   es continua si cumple con tres condiciones:

Aplicación de los teoremas

Ejemplo 1: Encontrar

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

Soluciones:

a)

b)

c)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

URL’s

Xah Math, diccionario visual de espacios planos curvos

http://xahlee.info/math/math_index.html

Materials for the History of Statistics

http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/welcome.htm 

The MacTutor History of Mathematics archive

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/ 

Calculus on the Web

http://cow.math.temple.edu/~cow/cgi-bin/manager 

Leyes de cosenos

http://www.usamts.org/Images/Side8.swf 

Recursos federales para la excelencia de la educación

http://free.ed.gov/index.cfm 

Arte matemático 

http://www.wackerart.de/index.html http://www.fractaldomains.com/downloads/ 

Aplicaciones y recursos 

http://education.wolfram.com 

http://mathworld.wolfram.com 

http://www.sciencedirect.com/science/journal/03150860/20/2

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sphere.html 

Glosario

[1] Bell, E. T. (1992) The Development of Mathematics, New York: McGraw-Hill, p. 340.

[2] Charatonik, J. J. and Prajs, J. R.(2001) On Local Connectedness of Absolute Retracts. Pacific J. Math. 201: 83-88.

[3] Altshiller-Court, N.(1979) Modern Pure Solid Geometry. New York: Chelsea.