Texto universitario

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Módulo 3. El infinito  

Después de descubrir el número y desarrollar los sistemas numéricos, surgió una curiosidad de la civilización ¿cómo podía emplear la idea de número como estilo de pensar al mundo como algo numerable? Richard Feynman refirió a esta pregunta, del fondo de la respuesta a esta así nació el cálculo, como un truco para revelar el diseño de Dios de esta realidad. Tal vez, el diseño del universo alberga vida inteligente con la capacidad de observar su propia base axiomática que le permite poseer conciencia de sí. En cualquier caso, es un misterio que la naturaleza obedezca a los axiomas de nuestra razón, que además expresa su predictibilidad con cálculos de lenguaje artificial (matemático). 

Las ecuaciones diferenciales que son estructuradas con derivadas, integrales, funciones, infinitos, ceros, límites, espacios geométricos…, son infinitamente muy próximas a la coherencia con la realidad. Esta idea parte que algo así, es como revelar el diseño del arquitecto del orden de este universo. Donde las ecuaciones fundamentales son el sistema operativo donde corren otras arquitecturas matemáticas de la realidad, donde estas últimas son subyacentes al sistema operativo. Calcular es aprovechar esta propiedad que el orden matemático de la naturaleza expresa.

Las ecuaciones de Newton son un conjunto pequeño de ecuaciones diferenciales con simetrías en su contenido, con ellas la gravedad y el movimiento en la tierra y el mismo  universo quedó conectado como un patrón en el que se postula que todas estas matemáticas son válidas en cada uno de los lugares espacio-temporal de nuestra realidad. El cálculo se nos reveló como un lenguaje que fusiona las nociones de número, espacio geométrico, probabilidad, categorización y lógica como un poder de predicción. Lo hemos usado en el mundo ahora mismo para crear lo no dado en este universo, elementos químicos, anticuerpos, fármacos, música y toda clase de lo sintético. La habilidad de calcular se educa en los más jóvenes para que desarrollen el pensamiento profundo exigido por los secretos revelados de un Big Bang matemático.

¿Qué es el cálculo? Quizá es un habla del conocedor predictor, de la más avanzada experiencia matemática, entendido como el arte de modelar. La búsqueda de la existencia resulta la estimulación perfecta para el desarrollo del cálculo. El infinito como accesible espacio para realizar cálculos en sus fronteras, nos animó a grandes ideas en la aventura del cálculo. Si todo lo real en su diseño es un orden matemático, ¿cómo podremos saber las ecuaciones de diseño? 

3.1 Por favor si tienes miedo al infinito, esta lectura no es para ti

El infinito captura la fascinación de la humanidad por alcanzar a conocer, capturando con su imaginación algo tan monstruoso en su tamaño. El infinito es una cuenta numérica que parece imposible, un sueño de lo que el tiempo y el espacio pudieran ser. El infinito es una biblioteca con libros por escribir que resultan inesperados para dioses humanos jugando a fracturar lo imposible. El infinito es una secuencia de programación en un ciclo interminable de posibilidad eterna. Pero nuestra existencia es finita, nuestra capacidad neuronal es finita, nuestro mundo es finito, pero quizá habitemos una realidad circular en sus líneas de tiempo. Pero, un juego de trompos todavía ocurre en esa calle empedrada de mi pueblo en 1976 y ese sueño con nuestra primera musa en la escuela secundaria, significa que el flujo de la historia persigue pasos circulares para siempre y cada uno de esos eventos es infinito.

El fractal, pequeños programas que regresan sobre sí mismos, como autorreferencia de lo infinito. Son formas construidas a partir de una huella geométrica heredable a partir de copias de sí mismo, por lo que acercarse a ellos es descubrir como las plantas y los animales construyen sus detalles geométricos a partir de indefinidas divisiones de copias geométricas. Lo que significa, que un árbol es un fractal, lo que podemos reconocer como un programa de ciclo infinito en su huella geométrica. Nuestro ojo puede ver esto.

Cuando colocas una cámara frente a un espejo, descubres una imagen dentro de otra imagen igual y así sucesivamente hasta que el sistema colapsa ante la imposibilidad de alcanzar el infinito al que tiende. Estos fractales parecen estar también presentes en las  grandes obras literarias^[1]. Las posibilidades del lenguaje natural y artificial son infinitas. El arte, el conocimiento científico, la combinación de nuevas emociones, los genotipos, la música, la poesía…, son infinitas posibilidades creativas.

Visualizamos al infinito de lazos y autorreferencia de todas las posibilidades sociales de nuestro enjambre humano, como las historias morales posibles para nuestra existencia. Los niños preguntan si un infinito dentro de otro infinito no solo es algo extraño, sino nuestra propia condición natural. Me gustaría mirar cuando dos rectas paralelas se unen en el infinito, me gustaría entender cómo seres finitos están condenados a habitar universos infinitos como una forma de realización cultural. 

El infinito parece ser para siempre, división de la materia que tiende a la frontera de la nada, que en nuestro mundo moderno de violencia y virtud extrema parece proclamar para la vida humana: humildad y rebeldía. Un compañero nos dijo que algunas cosas indeseables son infinitas, tal como que el poder infinito corrompe al hombre, así que las formas déspotas y autoritarias de lo irracional siempre estarán para recordarnos que la razón por siempre estará en franco peligro de extinguirse. Nuestro campo como profesores escritores, tiene la forma en que poseemos al discurso literario del texto académico, como infinitas innovaciones discursivas para persuadir, seducir y lograr progreso ético en mentes de jóvenes que para serlo, tienen que ser rebeldes ante los intentos del fin de la historia de las ideas.

Escribir provoca paradojas, de que una gramática finita, reglas ortográficas, puntuado y un alfabeto finito permitan crear al mismo tiempo infinitas expresiones poéticas, científicas y de mundos posibles en el arte. No hacer frente a las pruebas de rigurosidad lógica del infinito, provoca en la mente de los más jóvenes, de acuerdo con nuestra experiencia como profesor universitario, que su imaginación se reduzca hasta el absurdo de no concebir lados en un objeto matemático tal como un polígono regular de n número de lados, llamado círculo. No hacer frente a este desafío de la imaginación, instala a los estudiantes en el vertido del cálculo, en la frontera de los infinitos en el terror de sus existencias finitas.

Uno de los papeles de la intuición matemática, es explicar cómo nuestra existencia finita está condenada a desarrollarse en un escenario infinito. Sí, una idea similar permite entender que no hay nada más natural en este mundo que el infinito y que este está en todas partes donde miramos en la realidad. 

El infinito es una idea escurridiza para pensar y precisar. Lo infinito es un ciclo para siempre. Lo infinito es más grande que lo finito. Si sumamos uno al infinito el resultado es infinito. Si agregamos un infinito al infinito sigue siendo igual de infinito. Pero quizás existen infinitos más grandes que otros. Si dividimos una pieza de materia entre infinito, quizá allí está un puerto para alcanzar la absoluta nada. Estas ideas los niños las encuentran fascinantes, pero son los profesores de su educación básica los que por grave error los obligan a no pensar en ellas, dado que en sus mentes hay miedo al abordar esta empresa de conocimiento matemático.

Cuando el niño realiza una cuenta de uno en uno, no importa lo que muchos digan, siempre podríamos agregar un uno más y obtener una nueva frontera para el infinito, esta idea de que no hay número más grande que infinito es la esencia del cálculo avanzado. Aproximaciones infinitas al cero, ángulos infinitos, áreas infinitas, divisiones infinitas, arcos de curvas infinitamente pequeños, es cuando la idea de infinito emerge como la pieza del cálculo algebraico exacto. En una película de juguetes animados los niños descubren la frase “al infinito y más allá”, es una expresión desafiante y a la vez, una invitación intelectual a reconocer lo abstracto de nuestra realidad física y biológica en sus posibilidades infinitas en la genética, en la arquitectura de elementos químicos, de anticuerpos sintéticos…; una vez que estos niños piensan en el infinito, el pensamiento matemático surge como experiencia emocional fascinante y es nuestra obligación pedagógica no permitir que algunos docentes limiten su potencial intelectual, de ello dependerá que al ser adultos cuajen como artistas, músicos, matemáticos, científicos, escritores de poesía o ingenieros, así que este humilde texto pretende una empresa humanista para promover el pensamiento matemático como expresión de dignidad humana.

La empresa pedagógica de promover el pensamiento matemático, desde la misma frontera conceptual del finito en la probabilidad, la lógica, el número, en la geometría, la categorización, es solo el mejor pretexto para ir al infinito y más allá; rogamos y hacemos votos porque la educación en nuestra comunidad haga enormes esfuerzos por cultivar el pensamiento matemático como estrategia medular del desarrollo de la razón, como medio para la justicia social más plena posible, esa que reduzca la violencia en México. En línea con la evidencia científica que Steven Pinker apunta como la mejor forma del declive de los índices de la violencia^[2].

Octavio Paz definió en el “Arco y la lira^[3]” la relación del infinito en la poesía como posibilidad creativa, colocó en un extremo del espacio del conocimiento a las proposiciones matemáticas y en el otro a la metáfora, y fuera de este la infinita posibilidad creativa representada como un límite expansible sobre la nada. Lo infinito, lo finito y la nada es el sistema donde el creativo desarrolla su mayor expresión de dignidad humana. Desde esta perspectiva la creatividad es todo lo que no la esclavice, la censure y la violente con sus brazos corruptos, de lo contrario no puede ser llamada educación. Esta conclusión apoyada en Octavio Paz, nos anima a promover el proyecto del pensamiento matemático y, como dice Christopher Daniels, es un aspecto de lo más importante en el aprendizaje innovador desde Aristóteles. Aprendemos preguntando paso a paso ¿por qué?, esto es más importante que aprender hechos y técnicas, en matemáticas siempre hay estimulantes y fascinantes preguntas por contestar, y en ellas hay un proyecto de vida de lo más emocionante para nuestra juventud^[4].

3.2 ¿Por qué importa el infinito para valorar el cálculo?

Es sin duda un camino a la abstracción. Este camino tiene el sentido de descubrir acerca de algo con lo que convivimos intensamente. Quisiéramos subir alto la vista para obtener una perspectiva sobre las extrañas cosas que se pueden reconocer entre el infinito y la facultad intelectual de realizar cálculos. Seguro hay alegría para este esfuerzo mental y la emoción que conspira a lo mejor del pensamiento abstracto. Las matemáticas deberían ser un viaje con la intensidad de lo imaginado al modo cuando tomamos un libro de Julio Verne.

El infinito es un tipo de número de gran tamaño, algo abstracto para medir el tiempo, el espacio, y cualquier otra cosa infinita. Partimos que tratamos al infinito como pensado como un número. Si agregamos 1 a un infinito, esto es como resultado infinito. Pero esto considera por error al infinito como un número ordinario. 

Los matemáticos usan a la lógica para comprender cosas como el infinito y esto nos lleva a extraños lugares conceptuales a los que no pretendimos ir. Los matemáticos juegan con ideas para delimitar lo que son los objetos matemáticos justo antes de definir su maravillosa esencia. 

Una de las cosas que es tentadora sobre el infinito es que es tan fácil toparse con ideas extrañas como el Hotel de Hilbert, con un número infinito de habitaciones, el cual se comporta muy distinto a uno normal. Sabemos que no podemos manipular el infinito en ecuaciones, como lo hacemos con números naturales. Parece que el infinito no puede ser un número natural. Pero qué significa esto:

Si agregamos uno al infinito es infinito. Esto es:

Si tratamos esta ecuación como con los números naturales y restamos de ambos lados infinito:

Evidentemente este resultado es contradictorio. Pero si sumamos infinitos:

Resulta que:

Resulta igual de contradictorio. Pero en la multiplicación pasa lo mismo:

Si dividimos ambos lados entre infinito:

El problema es que manipulamos al infinito como si fuera un número natural sin saber si lo es. Parece que podemos concluir que el infinito no es un número natural. Pero los números parecen ser los cimientos de las matemáticas, cómo es posible que el infinito no sea un número natural, sería mejor pensar qué son los números antes de afirmar esto. Parece que hemos durante mucho tiempo usado números sin saber qué son. Es como en la física usar la masa como algo que no sabemos qué es en su más profunda realidad. El punto es este. Los números enteros negativos y fraccionarios son tan malos unos como otros para definir el infinito, la cosa cambia cuando empleamos a los irracionales, allí las cosas se ponen aún más difíciles pero también más interesantes. Este desbloqueo en el pensamiento matemático es el que condujo al desarrollo del cálculo que a su vez, llevó a grandes saltos hacia adelante en la precisión y la comprensión de la ciencia y la ingeniería en estos dos últimos siglos. Pero para entender estos números irracionales tenemos que regresar a los principios axiomáticos y desde allí resolver este misterio.

Se preguntará, porque no simplemente declarar al infinito como un número incontable. Para entender esto, tenemos que comprender cómo funciona la matemática. Esto podría sentirse como ir al diccionario y buscar una definición a la palabra “infinito”. Para entender al infinito debemos antes comprender a los números y esto nos lleva a los cimientos de las matemáticas. Al parecer las matemáticas solo pueden estudiar cosas que siguen las reglas de la lógica. Cuando decimos que algo es un objeto matemático, podemos decirlo que pertenece a una lista de elementos coherentes con la lógica. Para ello, debemos mostrar sus propiedades de manera que nos permitan mirar racionalmente al objeto. Entonces, el desafío es construir una lista, que para nada está terminada y que por mucho está agotando el conocimiento de estos objetos matemáticos. Para saber si el infinito es un número, debemos probar que se comporta como un número. 

Las matemáticas parecen ser un proceso del que nunca se consigue llegar a ningún lugar que se quiere. Porque cada vez que nos aproximamos se nos revelan otras cosas que no sabemos. Definitivamente, a través de los números naturales no llegamos al infinito. Podemos darnos cuenta que con cada nuevo tipo de número que se construye, se forma con uno previo que ya se conocía. Así, en el edificio de la matemática se construyen nuevos objetos matemáticos siempre de cosas anteriores. Construir de esta manera tiene la ventaja además de ahorrar capacidad intelectual, nos ayuda a ver las relaciones entre los diferentes conceptos y cómo encajan para hacer a la matemática algo coherente. Si damos a los símbolos matemáticos conceptos abstractos, esto nos ayuda a la manipulación simbólica.

Regresando a nuestra búsqueda del infinito, podemos emplear a los números enteros, que resultan ser más útiles que los naturales. Lo primero que cambia es que integramos al cero, un número que es neutral bajo la suma y la resta. En matemáticas decimos que cada número tiene un inverso aditivo, un número por el cual deshace el número original, es decir, esto nos lleva de nuevo a cero. 1-1 o 2-2. Pero esto nos conduce al infinito sin aportar nada nuevo.

Para los números fraccionarios a/b las cosas son más prometedoras, por ejemplo, desde nuestra educación primaria nos dijeron que no está definida la división entre cero. Pero quizá al dividir la unidad entre cero es una manera de llegar al infinito.

Es como decir que vamos a repartir un pastel entre cero personas. Esto no es lógico, no parece sensato. Sin duda la división es la más compleja de las operaciones básicas. Podríamos pensar que cada número tiene un inverso multiplicativo. Pero cómo sería el inverso del cero. No podemos definir al infinito como:

,

porque no hay manera de dividir infinito entre cero, porque simplemente no podemos interpretar esto. Pero nos da conocimiento de que fraccionarios permiten construir a los enteros.

Un número irracional es un número que no puede describirse como una relación de enteros a/b. La construcción de estos números resulta complicada, pero la idea de que son necesarios para llenar los huecos entre la recta numérica de racionales, es un hecho que esta recta real se forma de irracionales, racionales y enteros, positivos y negativos. Lo contradictorio es que hay más números irracionales que racionales. Esta es otra cosa misteriosa que sucede cuando pensamos en el infinito. La unión entre números racionales e irracionales en la recta real no resuelve 1=0 al tratar de definir al infinito como un real. 

Quizá ya se ha dado cuenta que esta búsqueda de infinito parece inútil ¿Qué tipo de número podría ser infinito? Hasta ahora cada tipo de número lo hemos definido como algo que se permite restar, rellenar huecos como bloques de construcción. Necesitamos cambiar nuestra perspectiva sobre los números y encontrar que son los infinitos. Hemos intentado contar hasta infinito y no funcionó. Pero aquí hay una sorpresa, cuando los niños aprenden a contar no lo hacen añadiendo uno repetidamente, lo hacen contando con sus dedos al modo de conjuntos que se suman. Contar con los dedos es muy profundo y esto podría llevarnos hasta infinito, aunque nuestros dedos lo hagan solo hasta 10.

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Pero si nosotros no conocemos previamente el concepto de diez, cómo podríamos encontrar a diez o nada. Con esto, es cuando los matemáticos finalmente se dan cuenta que definir un número rigurosamente no conduce a nada nuevo. El niño intenta asociar sus dedos con un número y lo hace para cada cosa que hay en la realidad. 

Abordar esto con rigor, es lo que permite a los matemáticos estar de acuerdo entre sí sobre lo que consideran verdadero. En lugar de argumentar sobre ideas de teorías, los matemáticos se basan en las reglas de la lógica, la idea es que si solo se utilizan objetos que se comportan estrictamente de acuerdo con las reglas lógicas, ningún desacuerdo puede surgir. Sin embargo, que sucede si utilizamos objetos que no se comportan con la lógica y pudieran producir diferentes respuestas válidas. El mundo en general, no se comporta de acuerdo con la lógica formal clásica. Si le das a un niño los recursos para despojarse de las ambigüedades, solo manipulará las cosas coherentes con las reglas de la lógica. El punto es, porqué intentar lidiar con el infinito. Es reconsiderar a los números finitos de una manera diferente que nos permita pensar desde un acercamiento diferente a los números por conteo. 

El conteo es esencialmente un proceso de emparejar un conjunto de cosas con otro conjunto de cosas que definen el número en cuestión. Si vemos a los números no como índice de cosas, sino como un conjunto. Podemos pensar a los números como conjuntos de elementos. 

Para cero, podrías referirlo como un conjunto vacío, contiene un vacío como elemento. Un conjunto para el número uno, contiene a uno y al vacío, es decir dos elementos. A este proceso de emparejar números con cosas es a lo que se llama en matemáticas función. Esta idea de emparejar las cosas nos va a dar nuestra primera definición válida de infinito, así que vamos a ver cómo funciona esto para algunas situaciones matemáticas. Contar en matemáticas no es un uno más uno nombrando cada número. Significa emparejar los objetos que se están contando con los objetos en un índice de números. El infinito es un conjunto que contiene a todos los conjuntos de los números enteros positivos, significa emparejar objetos con los índices infinitos dentro de una relación biyectiva o función. Un conjunto infinito es contable si es posible que sus objetos sean emparejados con el índice de números naturales. Así que, lo que estamos diciendo es que el conjunto infinito se llama contable si los objetos pueden ser emparejados con los números enteros positivos. O formalmente, si hay una función biyectiva a los números enteros positivos. Este conjunto infinito se llama simplemente infinito. Pero, ¿hay conjuntos infinitos que son incontables infinitos?

Ahora que estamos comenzando a tener pistas de que hay diferentes infinitos, deberíamos empezar a tener más cuidado de cómo escribimos infinito. El símbolo solo significa cualquier cosa no finita. Sin embargo, ahora tenemos una noción muy específica de infinito, que corresponde a nuestro conjunto de índice de números enteros positivos. Por otro lado, pareciera imposible pensar en algo más grande que el infinito. Hemos descubierto que dos infinitos no son más grandes que el infinito, e incluso el infinito al cuadrado. Así que, al final debemos encontrar un infinito que sea más infinito que otro. ¿Qué hay más infinito que los números enteros positivos? La primera idea es tratar de contar a los irracionales. 

En lugar de iniciar demostrando que los irracionales son números incontables, debemos demostrar que los números reales son incontables y de esta manera los segundos también lo serán. 

Ya sabemos que los racionales son contables si ponemos dos conjuntos contables juntos, obtenemos otro conjunto contable. Los números reales son difíciles de anclar, pero por ahora digamos que son todos los números decimales posibles, donde los decimales pueden seguir para siempre. 

A estas alturas ya entendemos la importancia de lo preciso de un lenguaje. La historia de las matemáticas es, entre otras cosas, una historia sobre la invención de un lenguaje cada vez más preciso y técnicas para explorar las ideas abstractas requeridas para modelar el mundo físico. Las nuevas ideas nos obligan a mirar hacia atrás y más precisamente redefinir nuestro antiguo vocabulario. Esto puede sonar como retroceso tedioso, pero ha sido una fuerza impulsora que ha provocado algunos de los mayores avances en matemáticas. Ya es hora de que retrocedamos. Comencemos nuestra historia por definir la simetría de un objeto como un movimiento rígido que deja el objeto aparentemente sin cambios. Ahora es finalmente el momento de definir con más precisión el término "movimiento rígido". Históricamente, esto fue necesario para probar muchos de los teoremas.

Además, dado que el retroceso implica encontrar nuevas formas de pensar en viejas ideas, nos llevará a descubrimientos inesperados y otras verdades.

¿Hasta dónde debemos retroceder? Antes de decidir qué es un movimiento rígido del plano o del espacio, debemos decidir qué es el “plano” y " el espacio". Dado que el plano está hecho de pares de números y el espacio de los tripletes de números, nosotros primero debemos decidir qué es un número.

Hasta ahora, hemos introducido los siguientes conjuntos importantes de números:

¿Cuál de estos conjuntos es el más grande? Podría responder que R es el más grande porque contiene a los otros. O puede responder que todos tienen el mismo tamaño, es decir, infinito. Hasta hace poco más de un siglo, los matemáticos estaban contentos con la decisión de que cada conjunto infinito tiene el mismo tamaño que cualquier otro conjunto infinito. No estaban en lo correcto ni en lo incorrecto: esto es simplemente lo que significaron con la frase "mismo tamaño".

DEFINICIÓN DE MODA ANTIGUA DE “MISMO TAMAÑO”: se dice que un par de conjuntos tienen el mismo tamaño si cualquiera de los dos es finito y tiene el mismo número de miembros o ambos son infinitos.

Esta definición probablemente parece razonable, pero estás a punto de aprender una hermosa verdad sobre el infinito a la que esta definición te ciega. Los matemáticos que usaron esta definición, no entendían su punto ciego más que los matemáticos griegos antiguos que entendían las verdades a las que estaban cegados cuando definían "número" como "número racional". En la historia del pensamiento matemático, este "infinito" el punto ciego era tan importante como el punto ciego "número", y su eliminación desató un mundo rico de ideas fundamentalmente nuevas.

¿Qué más podría significar la frase "mismo tamaño"? Para responder a esta pregunta, pensemos más detenidamente acerca de cómo comparamos los tamaños de los conjuntos. Cuando mi hijo era pequeño, le di diez vasos y diez ciruelas, y le pregunté si había tantas ciruelas como vasos. Un adulto habría contado por separado las ciruelas y los vasos y compararía las respuestas, pero mi hijo aún no sabía cómo contar hasta diez. Así que en lugar de eso, simplemente colocó una ciruela en cada vaso. Como las ciruelas y los vasos se combinaban perfectamente, sabía que había un número igual de cada uno.

Si le dan dos juegos infinitos y le preguntan si tienen el mismo tamaño, entonces su situación es muy análoga a la de mi hijo. No tiene la capacidad de contar por separado cada conjunto porque no sabe cómo "contar hasta el infinito". Su solución más razonable es la que usó mi hijo: debe tratar de encontrar una correspondencia uno a uno (un apareo) entre los miembros de los dos conjuntos. Esta idea no es un juego de niños, es tan importante que se convertirá en nuestro nuevo significado de "mismo tamaño".

DEFINICIÓN MODERNA DE “MISMO TAMAÑO”: se dice que un par de conjuntos tienen el mismo tamaño si sus miembros pueden ser emparejados con una correspondencia uno a uno.

Es hora de olvidar la definición antigua, y de ahora en adelante, usar solo la definición moderna. Para decidir si dos conjuntos tienen el mismo tamaño, su único trabajo es determinar si sus miembros pueden ser emparejados con una correspondencia de uno a uno. Por ejemplo, para decidir si tiene la misma cantidad de dedos que el desconocido que acaba de encontrar en la escuela, no puede contar y comparar; más bien, debe intentar hacer coincidir los dedos al acercar las manos. A menudo es muy natural comparar tamaños haciéndolos coincidir en lugar de contar. Encontrar una correspondencia uno a uno puede requerir inteligencia y persistencia. 

DEFINICIÓN: Un conjunto infinito se llama contable sí tiene el mismo tamaño de N (el conjunto de números naturales).

Demostración de que los números racionales positivos son contables: Este es un método alternativo para enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa organizarlos en una lista infinita, pero primero nos conformamos con organizarlos en una cuadrícula infinita que (como la cuadrícula de una hoja de cálculo de una computadora) tiene un borde superior y un borde izquierdo, pero se extiende indefinidamente hacia abajo y hacia la derecha. La disposición más natural es así, con la columna que determina el numerador y la fila que determina el denominador:

Ahora organizamos las celdas de esta cuadrícula infinita en una lista infinita serpenteando a través de la cuadrícula de esta manera:

Si registramos las fracciones que visitamos a lo largo de este serpenteante camino púrpura, y eliminamos las redundantes a medida que avanzamos, nuestra lista comenzará así:

Ahora que hemos enumerado con éxito todos los números racionales positivos, podemos insertar cero en el frente e intercalar los negativos como antes.

Nuestro próximo objetivo es decidir si R (el conjunto de todos los números reales) es contable. Para apreciar la pregunta, intente construir una lista infinita {1st real, 2nd real, 3rd real…}. Puede comenzar con una lista de los números racionales y luego insertar algunos números irracionales famosos como Pi y raíz de 2 al principio de su lista. Pero, ¿qué hay de los irracionales menos famosos? Cuantos más agregue a su lista, más descubrirá que falta algo. ¿Hay demasiados números reales para incluir en una sola lista infinita? La respuesta a esta difícil pregunta fue descubierta por Georg Cantor alrededor de 1872.

Conocemos muchas formas de construir una lista infinita de números reales en la que ninguna los incluye a todos. Pero esto no prueba el teorema de Cantor, ya que alguien más inteligente que yo podría algún día tener éxito en incluirlos a todos. Para probar su teorema, Cantor tuvo que demostrar sin ninguna lista, no importa lo ingeniosamente que resulte construirla, que no podría tener éxito en incluir todos los números reales. En otras palabras, tuvo que probar que cada intento de listado está condenado por adelantado. Así es como lo hizo:

DEMOSTRACIÓN: probaremos que cualquier lista de números reales está incompleta. No importa cuán escrupulosamente se organizó la lista, algunos números reales definitivamente se dejaron de lado. Más precisamente, describiremos un procedimiento concreto para identificar un número real que falta en cualquier lista de números reales.

Imagina una lista de números reales. Tal vez fue creado por su alumno, quien hizo todo lo posible para incluir todos los números reales. Tal vez comienza así:

Aquí hay un procedimiento concreto para identificar un número real que falta en la lista. Llamaremos a este número faltante M. Estará entre 0 y 1, por lo que tendrá la forma:

donde cada dn es un dígito (0-9). ¿Cómo debemos elegir estos dígitos para asegurarnos de que M NO esté en la lista? La respuesta es ingeniosa, y se indica con los dígitos en rojo en la lista del alumno. Aquí está: Elija el primer dígito de M, d1, para que no sea el primer dígito (después del punto decimal) del primer número en la lista. Esto asegura que M sea diferente del primer número en la lista, ya que tiene un primer dígito diferente. Elija el segundo dígito de M, d2, para que no sea el segundo dígito del segundo número de la lista. Esto asegura que M sea diferente del segundo número en la lista, ya que tiene un segundo dígito diferente. ¿Ves la idea? Elija el enésimo dígito de M, dn, para que sea cualquier otra cosa que el noveno dígito del enésimo número en la lista, lo que asegura que M sea diferente del enésimo número en la lista, ya que tiene un noveno dígito diferente.

En el ejemplo del alumno, la diagonal roja incluye los números {1, 3, 4, 0, 7, 7, ...}, por lo que debemos elegir

Esto nos deja mucha libertad. M = 0.258163 ... funciona bien, al igual que muchas otras opciones. Con cada dígito, hay diez opciones (0–9), y solo una opción no está permitida, lo que aún nos deja nueve opciones. Para estar en el lado seguro, también evitaremos los números 0 y 9, que aún dejan al menos siete opciones para cada dígito. 

En resumen, podemos usar este procedimiento diagonal para construir un número real, M, que falta en cualquier lista de números reales. Por lo tanto, ningún listado de números reales podría estar completo. Por lo tanto, los números reales nunca podrían organizarse en una sola lista, son incontables.

El Teorema de Cantor dice que, en un sentido muy preciso, los conjuntos infinitos y no tienen el mismo tamaño. Por lo tanto, la definición moderna de "mismo tamaño" lleva a esta verdad: no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño, ¡algunos son genuinamente más grandes que otros! Este es un fenómeno sorprendente y notable. En la escritura popular, se describe con frases como "diferentes tamaños de infinito" o "más infinito que infinito".

Durante la vida de Cantor, su trabajo fue criticado por teólogos que lo consideraron un desafío a la noción de Dios como el único infinito y también por matemáticos que se sentían incómodos con sus conclusiones contra intuitivas. Pero al final, no se puede discutir con una prueba sólida. Las conclusiones de Cantor fueron finalmente aceptadas, provocando un cambio de paradigma en la forma en que los matemáticos pensaban sobre conceptos fundamentales de los números y los conjuntos.

Demostramos que estos decimales interminables son incontables usando el truco de Cantor, que ahora se conoce como el argumento diagonal de Cantor. De hecho, los números reales entre 0 y 1 son incontables por sí mismos. Otra manera en que algo puede ser “más infinito” que los números naturales es más sutil y tal vez, se relaciona  con la palabra incontable. Hemos demostrado que los números reales son más infinitos que los números naturales, pero ¿Cuánto más infinitos son? ¿A qué distancia está del infinito el infinito más grande? Para ello se requiere del conteo abstracto.

3.3 Conteo abstracto

El cálculo es uno de los logros globales entre culturas más inspirador para la humanidad como una unidad de civilización. No es necesario hacer cálculos para apreciar su poder, así como no es necesario conocer el funcionamiento electrónico de un teléfono celular para disfrutarlo. Requerimos de fenómenos matemáticos que guíen nuestras preguntas matemáticas para imaginar lo que sucede con estos objetos matemáticos. El cálculo es esencial para entender la cuarta revolución industrial que nos da el mundo como el que hoy conocemos.

El primer hito del cálculo como desarrollo industrial, se da en las máquinas de vapor y la mecánica de motores y medios mecánicos para herramientas industriales. Pero quizá el mayor logro para intensificar la socialización humana ocurrió con las comunicaciones inalámbricas. La historia de Maxwell ilustra un tema que se va viendo una y otra vez como un logro del cálculo. A menudo se dice que las matemáticas son el lenguaje de la ingeniería y la ciencia. Hay mucho de verdad en ello. En el caso de ondas electromagnéticas, fue un paso clave para Maxwell traducir las leyes que habían sido descubiertas por Faraday, Coulomb y otros de manera experimental a ecuaciones expresadas en lenguaje de cálculo diferencial y luego tensorial. 

Pero la analogía del lenguaje es incompleta, es un sistema asombroso de razonamiento en la frontera del infinito en lo macro y en el microcosmos. Nos permite transformar una ecuación simbólica en otras, solo sujetándonos a operaciones de ciertas reglas profundamente enraizadas en la lógica, los números, la geometría… El cálculo es construir largas cadenas de símbolos, que son cadenas de inferencias lógicas. Es un pensamiento hipotético deductivo, si somos suficientemente hábiles y afortunados de transformar las ecuaciones de manera correcta, podemos conseguir que revelen sus implicaciones ocultas y por ende a los objetos que hacen referencia en la realidad. Para un matemático y un poeta es como adoptar un estilo de pensamiento. Los mensajes que producen el poeta y el matemático, son creados para revelar los secretos de la vida humana y de la lógica oculta en la arquitectura de la realidad. Para aprender poesía no hay un manual, se debe aprender en contacto con la lectura del universo de propuestas en la literatura. Para aprender cálculo debemos aprender de los ya desarrollados cálculos publicados en una amplia literatura internacional. En el caso de Maxwell hay innumerables formas para transformar sus ecuaciones. Sin embargo, afortunadamente hay un secreto clave para su aprendizaje. 

El punto es que cuando Maxwell traduce sus ecuaciones de la electricidad y el magnetismo calculó que la propagación de estas ondas juntas de energía invisible se mueven a la velocidad de la luz. En cuestión de décadas, esta revelación cambió el mundo cuando Einstein introduce en su relatividad este límite cosmológico de la velocidad de la luz. Es extraño que el cálculo sea un experimento mental en el dominio imaginario de símbolos y de la lógica. Sin embargo, la lógica del cálculo puede utilizarse como una verdad del mundo real para generar otro artificial en que se experimenta con modelos ideales. El cálculo hacia el mundo real plantea que lo que este determina podría ser una verdad empírica que aguarda verificación experimental. De esta manera, el cálculo le permitió a Albert Einstein predecir la existencia de agujeros negros y ondas de gravedad cien años antes de que existiera tecnología para medir estos existenciales. El cálculo es una poderosa herramienta de imaginación objetiva para la ciencia y la ingeniería. 

Pero, por qué la realidad de nuestro universo debería respetar el funcionamiento de la lógica matemática del cálculo. Esto es un misterio sorprendente del que el mundo esté hecho en su organización matemática de lo mismo que está hecho nuestra base axiomática que es cimientos del cálculo. La adecuación del lenguaje del cálculo matemático a las ecuaciones fundamentales de la realidad es un regalo maravilloso que no entendemos por qué no lo merecemos^[5]. 

Pero la historia de este regalo se remonta a Pitágoras, cuando descubrió que la música es gobernada por el cociente de números enteros. Lo que distingue al cálculo del resto de las matemáticas es solo una idea de principio a fin. Cuando nos damos cuenta de esta idea, la estructura del cálculo cae en su lugar como un tema unificador. Por desgracia los profesores comunes entierran esto debajo de muchas fórmulas. Se trata del principio del infinito. 

3.4 Axiomas del infinito

“Si debo preguntar más cuántos cuadrados hay, uno podría responder realmente hay tantos como el número correspondiente de raíces, ya que cada cuadrado tiene su propia raíz y cada raíz tiene su propio cuadrado, mientras que ningún cuadrado tiene más de una raíz y no hay más de un cuadrado”. Galileo en “Dialogues concerning the two new sciences. First day. 

El infinito es el alma de las matemáticas, porque no hay fin ni siquiera para los objetos matemáticos más simple como para los enteros positivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9… Uno de los argumentos más antiguos y mejores sobre el infinito es la prueba de Euclides, formar una secuencia infinita 2,3,5,7,11,13,… sin saber nada de la secuencia, al mostrar que cualquier secuencia finita de primos está incompleta. Es decir, muestra cómo encontrar un p primo diferente de cualquier primo dado . Un conjunto como los números primos se llama contable infinito porque podemos ordenarlo en sus elementos en una lista con un primer miembro, un segundo, un tercero, …, Como Euclides mostró, en su lista infinita, pero cada miembro aparece en una posición finita y por lo tanto es “contable”. 

Los conjuntos infinitos siempre han estado con nosotros, de hecho es difícil captar el infinito de cualquier otra manera que no sea contando. En 1874, Georg Cantor en Alemania, demostró que el infinito es más complicado de lo que se pensó intuitivamente, al mostrar que el conjunto de números reales es incontable. Si bien lo hizo a la manera de Euclides, este proceso fue más elegante, al mostrar que cualquier lista infinita de números reales está incompleta. 

El método de Cantor, encuentra siempre un número real x diferente de cualquier elemento en una lista contada por lo que sabemos es llamada argumento diagonal, por razones ya explicadas en líneas atrás. 

El proceso de contar 1,2,3,4… es el ejemplo más simple y claro de un proceso infinito. Sabemos que contar nunca termina, porque no hay, un último número, y de hecho el primer pensamiento es que es “infinito” e “interminable” significan lo mismo. Sin embargo, en cierto sentido, el proceso de conteo sin fin agota el conjunto de enteros positivos, porque finalmente se alcanza cada entero positivo. Esto distingue el conjunto de enteros positivos de otros conjuntos, como el conjunto de puntos de una línea, que aparentemente no se pueden “agotar contando”. Por lo tanto, puede ser esclarecedor detenerse un poco a ver el proceso de conteo, y examinar algunos de los conjuntos infinitos que se pueden agotar contando a sus miembros. 

El primero, contar objetos es lo mismo que organizarlos en una lista, este indexado de asignar un folio a cada elemento, necesariamente obliga a que estén ordenados para ubicarlos en alguna posición. Por ejemplo, si “contamos” los cuadrados enumerándolos en orden creciente, 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000, 10201, 10404, 10609, 10816, 11025, 11236, 11449, 11664, 11881, 12100, 12321, 12544, 12769, 12996, 13225, 13456, 13689, 13924, 14161, 14400, 14641, 14884, 15129, 15376, 15625, 15876, 16129, 16384, 16641, 16900, 17161, 17424, 17689, 17956, 18225, 18496, 18769, 19044, 19321, 19600, 19881, 20164, 20449, 20736, 21025, 21316, 21609, 21904, 22201, 22500,…,

Entonces el cuadrado 22500 aparece en la posición 150 en la lista. Enumerando un conjunto de elementos asignamos enteros positivos para el índice del folio para cada miembro, pero a menudo es más fácil visualizarlos en listas que averiguar el entero exacto asignado a cada folio. 

Una lista de las primeras cosas interesantes que se notan sobre los conjuntos infinitos es que contar una parte puede ser “tan infinito” como contar todo. Por ejemplo, el conjunto de números pares positivos en orden creciente forman una lista que coincide con la lista de enteros positivos completamente, elemento a elemento.  

1,  2,  3,  4,   5,   6,    7,   8,   9,   10,   11,   12,   13,…

2,  4,  6,  8, 10, 12,  14, 16, 18,   20,   22,   24,   26,…

Por lo tanto, enumerar los números pares positivos es un proceso completamente paralelo al proceso de lista de los enteros positivos. La razón radica en la coincidencia del ítem por elemento de las dos filas, que llamamos una correspondencia uno a uno. La función f(n)=2n encapsula las correspondencias, porque coincide con cada entero positivo n con exactamente un número par positivo 2n, y cada número par positivo 2n se compara exactamente con un entero positivo. 

Por lo tanto, para hacerse eco del ejemplo de Galileo citado al principio de este apartado, si me preguntan cuántos números par hay, uno podría responder realmente que hay tantos como enteros positivos correspondientes. Galileo, nos hace ver que una correspondencia uno a uno entre conjuntos de enteros positivos y una parte de sí mismos, esta propiedad inquietante es la primera característica del mundo de los conjuntos infinitos. 

“En el campo matemático de la teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe las tres operaciones habituales en los números ordinales : suma, multiplicación y exponenciación. Cada uno puede ser definido en esencia por dos maneras diferentes: ya sea mediante la construcción de un explícito conjunto bien ordenado, que representa la operación o mediante el uso de recursión transfinito.  La forma normal de Cantor, proporciona una forma estandarizada de escribir los ordinales. Las denominadas operaciones aritméticas "naturales" retienen conmutatividad a expensas de la continuidad. Interpretando como números ordinales también a los sujetos a operaciones aritméticas^[6]”.

Un conjunto cuyos miembros se pueden colocar en una lista infinita, es decir, en correspondencia de uno a uno con los enteros positivos, se denomina contable infinito. Esta propiedad común de conjuntos infinitos fue llamada cardinalidad por Georg Cantor, quien inició el estudio general de los conjuntos en 1870, inspirado en Galileo. En el caso de conjuntos finitos, dos conjuntos tienen la misma cardinalidad sí y solo si tienen el mismo número de elementos. Así que el concepto de cardinalidad es esencialmente el mismo que el concepto de número para conjuntos finitos. 

Para conjuntos infinitos, la cardinalidad común también se puede considerar como el “número” de elementos. Este número fue llamado un número transfinito y denotado . Sin embargo hay que tener en cuenta que el número es elástico a los números ordinarios. Los pares tienen cardinalidad , porque el segundo conjunto es un subcojunto estricto del primero. Así que también se puede decir que hay números pares . 

Por otra parte, la cardinalidad se extiende a los conjuntos que a primera vista parecen más grandes que el conjunto de 1,2,3,4,… Considere el conjunto de puntos: 

La cuadrícula tiene infinitamente muchas filas infinitas de puntos, pero sin embargo podemos emparejar cada punto con un entero positivo diferente como se muestra. Simplemente vea los puntos a lo largo de una serie de líneas diagonales finitas, y cuente a lo largo de las diagonales sucesivas, comenzando en la esquina inferior izquierda. 

Hay una prueba muy similar de que el conjunto de fracciones (positivas) es contado, ya que cada oración m/n correspondiente al par (m,n) de enteros positivos. De ello se deduce que el conjunto de números racionales positivos es contable, ya que cada número racional positivo se da por una fracción. Es cierto que hay muchas fracciones para el mismo número, por ejemplo, 2/4, 3/6, 4/8,…, pero podemos enumerar los números racionales positivos revisando la lista de fracciones u omisiones todas las fracciones que representen números anteriores en la lista. 

Una buena manera de ilustrar la elasticidad de la cardinalidad fue introducida por el físico George Gamow (1947)  en su libro “One, two, thee,…infinity. Gamow imaginó un Hotel de Hilbert, en el que hay infinitamente muchas habitaciones, numeradas 1,2,3,4,… Enumerar a los miembros de un conjunto infinito es lo mismo que acomodar a los miembros como “invitados” en el Hotel de Hilbert, uno a cada habitación. Los enteros positivos se pueden acomodar naturalmente poniendo cada número n en la habitación n. 

Los enteros positivos llenan todas las habitaciones del hotel, por lo que podríamos decir que el número es de tamaño igual al Hotel de Hilbert y, la ocupación de más personas es ilegal. Sin embargo, hay espacio para uno más (digamos el número cero 0). Cada huésped simplemente necesita una habitación, dejando la primera habitación libre.

Por lo tanto siempre se puede estirar para incluir uno más: . De hecho, hay espacio para otra infinidad contada de invitados. El huésped en la habitación n puede moverse a la habitación 2n, dejando todas las habitaciones numeradas impares libres.

En símbolos: 

Incluso hay espacio para una infinidad contable de infinitos huéspedes. Supongamos, digamos, que los huéspedes llegan en autobuses infinitos numerados 1,2,3,4,… y que cada autobús tiene 1,2,3,4,… huéspedes, los del autobús 1 pueden alojarse uno, en la habitación 1 y continuación, saltar una habitación; es decir de este modo para cada autobús:

El resultado es que toda la serie de autobuses cada uno de los huésped , se pueden embalar en el hotel Hilbert, con exactamente un huésped por habitación. En forma simbólica:

Las ecuaciones aritméticas que tenemos son

Muestran que el infinito es numéricamente elástico cada transfinito . Georg Cantor introdujo a los transfinitos para referirse a los ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural. Este nos conduce a sospechar que la aritmética cardinal no tiene nada que decir, excepto que cualquier conjunto infinito tiene un cardinal . Y todos los números transfinitos estrictamente son iguales. Cantor afortunadamente no lo pensó así, En particular, el conjunto de puntos en la línea tiene una cardinalidad estrictamente mayor a , abriéndose un mundo de posibilidades.

Comencemos en el conjunto S de enteros positivos que se pueden escribir mediante una secuencia infinita de ceros y unos, con 1 en el enésimo lugar en caso de que n sea un miembro de S. Así se muestra, primer renglón el subconjunto de enteros positivos, segundo renglón números pares, tercero números cuadrados, quinto números primos

Ahora supongamos que tenemos conjunto de enteros positivos. Eso significa que podemos formar una lista de conjuntos 

cuyo enésimo miembro es el conjunto emparejado en el entero n. Mostramos que una lista de este tipo puede incluir todos los conjuntos de números positivos describiendo un conjunto S diferente de cada uno de los Por lo tanto S no está en la solista y por lo tanto ninguna lista de este tipo puede incluir todos los conjuntos de enteros positivos. El argumento que acabamos de hacer se llama argumento diagonal porque se puede presentar visualmente de la siguiente manera. Imagine una tabla infinita cuyas codificaciones los conjuntos son secuencias de 0 y 1 como los ejemplos anteriores. Podríamos tener, los conjuntos así:  

En la terminología moderna, al referirse dentro de los ordinales o cardinales, «transfinito» e «infinito» son sinónimos. Un ordinal es un conjunto de números claramente cerrado en el número de elementos.

El dígito (1 o 0) que indica si n pertenece o no a . Establece negritas, donde la escancia diagonal de dígitos en negritas es 

La secuencia para S se obtiene combinando cada dígito en la secuencia diagonal. Por lo tanto, la secuencia S es necesariamente diferente de las secuencias para todos los

La cardinalidad del conjunto de todas estas secuencias 0s y 1s se llama . Usamos este símbolo porque hay dos posibilidades para el primer dígito en la secuencia, dos para el segundo y así sucesivamente, para todos los dígitos de en la secuencia. Por lo tanto, es razonable decir que hay 2x2x2x2x2x… factores posibles en las secuencias de 0s y 1s, y por lo tanto  el conjunto de números naturales positivos:

El argumento de la diagonal muestra que es estrictamente mayor que porque hay una correspondencia uno a uno entre los enteros positivos y cierto conjunto de enteros positivos, pero no con todos estos conjuntos. Como acabamos de ver, si los números 1,2,3,4,… se asignan a los conjuntos siempre habrá un conjunto S al que no se le asigne un número. 

P.W. Bridgman físico experimental en Harvard, y ganador del Premio Nobel de Física en 1946. También fue, con toda probabilidad, una de las personas que no comprendió el argumento diagonal de Cantor^[7]. Si tuvo algún problema con el argumento anterior, puede estar seguro de que un ganador del Premio Nobel estaba igualmente preocupado. Por otro lado, no creemos que ningún lector de matemáticas experimentado debería tener problemas con el argumento diagonal. Aquí está el por qué.

La lógica del argumento diagonal es realmente muy similar a la de la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos. Euclides se enfrentó a la difícil totalidad de los primos, es difícil de comprender, ya que no sigue ningún patrón aparente. Por lo tanto, evitó incluso considerar la fatalidad de los primos argumentando, en su lugar empleó listas finitas de primos que son incompletas. Dada una lista de primeros uno forma el número:

Que obviamente no es divisible por ninguno de los , cada uno deja un resto 1. Pero N es divisible por algún primo, por lo que la lista de primos está incompleta. Por otra parte, podemos encontrar un p principal específico no en la lista mediante la búsqueda del número más pequeño que divide N. Un conjunto incontable también es muy difícil de comprender, por lo que evitamos hacerlo y en su lugar suponemos que se nos ha dado una lista contable de miembros de un conjunto. La palabra dado puede interpretarse tan estrictamente como este lo desee. Por ejemplo, si son secuencias de 0s y 1s, puede exigir un rol que dé el dígito m-esímo  de en el escenario m+n. El argumento diagonal todavía funciona, y da una S completamente específica no dentro de la lista dada. 

3.5 El conjunto de puntos en la línea 

Por la “línea” nos referimos a la línea numérica, cuyos puntos se conocen como los números reales. Cada número real tiene una expansión decimal con una secuencia de dígitos decimales después del punto decimal, el caso infinito por ejemplo:

Si nos atenemos a números reales entre 0 y 1, entonces cada número viene dado por la secuencia de dígitos después del punto decimal, cada término de los cuales es uno de los 0,1,2,3,4,5,6,7,8 o 9. Es decir, una infinidad contable de x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 o x9; por tanto, entre 0 y 1 se puede codificar mediante una tabla muy similar a la tabla que usamos para codificar una infinidad contable de conjuntos de enteros positivos. Del mismo modo, podemos construir un número x diferente  de cada uno organizando que el enésimo dígito de x es diferente del enésimo dígito de , para cada entero positivo n. Como antes, esto equivale a mirar los dígitos diagonales en la tabla, y cambiar cada uno de ellos. Sin embargo, ahora hay un pequeño problema con la construcción diagonal. Cambiar cada dígito diagonal sin duda produce una secuencia de dígitos diferente de todas las secuencias dada por Pero esto no garantiza que la nueva secuencia represente un nuevo número. Podría suceder, por ejemplo, que la secuencia obtenida por la construcción diagonal sea

0.499999999999999999999…

Y que una de las secuencias dadas es

Estas son secuencias diferentes, pero representan el mismo número, a saber, 1/2. Puesto que dos secuencias pueden representar el mismo número solo si una de ellas termina con una secuencia infinita de 9s. Podemos evitar este problema sin cambiar nunca un dígito diagonal a un 0 a un 9. Por ejemplo, podríamos usar la siguiente regla. 

Si el n-enésimo dígito de es 1, deje que el enésimo dígito de x sea 2. 

Si el n-enésimo dígito de no es 1, deje que el enésimo dígito de x sea 1.

Con estas reglas x no tiene simplemente una secuencia de dígitos diferente de los Como el número x es diferente de Así hemos demostrado que el conjunto de números reales es de mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales positivos. Si hacemos una lista de números reales siempre habrá un número real (como x) que no esté en la lista. 

De hecho, el conjunto de números reales (entre 0 y 1) tiene cardinalidad , lo mismo que el del conjunto de secuencias 0s y 1s. La cardinalidad , como , mide el tamaño entre los conjuntos familiares en matemáticas. Las razones de este serán más claras a medida que exploremos a los conjuntos contables e incontables.

3.6 Números transcendentales

El descubrimiento de Cantor de conjuntos incontables en 1874, fue uno de los eventos más inesperados de la historia de las matemáticas. Antes el infinito ni siquiera era considerado un concepto matemático legítimo para hacer cálculos en él, por lo que no se podía haber imaginado la necesidad de distinguir entre infinidades contables incontables. La idea de incontable era demasiado original para ser apreciada por la mayoría de los matemáticos. Debido a esto, Cantor restó importancia a la idea de incontable en la visión publicada, lo hace indirectamente a través de la propiedad de los números algebraicos. 

Los números algebraicos eran muy familiares para los matemáticos del siglo XIX. Un número x se llama algebraico si satisface la solución de una ecuación polinomio con coeficientes enteros, es decir, una ecuación con raíces r de la forma:

Donde los a_n son enteros n son el grado del polinomio, .

• Los números algebraicos incluyen todo los números racionales m/n, donde m y n son enteros. Es decir, todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a/b es solución de bx - a = 0, donde a ∈ ? y b ∈ ? .

• Un número construible es aquel que puede representarse mediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Esto todos son algebraicos. Como los muchos números irracionales como , entre otros. 

De hecho, es bastante difícil encontrar números que no sean algebraicos. El primer ejemplo fue encontrado por el matemático francés Joseph Liouville en 1844, usando un resultado que dice que un número algebraico irracional no puede ser estrictamente aproximado por los racionales. Liouville consideró el número

Donde los bloques sucesivos de 0s tienen longitudes 1,2,3x2,4x3x2,…Demostró que x es irracional pero que puede ser estrictamente aproximado por los racionales, por lo que x no es algebraico. Tales números ahora se llaman trascendentales, porque trascienden la descripción por medios algebraicos. Invariablemente tienen que ser descritos por procesos infinitos (series infinitas). El primer número bien conocido que se mostró trascendental fue 

Un número que hace muchas apariciones en matemáticas, tal vez el más famoso en la ecuación de Euler:

Charles Hermite, compatriota Liouville, demostró que e es trascendental en 1873, utilizando un cálculo muy difícil. De hecho, Hermite estaba tan agotado por que el esfuerzo lo renunció a la idea de tratar de demostrar que es trascendental. El matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró por primera vez en 1882 lo trascendente de , usando el método de Hermite y conectando e y . 

En cualquier caso, en 1974 los únicos enfoques conocidos para los números trascendentales eran los de Liouville y permite, utilizando álgebra y cálculo sofisticado. Cantor sorprendió al mundo al mostrar la existencia de números trascendentales sin ninguna matemática avanzada en lo absoluto. Simplemente demostró que el conjunto de números algebraicos es contable. Combinando esto con sus resultados de los números reales que son incontables. Se deduce que algunos números reales son trascendentales. De hecho, la mayoría de los números reales deben ser trascendentales. No solo la teoría de conjuntos encuentra números trascendentales fácilmente, sino que también muestra que el puñado de números trascendentales previamente conocidos en realidad pertenecen a la vasta, incontable y mayoría de números. 

La colección de ordinales contables, ordenados por tamaño, se puede ver considerando cualquier conjunto S de ordinales contables, y la colección de un miembro de S. O bien, por contrario, el miembro más pequeño de S por que está bien ordenado. Por lo tanto, en cualquier caso, el conjunto S de ordinales contables tiene un miembro mínimo. 

De esto se deduce que el conjunto de ordinales contables es en sí mismo un número ordinal. Que Cantor llamó . Puesto que tiene un incontable número de miembros, es necesariamente un ordinal incontable. De hecho, el numero es el ordinal menos incontable, ya que es cualquier ordinal menor de lo que es contable. Por lo tanto, los ordinales contables conforman el conjunto incontable más pequeño posible, cuya cardinalidad fue llamada por Cantor . La idea que produce el conjunto incontable más pequeño posible , contrasta fuertemente con nuestra idea para producir un conjunto incontable, tomando todos los subconjuntos de de enteros positivos. El número cardinal (que indica la cantidad de elementos del subconjunto es finito o infinito), está bien ordenado por su construcción, mientras que no haya manera para ordenar los números por completo. Si el tamaño de es el siguiente de tamaño de , mientras que   es un miembro casi completo.

Puesto que ya hemos visto una de las demostraciones de Cantor de que hay innumerables reales, queda por explicar que solo hay muchos algebraicos. Para ello volvemos a las ecuaciones que definen números algebraicos:

La ecuación tiene como máximo n soluciones, como se aprende en álgebra elemental, por lo que podemos enumerar todos los números algebraicos si podemos enumerar todas las ecuaciones de la forma anterior. Para ello, Cantor utilizó, una cantidad llamada la altura de la ecuación:

Sugerido por su colega Richard Dedekind. No es difícil ver que solo hay muchas ecuaciones finitamente con una altura h, ya que necesariamente tienen grado  y cada coeficiente tiene un valor absoluto menor que h. Por lo tanto, podemos enumerar todas las ecuaciones y esto hace que los números algebraicos, enumerando primero las ecuaciones de altura h=1, luego las de h=2, y así sucesivamente…, esto los hace contables. Este proceso de listado muestra que los números algebraicos forman un conjunto contable, por lo tanto hemos terminado el misterio.

La prueba de incontables de 1874, es básicamente la misma, un conjunto de números no incluye todos los números porque siempre podemos encontrar un número fuera de él. Pero construir un número forastero x no es obviamente diagonal. Mas bien, x es un límite superior menor que todos los de ; es decir, x es el número menor mayor de Sin embargo, el límite inferior superior comienza a verse diagonal cuando se estudian los dígitos decimales de supongamos, por ejemplo, que los números tienen los siguientes decimales:

Cada decimal está de acuerdo con su predecesor hasta un cierto dígito, y tiene un dígito más grande que en el primer segmento donde están de acuerdo. 

Por lo tanto, existe un sentido en el que la demostración original de incontables de Cantor implica una construcción diagonal. Por lo tanto, puede ser que Cantor destiló el argumento diagonal de demostraciones de incontables anteriores. De hecho, una construcción más explícitamente diagonal ya había sido descrita en 1875 por Paul du Bois-Reymond^[8].

El conjunto de funciones enteras positivas es incontable, porque para cada cualquier lista de estas funciones hay una función d(n) no en la lista. Por favor lo dejamos para su investigación estimado lector, su demostración.  

Hasta ahora hemos mencionado tres conjuntos incontables: los reales, el subconjunto de subconjuntos de los enteros positivos y, el conjunto de funciones de enteros positivos con valores enteros positivos. En cierto sentido, estos tres esencialmente son el mismo conjunto, por lo que no es tán sorprendente que en cada caso su atributo de incontable sea un argumento similar. 

Al igual que los conjuntos contables ya discutidos, estos tres conjuntos incontables tienen la misma cardinalidad. La llamamos y también cordialidad del continuo, ya que el continuo de números reales es el conjunto más concreto con cardinalidad . Podemos visualizar que la totalidad de todos los R como una línea numérica, pero no es intuitivo visualizar la totalidad de los conjuntos de enteros positivos, por ejemplo, hasta que estos conjuntos se hayan emparejado con números reales. 

Antes de establecer una correspondencia uno a uno entre números reales y el conjunto de enteros positivos, primero observemos que hay una correspondencia cardinal uno a uno entre el conjunto R de todo los números reales y el intervalo (0,1) de números reales entre 0 y 1. Esto es geométricamente obvio si uno dobla el segmento de línea entre 0 y 1 en un semicírculo y luego proyecta el semicírculo en la línea numérica R como sigue:

Correspondencia uno a uno entre R y el intervalo (0,1)

Un número en el intervalo (0,1) y un conjunto de números naturales, tienen cierta similitud. A saber, ambos tienen descripciones naturales como secuencias de 0s y 1s. 

Desde tiempos antiguos, el infinito ha sido una parte clave de las matemáticas, aunque su uso a menudo se ha considerado perjudicial en algunas culturas. Alrededor del año 500 A.C., los pitagóricos descubrieron la irracionalidad de , comenzando así una larga lucha por captar el concepto de números reales. Esto fue de una lucha mayor para conciliar las magnitudes continuas que surgen en la geometría: longitud, aérea, volumen, con los números naturales discretos 1,2,3,4,5,6,7,… que surgen del conteo.

Arquímedes escribió un libro llamado The Method, que se perdió durante muchos siglos, y no influyó en el desarrollo de las matemáticas. Describe el método por el cual descubrió algunos de sus resultados más famosos, como el teorema en el que determina que una esfera tiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito. El libro reaparece en 1900 y solo entonces nos dimos cuenta que Arquímedes había utilizado el infinito real de una manera que nos puede evitar. Al encontrar ciertos volúmenes, Arquímedes ve un solo sólido como una suma de rodajas de espesor cero. Como ahora sabemos, hay innumerables segmentos de este tipo correspondientes a muchos puntos incontables en la línea, por lo que no se puede ver la suma de todos los segmentos como “límite” de sumas finitas. Por supuesto, es poco probable que Arquímedes tuviera algún indicio de incontable, aunque puede haber sospechado que estaba tratando con un nuevo tipo de infinito^[9].  

The Method da evidencia de que la intuición sobre el infinito, incluso sobre el continuo, existe y es útil para hacer descubrimientos matemáticos. Más frutos de esta aguda intuición surgen alrededor de 1800 con Carl Friedrich Gauss, con lo que en álgebra elemental se llama, teorema fundamental del álgebra^[10]”. 

Atribuido a la integridad de la línea recta, o ausencia de alguna inconsistencia en el continuo. 

Este teorema establece que cualquier ecuación polinomial está satisfecha por algún número complejo x. El propio Gauss tuvo problemas para probar el teorema,  todas las pruebas que ofreció están incompletas por los estándares modernos. Sin embargo, en 1816 dio una prueba que identifica claramente la dificultad: todo se reduce a la ausencia de algunos números en el continuo. La intuición de Gauss le había llevado a asumir lo que ahora llamamos el teorema de valor medio: cualquier función continua f(x) que toma valores positivos y negativos entre x=a y y=b, f(x) toma el valor cero para algunos x=c entre a y b. El primero en identificar esta suposición, e intentar probarla, fue Bernard Bolzano en 1816. Se adelantó así a su tiempo, notó que una propiedad de las funciones continuas en un teorema que anteriormente se atribuía al álgebra, depende del valor de la naturaleza del continuo en el estudio de los conjuntos infinitos.

El intento de Bolzano estaba incompleto, porque una definición del continuo se carecía por completo en su tiempo. Sin embargo, identificó correctamente una condición de integridad que cualquier concepto razonable de continuidad debe satisfacer. Esta es la propiedad de límite superior mínima: sí S es un conjunto de números reales con un límite superior, S tiene un límite superior mínimo. Es decir, entre los números mayores o iguales que todos los miembros de S, hay un menor. Un corte es intuitivamente una separación de los números racionales en un conjunto inferior L y un conjunto superior U, como si fuera un cuchillo infinitamente afilado. Formalmente, un corte es un par (L,U) donde L y U son conjuntos racionales y de tal manera que cada miembro de L es menor que cada miembro de U. (L,U) representa números racionales e irracionales de la siguiente manera:

• Si L tiene un miembro más grande o U, tiene una miembro mínimo, digamos r, entonces (L,U) representa el número racional r.

• Si L no tiene un miembro más grande y U no tiene un miembro mínimo, entonces (L,U) representa un número irracional. Esto sucede por ejemplo, cuando U consiste en los racionales positivos con y L con los racionales restantes. 

Este último tipo de corte representa un hueco en los racionales y al mismo tiempo, proporciona un objeto para rellenar el hueco: el corte (L,U). Con un nervio impresionante, Dedekind creó un continuo sin huecos llenando cada hueco en los racionales, tomando el objeto que llena cada hueco para ser esencialmente el vacío en sí. 

Cabe mencionar que los decimales infinitos, son esencialmente una visión más legible de los cortes de Dedekind. Un decimal infinito 

3.141592653589793238462643383279502884197169399375…

Representa un corte en el conjunto menos concurrido de la fracción decimal, separando a los vecinos más cercanos menores como 3.14159… de los vecinos más cercanos mayores que

4.0,  3.2, 3.142,  3.1416,  3.14160

Los decimales infinitos son fáciles de leer y entender, pero intentar definir su suma y su producto, probablemente recurrirá a la adición y la multiplicación de sus fracciones decimales vecinas, al igual que los cortes de Dedekind. 

Por supuesto, no es suficiente que no haya huecos en el conjunto de cortes. También necesitamos saber que los cortes son entidades que se comportan como números. Esto cierto, se puede definir la suma y el producto de dos cortes en términos de los números irracionales en ellos, y esta suma o producto, tienen las propiedades algebraicas habituales.  

Así, con la definición de Dedekind de números reales, finalmente fue posible probar el teorema del valor medio  y por lo tanto del teorema fundamental del álgebra. Al mismo tiempo esta demostración inició una nueva dirección en el pensamiento matemático. Los objetos matemáticos previamente indefinidos se definieron en términos de conjuntos y, cada conjunto se convirtió en un objeto matemático legítimo, incluso el incontable conjunto de números reales. 

Hoy en día la línea numérica parte algo simple pero no lo es. Un punto es todo un universo para alguien que sabe que en realidad es un corte en el conjunto infinito de números racionales. Sin embargo, en 1870 muchos vieron esta aritmética de la geometría como la mejor manera de construir los cimentos de las matemáticas. La aritmética de infinitos, resolvió el antiguo conflicto entre números y magnitudes comunes a la geometría y el cálculo. Y la aritmética fue oportuna porque Cantor acababa de empezar a explorar el concepto establecido en sí. Sin embargo, una mayor exploración del concepto de conjunto llevó a algunas sorpresas. Cantor se dio cuenta que el argumento diagonal se aplica a cualquier conjunto, lo que muestra que cualquier conjunto X tiene más subconjuntos que miembros. Por supuesto, generalmente no podemos visualizar una tabulación de subconjuntos de x.

Los axiomas de los conjuntos más utilizados hoy en día se deben a Zermelo (1908) y  Fraenkel (1922), con un importante estilo escrito en axiomas ZF. 

Axioma 1: Dos conjuntos son ideales sí y solo si tienen los mismo miembros.

Axioma 2: Hay un conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío.

Axioma 3: Para los conjuntos X y Y, hay un conjunto cuyos únicos elementos son X y Y. 

Axioma 4: Para cualquier conjunto X hay un conjunto cuyos miembros son los miembros de los miembros de X.

Axioma 5: Para cada conjunto X, hay un conjunto cuyos miembros son el subconjunto de X, donde un subconjunto de X es un conjunto cuyos miembros son miembros de X.

Axioma 6: Para cualquier definición de función f, y establezca x, los valores f(x), donde x es miembro de X, forman un conjunto (rango de la función).

Axioma 7: Cualquier conjunto no asociado X tiene un miembro Y sin miembros en X. No hay una secuencia descendente infinita para establecer la pertinencia. Es decir, si uno toma un miembro X₁ de X, a continuación, un miembro de X₂ de X₁, y así sucesivamente, entonces este proceso puede continuar solo para una infinidad de pasos. 

Axioma 8: Hay un conjunto infinito, de hecho con conjunto no asociado que, junto con cualquier miembro X, también tiene el miembro .

Los axiomas del 1 al 6, expresan que los conjuntos se construyen a partir del vacío mediante operaciones de emparejamiento, unión, potencia y reemplazo (tomando el rango de una función). Decir que una función f está definida, es que está expresada en una fórmula en lenguaje formal de ZF. El misterioso axioma 7, llamado axioma de la base, nos permite demostrar que cada conjunto surge del conjunto vacío por las operaciones anteriores. Este menú de conjuntos severamente limitado, desempeña el papel de todos los objetos normalmente necesarios para las matemáticas. Por ejemplo podemos definir los números naturales en los conjuntos:

El axioma del infinito, nos dice que hay conjuntos cuyos miembros son 0,1,2,3,… por los que tenemos el conjunto de números naturales. Tomando un conjunto potencia, estamos bien en el camino los números reales, la línea numérica, la geometría, el cálculo y practicante todo lo demás. ¿Quién sabía que el conjunto vacío podía ser tan fructífero?

Referencia

[1] C. Prun, J. Quantitative Linquistics 4, 244 (1997). https://arxiv.org/pdf/cs/0408041.pdf

[2] Pinker, S. (2018). Los ángeles que llevamos dentro: El declive de la violencia y sus implicaciones (Spanish Edition).

[3] Paz, O. (2005). El Arco y La Lira: El Poema, La Revelacion Poetica, Poesia E Historia (Seccion de Lengua y Estudios Literarios). Fondo de Cultura Economica, Mexico.

[4] Danielson, C. (2010). Writing papers in math class: A tool for encouraging mathematical exploration by preservice elementary teachers. School Science and Mathematics, 110(8), 374-381.

[5] Hillery, M. O. S. M., O’Connell, R. F., Scully, M. O., & Wigner, E. P. (1984). Distribution functions in physics: fundamentals. Physics reports, 106(3), 121-167.

[6] https://es.qwe.wiki/wiki/Ordinal_arithmetic

[7] Peregrin, Jaroslav. (2017). Diagonal arguments. AUC PHILOSOPHICA ET HISTORICA. 2017. 33-43. 10.14712/24647055.2017.14.

[8] Hurwitz, Wallie. (1915). Book Review: Orders of Infinity. The “Infinitärcalcül” of Paul Du Bois-Reymond. Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC. 21. 201-203. 10.1090/S0002-9904-1915-02607-8.

[9] Leahy, Andrew. (2018). The Method of Archimedes in the Seventeenth Century. The American Mathematical Monthly. 125. 267-272. 10.1080/00029890.2018.1413857.

[10] Maier, Helmut. (2008). Fundamental theorem of algebra Fundamental Theorem of Algebra. 10.1007/978-0-387-74759-0_193.

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Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán