Texto universitario

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Módulo 4. Análisis matemático  

El cálculo diferencial es la matemática que describe los cambios en las funciones. Es necesario revisar la definición de función dentro de las categorías de funciones: polinomiales, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Es necesario mapearlas en un espacio geométrico  (gráficas de funciones). Este cálculo proporciona la base para el material del análisis diferencial e integral. 

El análisis es la habilidad de descomponer un sistema de objetos matemáticos para su estudio o integrar un sistema de objetos matemáticos en un sentido coherente entre ellos para desarrollar conceptos de mayor complejidad. El análisis en las matemáticas puede comprenderse como establecer conexiones sobre resultados en la teoría de números, álgebra, geometría, conjuntos y la lógica; dando argumentos lógicos válidos por deducción, conocidos como demostraciones a partir de axiomas y definiciones. El análisis no se centra en cálculos o cómputos repetitivos. Más bien, su enfoque es la teoría, los teoremas, demostraciones y las formas de pensar que estos objetos matemáticos permiten el avance de las matemáticas. Desarrollar la comprensión de este análisis matemáticos, es necesario escribir narrativas en donde se discutan estos temas y el lector de manera individual pueda dar pasos en su lectura y las conferencias en el aula sean para resolver comprensiones parciales. Usted debe apoyarse, sugerimos en Mathematica de Wolfram como una forma de asistente para verificar lo correcto de sus ejercicios. 

Los componentes de un sistema de explicación matemático son axiomas, definiciones, teoremas y demostraciones. Los axiomas son declaraciones que los matemáticos acuerdan tratar como verdades evidentes, y son los fundamentos del punto de partida en el desarrollo de una teoría. Son utilizados dentro del análisis para capturar las nociones intuitivas sobre números, piezas geométricas, funciones…, son las verdades de referencias para validar nuestros razonamientos. Las definiciones son declaraciones precisas del significado de conceptos matemáticos, con estas definiciones, es posible crear nuevas definiciones en otro nivel de complejidad. Por ejemplo, el cálculo diferencial inicia con las definiciones de continuidad involucrando conceptos como infinito, números trascendentales, geometría de puntos, líneas, planos, volúmenes, áreas, funciones… Las definiciones son estructuras de objetos matemáticos que definen un único concepto, por concepto, nos referimos a propiedades de números, funciones, límites, entre otros muchos. Una manera de comprender las definiciones es relacionarlas con ejemplos al llevar a cabo algún tipo de cálculo que satisface propiedad o combinación de propiedades. Los ejemplos en matemáticas no son ejercicios, sino casos que pueden confirmar la validez de nuestras definiciones en discusión.

Los teoremas son declaraciones que suelen estar descritas en lenguaje formal, son sobre relaciones entre conceptos y axiomas. Por lo general son demostraciones en lo general (refiere a todos los casos). Los teoremas son identificados por una estructura de premisas y conclusiones buscando sistematizar todos los casos de esa forma específica de problema. Un argumento que muestra las funciones de las propiedades, axiomas como relacionados con un problema en que se dibuja una conclusión total para dicho problema. Los teoremas en la matemática pueden cambiar en su elegancia o por modificaciones en los axiomas, pero generalmente son acumulativos en el conocimiento matemático. Los teoremas nos permiten pensar en los conceptos, los teoremas son respuestas a preguntas, resolverlos facilitan el desarrollo del progreso en el pensamiento matemático. 

Muchos ven a los teoremas y su proceso de demostración como algo misterio. Realmente son más terrenales. Una demostración especifica suele ser difícil de comprender debido a la lógica que desciende hasta las definiciones y axiomas, porque un novel no tiene una buena formación y control sobre las definiciones de los conocemos relevantes involucrados. La demostración es una prueba argumental convincente, es decir, sin contradicción lógica y convincente para ser verdadera. 

4.1 Funciones 

Si x e y son dos cantidades variables y si hay una regla que asigna un valor único de y a un valor dado de x, llamamos a y una función de x y usamos la notación

La variable x se llama variable independiente o el argumento de la función y. Los valores de x a los que se asigna un valor de y forman el dominio D de la función . La variable y se llama variable dependiente; los valores de y forman el rango W de la función . Las funciones se pueden representar mediante los puntos (x, y) como curvas o gráficos de la función.

Si tanto el dominio como el rango contienen solo números reales, llamamos a la función y una función real de una variable real. Por ejemplo:

Si la variable y depende de varias variables independientes , entonces usamos la notación

Es una función multivariante. 

Si el espacio generado al evaluar las variables independientes  genera un espacio de escalares, la función es escalar. 

Si al evaluar la función en sus variables independientes genera un espacio de vectores, la función es vectorial.

Si se asigna un número real a cada función de una clase dada de funciones, entonces se llama funcional. Por ejemplo en una integral:

Supongamos que se dan dos conjuntos no vacíos X e Y. Un mapeo que se denota por

es una regla, por la cual asignamos un elemento y de Y definido de manera única a cada elemento x de X. El elemento y se llama imagen de x y escribimos . El conjunto Y se llama espacio de imagen o rango de f.

Una función se puede definir de varias maneras diferentes, por ejemplo, mediante una tabla de valores del espacio y su representación gráfica, es decir, mediante una curva mediante una fórmula que se denomina expresión analítica o pieza por pieza con una forma de edición de fórmulas diferentes. Solo tales valores de la variable independiente pueden pertenecer al dominio de una expresión analítica para la cual la función tiene sentido, es decir, toma un valor único finito real si el dominio no es de otra manera. Luego consideramos el dominio como el conjunto máximo para el cual la definición tiene sentido.

Representación analítica de una función

Forma explícita:

Forma implicita:

en el caso de que haya una y única que satisfaga esta ecuación o tengamos que decir qué solución se considera el valor de sustitución de la función.

Forma paramétrica:

Las funciones dadas en forma paramétrica a veces no tienen ninguna ecuación libre de parámetros explícita o implícita

Los valores correspondientes de x e y se dan como funciones de una variable auxiliar t que se llama parámetro.

4.2 Ciertos tipos de funciones

1. Funciones monótonas

Si una de las relaciones anteriores no se cumple para cada x en el dominio de la función, pero es válido por ejemplo en un intervalo o en un medio eje, entonces se dice que la función es monotónica en este dominio

Funciones que satisfacen las relaciones.

o

2. Funciones limitadas

Se dice que una función está limitada arriba si hay un número llamado límite superior de modo que los valores de la función nunca lo excedan. Una función se llama limitada abajo si hay un número llamado límite inferior de modo que los valores de la función nunca son menores que este número. Si una función está acotada arriba y abajo, simplemente la llamamos acotada. Si una función tiene un límite superior, obviamente tiene un número infinito de límites superiores, todos los números mayores que este Se puede demostrar que entre los límites superiores siempre hay un límite más pequeño, el llamado límite superior. Las declaraciones similares son válidas para los límites inferiores.

3. Funciones par e impar

Se le puede pedir que "determine algebraicamente" si una función es par o impar. Para hacer esto, toma la función y conecta –x para x, y luego simplifica. Si termina exactamente con la misma función con la que comenzó (es decir, si f (–x) = f (x), entonces todos los signos son iguales), entonces la función es par. Si termina con exactamente lo contrario de lo que comenzó (es decir, si f (–x) = –f (x), entonces todos los signos cambian, entonces la función es impar.

Función par e impar. Si el dominio D de una función f con condición para sigue que entonces, f puede escribirse como la suma de una función par g y una función impar u.

4. Función períodica

Una función es periódica si satisface la relación 

Donde T es una constante diferente de cero.

Obviamente, si la igualdad anterior se cumple para alguna T, se cumple para cualquier múltiplo entero de T. El número positivo más pequeño T satisface confirma la relación periódica.

5. Función inversa

Si la función es una función uno a un, si y , entonces , entonces hay una función tal que para cada par de valores (a,b) que satisfacen la igualdad , la igualdad será válida y, para cada par de valores para los cuales 

Son válidos. Las funciones

son funciones inversas entre sí. Obviamente, cada función es estrictamente monotónica tiene una función inversa.

4.3 Plano cartesiano

Si dibujamos en un plano dos rectas perpendiculares entre sí, quedan delimitadas cuatro regiones, las cuales reciben el nombre de cuadrantes y se denotan mediante números romanos I, II, III y IV, como se especifica en la figura. Las rectas se llaman ejes coordenadas y su punto de intersección se llama origen y se denota por O.

  Cuadrantes en el plano cartesiano

El eje horizontal, el eje X recibe el nombre de eje de las abscisas, y el perpendicular a este el eje Y, eje de las ordenadas. El plano y los ejes coordenados se llaman plano cartesiano en honor a René Descartes, el precursor de la geometría analítica.

Plano cartesiano

Los ejes X y Y son considerados como rectas reales, con el cero ubicado en el origen, y con la misma escala. En su posición usual, el eje X es horizontal y su dirección positiva es hacia la derecha con respecto al origen, por lo que los números positivos quedan en el extremo derecho y los negativos en el izquierdo; en tanto, que el eje Y es vertical,  su dirección positiva es hacia arriba y los números negativos quedan abajo. Las coordenadas de puntos ubicados en el plano cartesiano:

Localización de puntos en el plano cartesiano

Ejemplo: localiza en el sistema de ejes de coordenadas los siguientes puntos: A (2,5), 

B(-1,4), C(2,-5), D(3,-1), E(0,2), F(-6,-4), G(-5,0)

Puntos en el plano cartesiano

Ejemplo: dibuja el polígono cuyos vértices son: A (2,4), B(-3,5), C(-4,-4), D(0,-4), E(4,-5)  y F(3,0).

Polígono en el plano cartesiano

Ejemplo: encuentra las coordenadas de los puntos señalados en el siguiente plano cartesiano

Representación del lugar geométrico

4.3.1 Producto cartesiano

Comencemos por definir el producto cartesiano de dos conjuntos, como el conjunto formado por todas las parejas ordenas, tales que como primer elemento de las parejas se tome cada uno de los elementos del primer conjunto y como segundo elemento de las parejas ordenadas cada uno de los elementos del segundo conjunto^[1]. 

Por ejemplo: sean A= {1,2,3} y B={a,b}, A B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Observe que por ser un conjunto  se coloca entre llaves { } y se separan sus elementos que están formados por seis nuevas parejas ordenas, por comas; es decir, formamos un producto cartesiano de seis parejas.

Si calculamos B × A tendremos que: B×A= {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}.

Obsérvese que en el producto cartesiano no se presenta la propiedad conmutativa.

En el producto cartesiano^[2], al conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas se le llama dominio y al formado por los segundos elementos codominio. 

4.4 Variables dependiente e independiente

Cuando se establece una función de un conjunto A en un conjunto B, a través de una regla de correspondencia f, se asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento y del conjunto B.

Esto se puede escribir con la siguiente notación:

ƒ : A → B

Si el valor de y depende de x, decimos que y es una función de x. 

Entonces podemos usar la notación de función f(x). (se lee f de x) 

Es decir,

y=f(x)

donde:

x  es la variable independiente

y  es la variable dependiente

f  representa la regla de correspondencia

Esta forma de denotar una función se atribuye al matemático Leonhard Euler.

Notación funcional:

Para indicar la relación entre las variables usamos , por ejemplo si 

O

Si x=5,  f(5)=70(5)=350 

La cantidad a la cual le podemos asignar valores a voluntad, es decir, el número que le asignemos a x se le llama variable independiente. Las cantidades cuyos valores se determinan por el valor que toma la variable independiente, en este caso y=350, se les llama variable dependiente. 

4.5 Dominio y rango

En una relación o función podemos definir el dominio, es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida en el conjunto x. Contradominio o codominio, son los valores que toma f(x) para y o variable dependiente, términos modernos se llama imagen o rango. 

Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los elementos del dominio con su rango. En nuestra vida cotidiana hacemos uso de varias relaciones, por ejemplo, cuando de acuerdo al apellido de los alumnos les asignamos un número natural para hacer la lista de asistencia, así podría quedar un ejemplo de ella:

A={(1, Mauricio Sereno), (2, Karla Muñoz), (3, Sonia Torres),…}

En esta relación el dominio es un subconjunto de los números naturales:

Dom={1,2,3,4,…n} donde n representa el número del último alumno. El contradominio está formado por el nombre del alumno al que se le asignó un número en la lista, el contradominio se forma pues, con el nombre y apellido paterno de los alumnos y la imagen es igual al contradominio.

Otro ejemplo puede ser, la relación que existe entre el color de la luz del semáforo de tránsito y el estado de movimiento de un vehículo en la vía pública:

H= {(rojo, alto), (ámbar, disminución), (verde, siga)}

En esta relación el dominio es un subconjunto de los colores existentes y el contradominio es el estado de movimiento de un vehículo.

Ejemplo: sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el  producto cartesiano AB  

A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),

      (3,2),(3,3),(3,4)}     

El dominio correspondiente es:

Dominio ={1,2,3}  y el contradominio ={1,2,3,4}

Ejemplo: sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el  producto cartesiano BA  

BA={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

      (4,1),(4,2),(4,3)}  

Dominio={1,2,3,4} y el contradominio  ={1,2,3}

Nótese que el producto cartesiano no es conmutativo.

De lo anterior, podemos concluir que el producto cartesiano entre dos conjuntos es una operación que asigna a cada elemento del primer conjunto con todos y cada uno de los elementos del segundo conjunto, formando un nuevo conjunto, el conjunto de las parejas ordenadas, dicho conjunto puede ser representado gráficamente en un plano cartesiano.

4.6 Gráfica de funciones

Gráfica de una relación. Es conveniente tener una representación gráfica de las relaciones, nos ayuda a ver objetivamente cómo se comportan las variables, esto se puede hacer representando en el eje horizontal los valores de las variables independientes y en el eje vertical  los valores de las variables dependientes, como se muestra a continuación:

Cuando tenemos una expresión algebraica a la que le asignamos  diferentes valores a una literal, la expresión tomará determinados valores, por ejemplo en la expresión x²-2x la llamamos y, y escribimos  y=x²-2x, si le damos valores a la variable independiente (x =-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 etc.), la variable dependiente, tomará los valores: si x =-2, y=8, para x =-1, y=3, para x =0, y=0, para x =1, y=-1, para x =2, y=0, para x =3, y=3, etc., escribiremos las parejas ordenadas colocando como primer elemento al  valor de la variable independiente x y su segundo elemento el valor correspondiente de la variable dependiente y, nos quedará:

{(-2,8),(-1,3),(0,0),(1,-1),(2,0),(3,3)}

En la expresión y=x²-2x, a la x se le llama variable independiente porque es a la variable que nosotros le asignamos valores de manera arbitraria, la variable y cambia dependiendo del valor que le asignemos a x, por lo que recibe el nombre de variable dependiente. Graficando la relación anterior, tenemos:

Si suponemos que estamos trabajando con el conjunto de los número enteros^[3] , el dominio de la relación anterior estará formado por todo y el rango está formado por todos aquellos valores que cumplan con la relación y=x²-2x, también están en , rango={0,-1,3,8,15}. Si trabajamos con los números reales en , la gráfica quedará representada por todos los puntos que satisfagan a la relación y=x²-2x y la gráfica se traza con una línea continua, que llamaremos gráfica de la función.

Empleando el ejemplo anterior vemos que el dominio de la relación y=x²-2x son todos los puntos.

La imagen se obtiene despejando x y analizando qué valores reales puede tomar y, esto es:

y=x²-2x

x²-2x +1= y+1  completando el trinomio a cuadrado perfecto

(x-1)²=y+1     factorizando el trinomio cuadrado perfecto

 x-1 =   sacando raíz cuadrada en ambos lados

   x= +1  despejando x

               para que x sea un valor real el radicando   

, esto es y≥-1 por lo que el rango es

Definiremos ahora una función¹⁴, como una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde solo uno en la imagen para formar un conjunto de parejas ordenadas.

Si A={(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)} los primeros elementos a, b, c y d son diferentes entre sí, respecto a los segundos no se tiene esa limitación, no importa que el elemento 2 se encuentre en la segunda y cuarta pareja, por lo tanto, se puede decir que es una función si no existen dos parejas ordenadas  distintas que tengan el mismo primer elemento. Para identificar si una relación es una función, podemos trazar  rectas verticales paralelas al eje Y, y si al menos una corta a la gráfica de la relación en más de un punto, se dice que es una relación, dicho de otra manera, si solo corta en un punto la gráfica de la relación, representa una función.

Observe que para cada valor de x solo existirá un valor de y, por lo tanto son funciones las gráficas siguientes:

Más adelante se hablará de algunas de estas funciones, cómo obtener su gráfica y su ecuación. 

La siguiente gráfica nos permite afirmar que no es la gráfica de una función, ya que si trazamos una recta paralela al eje Y, la corta en dos lugares distintos, eso es que dos parejas ordenadas diferentes tienen el mismo primer valor.

Nota: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Ejemplo: escribe el resultado del siguiente producto cartesiano y traza su gráfica 

 AxB, si A={1,2,3},B={2,3}

AxB= {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}

Observe que el número de pares ordenados, se puede calcular multiplicando el número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B, esto es, 3x2=6 elementos correspondientes a las seis parejas ordenadas obtenidas.

Su gráfica se muestra a continuación:

4.7 Ejemplos de dominios y rangos

Ejemplo 1: hallar el producto E x F, si 

}

El conjunto E está formado por las x, que pertenecen a los números enteros () que son mayores que uno y menores que 4, por lo que E está formado por los elementos 2 y 3, de la misma forma, el conjunto F está formado por los enteros mayores que 2 y menores que 5, esto es, el 3 y 4.

Considerando que los conjuntos E={2,3} y F{3,4}

El producto cartesiano es: EF={(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)} y su gráfica es la siguiente

Ejemplo 2: determinar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradominio, y traza su gráfica: 

Partiendo de la ecuación: 

Por lo que el dominio de la función y el rango es , por lo tanto es una función, siendo su gráfica la siguiente línea recta:

¿Es una función?

Ejemplo 3: hallar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradominio, y traza su gráfica: 

Dominio

También puede escribirse Dominio

Para encontrar el contradominio despejamos y

Podemos observar que no tiene denominador indeterminado y, y puede tomar cualquier valor real, ya que si y es negativa o positiva al elevar al cuadrado su valor es positivo, por lo tanto el rango,  es una función, tomaremos el lado + es , si tomamos el lado negativo , pero, para ser función no puede tomar ambos. 

Ejemplo 4: hallar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio, rango, y traza su gráfica:

x²-16x-12=y

x²-16x+64=y+12+64

(x-8)²=y+76

sacando raíz en ambos miembros

investiguemos los valores donde

Rango, son las y mayores o iguales que -76,

Para encontrar el dominio analicemos y=x²-16x-12, podemos observar que y existe para cualquier valor de x, por lo tanto: 

Dominio y es una función. 

Rango y dominio

Ejemplo 5: indica si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y traza su gráfica: {(x,y)/x, y pertenecen a los R,  y²+8x-32=0}

y²+8x-32=0 para encontrar el dominio despejamos y

y=  analizando 32-8x

Para encontrar el contradominio despejamos x

y²=32-8x

Si es función y este es su rango y dominio.

Mathematica ejemplo1: Encuentra el rango de la función real f de la variable x devolviendo el resultado en términos de y.

º

Encuentre el rango de una función real:

4.8 Clasificación de funciones

Las funciones pueden ser clasificadas en dos grandes grupos, como funciones algebraicas y funciones trascendentes¹.

Las funciones algebraicas son aquellas en las que se combinan operaciones finitas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, que afectan a la variable independiente, por ejemplo:

A su vez, una función algebraica puede ser racional entera o racional fraccionaria.

Función racional entera

Estas funciones también se conocen como polinomiales, y se caracterizan porque se expresan a través de un polinomio de la forma^[4]:

Donde es un número positivo, y los números se les denomina coeficientes del polinomio y además son constantes. El grado del polinomio es n. 

Por ejemplo en la siguiente función:

Su grado es 5. 

Dentro de las funciones polinomiales tenemos varios casos:

Función constante

cuando en el polinomio

todos los coeficientes de x valen cero, tenemos la función constante⁶

También es posible expresar esta función como

Rango lo comprenden solo el valor de k.

Ejemplo: la gráfica de la función f(x)=2

Función lineal

Cuando en el polinomio

todos los coeficientes de x valen cero, excepto para 

tenemos la función lineal⁶:

Donde m representa la pendiente (grado de inclinación) de la recta y b la ordenada en el origen. Para este tipo de funciones el dominio y rango está en todos los reales .

Recordemos que la pendiente m, representa la razón de cambio de y respecto de x.

Ejemplo: obtener la gráfica de la función

De la fórmula  se puede identificar que  y b=1. 

Conociendo dos puntos se traza la gráfica de una función lineal, pues basta unirlos a través de una recta que puede extenderse en ambos sentidos.

La pendiente , nos indica que por cada 3 unidades que nos desplacemos en la dirección x, también nos desplazaremos 2 unidades en la dirección y. Conociendo b=1, tenemos un punto de la gráfica (0,1).

A partir de (0,1) nos desplazamos, 3 unidades en x, 2 unidades en y llegando al punto (3,3). Dichos puntos se unen con una recta y se obtiene la gráfica correspondiente.

Nota: si la pendiente es negativa un desplazamiento es positivo y el otro negativo.

Función identidad

La función identidad es un caso particular de la función lineal  que surge cuando m = 1 y b = 0. Por lo que resulta la función .⁶ También expresada como .

Como toda función polinomial, el dominio y rango lo conforman el conjunto de los números reales.

La gráfica de la función identidad es una recta con una inclinación de 45º.

Función cuadrática

Esta función es de la forma y representa una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo, dependiente del signo que tenga el coeficiente del término cuadrático⁶.

Las coordenadas (h,k) del vértice de una parábola, se pueden obtener utilizando las siguientes fórmulas, tomando como base la forma general  .

Dominio 

Rango 

Función potencia

Esta función tiene la forma  donde n es un entero positivo⁷.

El dominio son todos los reales:

El rango es si n es par. El rango es cuando n es impar

para  cuando n = 1,2,3,4,5,6

De acuerdo con las gráficas, se puede observar que cuando n es par, la función   será muy parecida a la parábola , es simétrica respecto al eje Y, y cuando n es impar será semejante a la gráfica de , es simétrica respecto del origen.

Para valores pares: 4,6,8… sus gráficas son semejantes a la de la raíz cuadrada.

Para valores impares: 5,7,9… sus gráficas son semejantes a la de la raíz cúbica.

Cuando  se obtiene la función recíproca

El dominio son todos los reales excepto para 0.

Su gráfica es una hipérbola teniendo como asíntotas los ejes de coordenadas.

Función racional fraccionaria

También conocidas como funciones racionales, se caracterizan por expresarse como el cociente de dos polinomios⁶

donde P y Q son polinomios y  Q(x) ≠ 0.

El dominio para este tipo de funciones lo forman todos los valores de x, tales que Q(x) ≠ 0.

La siguiente es un ejemplo de función algebraica racional:

El valor de x que vuelve 0 al denominador, representa una asíntota vertical (recta a la cual tiende a tocar la gráfica, sin llegar a tocarla).  Es decir, si x-2=0 , despejando  x=2.

En esta gráfica se observa una asíntota vertical cuya ecuación es x=2. La gráfica tiende a tocar dicha asíntota conforme x se acerca al valor 2.

Funciones trascendentes

Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas. Estas son las trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales. 

Algunos ejemplos de ellas son:

Funciones trigonométricas^[5]

Otro tipo de funciones llamadas transcendentes^[6], de las que unas de las más importantes son las funciones trigonométricas que son muy importantes en ciencias físicas, ya que ayudan a describir el movimiento de tipo periódico, como el ondulatorio. 

Las principales funciones trigonométricas son ,  y , a partir de estas se definen otras, las más importantes son ,  y .

Es importante recordar que las funciones trigonométricas se aplican a los ángulos agudos en  triángulos rectángulos.

Aquí utilizaremos la definición de las funciones trigonométricas a partir de la relación entre sus lados, pero también se pueden definir mediante series^[7].

Función exponencial

Definición: se llama función exponencial a la función  definida por 

donde b es llamada base y el exponente .

Ejemplos de este tipo de funciones son: 

Usaremos una base 0<b<1 y daremos diferentes valores arbitrarios a la variable independiente , para obtener una tabla de valores y para trazar el lugar geométrico de la función.

En matemáticas hay un número irracional¹⁶ muy importante que puede ser base de la función exponencial, dicho número es  que tiene un valor aproximado:  

este número es llamado número de Euler o constante de Napier. 

La función exponencial con base  recibe el nombre de función exponencial  natural^[8] :

es común que se le llame simplemente función exponencial.

Función logarítmica

Sea a>0  con a, la función logarítmica  con base a, cuya notación es se define se define

Función logarítmica natural

Si la base de los logaritmos es la constante e, se denota ln x, se lee logaritmo natural de . La función logarítmica natural está definida por

esto implica que la función logarítmica natural  y la función exponencial  son inversas^[9]

Teoremas de logaritmos aplicados a cualquier sistema de logaritmos

4.9 Cálculo de funciones

Se puede combinar, una función f con otra función h a través de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Las cuales se pueden definir de la siguiente manera^[10]:

Sean las funciones f y h, 

El dominio de estas nuevas funciones  es la intersección del dominio f con el dominio h.

A continuación veremos algunas operaciones con funciones.

Referencias

[1] Guerra T. Manuel (1994). Geometría analítica. México: McGraw-Hill

[2] Juan Manuel Silva &Adriana Lazo (2003). Fundamentos de matemáticas: 

álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo. México: Limusa http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

[3] Z=conjunto de los números enteros {…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

[4] Stewart James. Cálculo: Conceptos y Contextos.(2010). México. Cengage Learning

[5] Ochoa Hernández, Silvia & Carreño García, J. Jesús (2014) Representación simbólica y angulas del entorno. México: CONALEP/CIE

[6] Steiner Erich (2003).The Chemistry Maths Book.  España: Editorial Reverté, S.A.

[7] Linés Escardó(1991). Principios de análisis matemático. España: Editorial Reverté, 

    S.A.

[8] James Stewart, Redlin Lothar, et al. (2007) Precálculo: Matemáticas para el Cálculo.México: Cengage Learning Editores, S.A.

[9] Fleming Walter, Varberg Dale (1991) Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.

[10] G. Zill Dennis. (1987).  Cálculo con geometría analítica. México. Grupo Editorial Iberoamérica.

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Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán