Texto universitario

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Módulo 7. Derivada parcial  

7.1 Derivada de funciones de más de una variable independiente 

Dadas las enormes implicaciones en la mecánica de gases, fluidos; dinámica de áreas y volúmenes y las aplicaciones en tensores como el gradiente, convergente, rotor y el Laplaceano, que se estudian en el siguiente módulo. Este tema es crucial para nuestros objetivos de alcanzar la derivada vectorial.

Hemos manejado ya derivadas ordinarias desde el curso de bachillerato de cálculo diferencial, para calcular los ángulos de las rectas tangentes a las curvas f(x). Afortunadamente las derivadas parciales se basan en los mismos conceptos generales de las derivadas ordinarias, emplean los mismos teoremas de derivación con la salvedad del mecanismo del orden de derivación. Las derivadas parciales son empleadas para funciones múltiples f(x,y,z…) Y el símbolo debe no deja duda que cuando aparece se está derivando una función multivariante. Las derivadas ordinarias son de solo una variable y se escriben y las derivadas de funciones de varias variables .

Como recordará, las derivadas ordinarias se generan cuando usted está interesado en el cambio de una variable con respecto a otra. Lo que significa que el valor de y depende del valor de x. Esto se puede escribir como y=f(x), donde y se denomina variable dependiente y x variable independiente. La derivada ordinaria refiere a los ángulos de todas las rectas tangentes a la curva. 

Esto se debe a que la pendiente se define como el aumento sobre corrida (run) y dado la subida (rise) es y para una x run, la pensasen de la línea entre dos puntos cualquiera debe ser .

Para representar la pendiente en un punto dado en la curva con mayor precisión, todo lo que tienes que hacer es permitir que la “corrida” en x se vuelva muy pequeña. A medida de que x se acerca a cero, la diferencia entre la línea discontinua y la línea curva de la futura anterior se mueve insignificante. Si escribe el incremento como dx y la elevación incremental como dy, entonces la pendiente en cualquier punto de la línea se puede escribir como . Este es el razonamiento que equipara la derivada de una función a la función generadora de todos los ángulos de ese función. 

Ahora imaginemos que tiene una variable z que depende de otras dos variables, dignos x e y, así que z=f(x,y). Una manera de imaginar un caso de este tipo es visualizar una superficie en el espacio tridimensional, como:

La altura de esta superficie por encima del plano xy es z, que se mueve a lo alto y a lo bajo en diferentes valores de x e y. Y dado que la altura z puede cambiar a una velocidad diferente en diferentes direcciones, una sola derivada generalmente no será suficiente para caracterizar el cambio total de la altura a medida que se mueve de un punto a otro. Se puede ver la altura z como el tipo de cambio diferente como se ubica en la siguiente figura, la pendiente de la superficie es bastante empinada si se emule en la dirección de aumento de y mientras permanece en el mismo valor de x, pero la pendiente es casi cero si se mueve en la dirección de aumento de x mientras mantiene su valor y constante. 

Esto ilustra la utilidad de las derivadas parciales, que son derivadas formadas por una variable independiente (como x o y del caso anterior) cambien mientras mantiene constantes otras variables independientes. Por lo tanto, la derivada parcial representa la pendiente de la superficie en una ubicación determinada si se mueve solo a lo largo de la dirección x desde esa ubicación, y la derivada parcial representa la pendiente si se mueve solo a lo largo de la dirección y. Puede encontrar estas derivadas parciales que aparecen en el subíndice después de que la línea vertical se mantiene constante. 

Como probablemente ya habrá observado, el cambio en el valor de z como x o y cambian fácilmente usando derivadas parciales. Si solo x cambia, , y si solo y cambia, entonces . Y si tanto x como y cambian, entonces:

El proceso de tomar una derivada parcial de una función dada es bastante sencillo; si sabes cómo tomar derivadas ordinarias, ya tienes las herramientas necesarias para tomar derivadas parciales. Simplemente trate todas las variables (con la excepción de la variable sobre la cual se está tomando la derivada) como constantes, y tome la derivada como la haría de manera ordinaria. Esto se explica mejor con ejemplos.

Considere la función dada como . Empleando WolframAlpha 

En un vistazo rápido a este pequeño plano deformado deja claro que la pendiente de la función es muy diferente en la x e y dirección, y la pendiente depende en gran medida de la ubicación en la superficie. En la futura 3D siempre es más fácil ver la pendiente a lo largo de la dirección x para un y valor de -3. A medida que x varía de -3 a +3 (mientras y se mantiene constante en -3), la pendiente comienza positiva y se vuelve menos empinada a medida que se mueve en la dirección x para x=-3 hacia x=0.La pendiente se vuelve cero en algún lugar cerca de x=0, a continuación, se mueve negativa y se vuelve más empinada a medida que x se aproxima a +3. Hacer el mismo análisis rápido a lo largo de la dirección y mientras se mantiene x constante en -3 indica que la pendiente es aproximadamente constante y con y positiva, y varia de -3 a +3-. 

Ahora que usted tiene una idea de que esperar, puede tomar la derivada parcial de con respecto de x simplemente tratando la variable y como una constante, en WolframAlpha “derivative (6x^2y+3x+5xy+10) with respecto to x”:

Del mismo modo la derivada parcial con respecto de y manteniendo fijo x, en WolframAlpha “derivative (6x^2y+3x+5xy+10) with respecto to y”:

El resultado de la derivada total, es la suma de cada contribución de cada variable independiente.

dz representa el cambio de la función z medida que varían infinitesimal x y y, tenga presente que cada derivada parcial emplea la regla de la cadena ya practicada en derivadas ordinarias.

Ejemplo 1. Considere dada por . Usando la formulación respectiva 

Demostración

nosotros la derivada es

Ejemplo 2. Considere dada por . Usando la formulación respectiva 

Demostración

nosotros la derivada es

Ejemplo 3. Considere dada por . Usando la formulación respectiva 

Demostración

nosotros la derivada es

Ejemplo 4. Considere dada por . Usando la formulación respectiva 

Demostración

nosotros la derivada es

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Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán