Texto universitario
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Módulo 8 Derivada vectorial
La derivada ordinaria es una generadora de ángulos de las rectas tangentes a la curva. La derivada vectorial con frecuencia es llamada “derivada direccional”, dado que genera un vector unitario dirección montado sobre cada recta tangente a la curva.
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8.1 Operador DEL o Nabla
Desde geometría diferencial, Nabla es un operador diferencial vectorial con símbolo 
y en coordenadas cartesianas está dado por:
o
en coordenadas cilíndricas
en coordenadas esféricas
8.2 Gradiente y derivada direccional
El gradiente es la derivada vectorial, un campo de vectores dirección sobre las rectas tangentes a la curva f(x). Expresa dirección y velocidad de propagación.
Supongamos que una cantidad escalar 
, tal como la humedad relativa del aire, se da como una función de cada punto para las regiones de un espacio 
. En un punto P, esta función tiene el valor 
; en otro punto P+dP, removiendo P por el diferencial de distancia dr, el valor de la función está dado por:
Descartaremos los diferenciales de orden superior en el incremento de la función escalar entre los dos puntos P y P+ dP; se obtiene:
factorizar
Aquí 
es un vector unitario en la dirección del vector x, es decir, 1=
; similar para 
y para 
. El segundo paréntesis a la derecha en la última ecuación se trata de dr. El índice de soporte P, está implícito en las derivadas. Si el primer paréntesis se describe como 
(nabla phi o DEL phi), esta ecuación se transforma en:
, es definido por la ecuación, es llamado gradiente de 
y es aplicado en varios sistemas de coordenadas, además del cartesiano. A veces está escrito como grad o en notación simbólica 
, que representa incremento de 
, entre dos puntos separados por una distancia finita. Por tanto el valor del gradiente de phi es una derivada vectorial en coordenadas cartesianas:
en vectores unitarios
En cualquier sistema es una función vectorial obtenida por el producto de operador Nabla por una función escalar. Considere que Nabla no es una función, sino un operador vectorial, por sí mismo no tiene significado.
La magnitud de cambio 
, donde 
es el ángulo entre 
y 
. Cuando dr es un vector que se encuentra a lo largo de la dirección de
, el cambio resultante en 
tendrá su máximo valor en 
. 
por lo tanto, actúa como vector que apunta en la dirección de la máxima tasa de cambio de 
; y el sentido del vector de la función vectorial 
es tal que apunta a la dirección 
creciente. La magnitud de este vectorial es
El vector 
tiene la misma magnitud que
, solo que apunta en la dirección opuesta a la máxima tasa de incremento o propagación. Como ejemplo de un gradiente, nosotros podemos considerar una porción de una colina con altura sobre el nivel del mar h, en cualquier punto de la colina, es una función de posición h=h(x,y). Una versión simplificada del gradiente.
De la magnitud y dirección de la máxima tasa de cambio de altura en un momento dado, como lo ilustra la figura siguiente:
Este es un mapa topográfico bidimensional que utiliza la altura como parámetro. La magnitud de
, aquí es
La tasa de cambio de la altura con respecto a un desplazamiento horizontal. La dirección de 
es dada en la tasa de cambio de la máxima altura, a mayor altitud para un desplazamiento horizontal dr =dx+dy cuya dirección no es a lo largo de la dirección de 
(aquí 
está en el plano x-y) el cambio de la altura será 
, donde 
es el ángulo entre el 
y el dr.
La derivada direccional de la altura, es una determinada dirección que se define como
y es igual a 
. Esto es inferior a la máxima tasa de cambio de altura, obtenida por el mismo dr, cuando dr está a lo largo de la dirección de
. Para 
la altura disminuye a una tasa máxima, el desplazamiento horizontal siendo opuesto en dirección a la del gradiente. La altura h en este análogo bidimensional del gradiente se distingue por no tener la dimensión z, del gradiente ordinario en 3D. La derivada direccional de una función es así la tasa de cambio de esa función en una dirección determinada. Si la derivada direccional es positiva en una dirección concreta, entonces la función está aumentando en esa dirección. El gradiente de una función en un punto es la derivada direccional en ese sentido para la tasa de cambio máxima.
Una función escalar cuya pendiente es cero en un punto es una función que tiene un máximo, mínimo o una inflexión allí. Si el gradiente es cero en todas partes, entonces la función escalar es una constante. Cuando el valor de esta constante es arbitrario es a menudo conveniente ponerlo igual a cero. Por ejemplo, podemos tomar 
sobre la superficie del océano. Entonces el nivel del mar puede tomarse como la medida de altura cero.
Ejemplos 1:
Calcúlese el gradiente de la función escalar F
Solución:
En Mathematica 10:
http://reference.wolfram.com/language/tutorial/VectorAnalysis.html
Software libre WinPlot para gráficar ecuaciones diferenciales
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Demostración
http://demonstrations.wolfram.com/VisualizingTheGradientVector/
http://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=Multivariable+Calculus&limit=20
8.3 Divergente
Flujo. Una superficie cerrada es una superficie límite que divide un volumen en dos partes: un interior y un exterior. La superficie del mismo es limitada por una curva de superficie. Un área elemental de la superficie cerrada está representada por un diferencial vectorial de superficie dS que apunta al exterior, cuya área real de magnitud 
es ortogonal al vector dS que representa. La superficie de una seudo-esfera es una superficie cerrada, en ella en todos los puntos dS son radialmente hacia fuera, de las dos direcciones posibles para dS, la convención universal es tomar la dirección que va de adentro hacia fuera como positiva.
Una superficie abierta que está delimitada por una curva. La página de un libro es una superficie abierta y el borde de la página es la curva límite. Para una superficie dS abierta su magnitud es 
y dS es el vector perpendicular a la zona real representada. Aquí, además hay dos posibilidades para la dirección de dS, negativa y positiva; es decir, la positiva atravesó el perímetro de la lámina, negativa si las líneas de flujo ingresan a la lámina.
Es interesante señalar que no es posible dar definiciones rigurosas sin empleo de ejemplos mentales. El flujo de un campo vectorial 
se define por la superficie de entrada 
dada por
Se utiliza para simplificar la forma de integral cerrada, que en realidad cuando se integra es una integral doble, usando coordenadas variables. El flujo para este caso tiene dos valores, uno negativo y otro positivo dependiendo de donde se tome el vector normal u ortogonal. Para una superficie 
cerrada el flujo de un vector 
únicamente es definido por
donde 
es un área abierta de una curva delimitada C, el área es proyectada en la superficie sobre el plano x-y. C’ es la proyección de C sobre el plano x-y. Donde es una superficie diferencial proyectada sobre el plano x-y. El pequeño círculo en la integral indica que la integración doble dxdy es una superficie cerrada y que la integración debe realizarse en toda la superficie. Para el flujo de un vector a través de una superficie curva, se puede usar el teorema que relaciona la integral de superficie proyectada 
y el ángulo entre 
y 
; y el coseno de este ángulo Cos (entre 
y 
) se relaciona con la superficie 
Si la proyección es tomada sobre plano x-y, resulta que hubiera sido
Ahora vamos a definir la divergencia de la función vectorial 
en un punto P. Esto se da en términos de flujo hacia el exterior de 
a través de una superficie cerrada 
, que contiene a P, y por el volumen v dentro. Si tenemos una superficie 
y un volumen 
. La razón forma el cociente
Lo que da el flujo por volumen cerrado. Luego tomamos otra superficie 
que está enredando a 
y al punto P. Forman una razón 
en P
Cuando este proceso sea continuo indefinidamente, entonces la relación acerca de un único límite se llama divergencia para cualquier sistema de coordenadas
La divergencia de 
es la fuerza de la fuente de flujo de 
, definida en un punto. Ahora derivaremos una fórmula específica para la divergencia de 
cuando 
se da en el sistema de coordenadas cartesianas. Concederemos una caja pequeña finita rectangular cuyos bordes coinciden con los ejes x,y,z, que tiene en su centro el punto P(x,y,z,) como en la figura siguiente:
Eventualmente la caja será infinitesimal, con sus lados aproximados a cero. 
se convierte en la suma de seis integrales: sobre el frente, atrás, derecha, izquierda, arriba y abajo, respectivamente. Consideramos el frente de integración como la cara 
. El valor de 
sobre la caja se obtiene a través de evaluar 
; en el centro de la caja por medio de una expansión de Taylor. El único componente de 
que contribuye a la parte delantera es la componente x. Expresaremos esta componente como 
de 
evaluada en el centro P. La palabra caja pequeña aplica a una caja de lados aproximados a cero de primer orden de expansión:
Los factores a y b surgen de un punto en la cara frontal en una arbitraria posición: 
donde 
.
Las derivadas, valuadas en P, son numéricas y pueden ser movidas a la izquierda del signo integral. Así los términos que involucra a y b cuando
Estos términos y condiciones de orden superior, contienen mayores potencias de los deltas. Por lo tanto, su distribución a la suma se convierte en extremadamente pequeña comparada con la de primer orden cuando 
y sin ser descuidados, como la caja es suficientemente pequeña, todos los puntos de la cara frontal pueden así ser considerados que están en el centro de la cara frontal. Puesto que
es también un número, no una función, también se puede poner a la izquierda del signo de integración y se convierte la expresión en
Nosotros hacemos implícito en el paréntesis la evaluación en P.
En el caso de la segunda integral, se trata de la tapa trasera de la caja
también
Así se convierte en la segunda integral
Por consiguiente, la suma de las dos primeras integrales, caras frontal y trasera de la caja, es
Por simetría, la tercera y cuarta integral dan
Asimismo, las siguientes dos últimas integrales
El flujo total de F por toda la superficie de la caja infinitesimal es
Si hacemos el volumen 
de la caja que tienda a cero
De manera explícita para div F en el sistema cartesiano es
Un vector cuya divergencia en todas partes es cero se llama vector solenoide. El nombre es referido al hecho de que en un campo magnético creado por un solenoide, la convergencia es cero.
Ejemplos 1:
Calcúlese el divergente de la función vectorial 
Solución:
8.4 Rotor
El rotor de 
, en un punto P, ahora podemos definirlo considerando un vector cuya magnitud es el cociente de la circulación de 
a lo largo de un trazo C alrededor de un punto P, en un área delimitada por C. Asumimos que C se encuentra en un plano, así 
puede definirse; tomamos esta relación en el límite de 
y C reduciéndose a cero. Se asume que el límite de esa relación existe y es único.
La dirección del vector anterior es el de la normal a 
, el sentido positivo se relaciona en la forma de movimiento lineal de un tornillo de mano derecha relacionado con el movimiento de rotación. La magnitud y dirección de este vector dependerá de la ruta de C, lo cual es bastante arbitrario hasta aquí. Ahora asumimos que se sigue el mismo procedimiento para dar con un vector similar en este punto, pero en otra dirección. Luego que hagamos esto para todas las direcciones posibles, se asumirá que para algunas direcciones la magnitud del vector será máximo. El vector determinado por este procesamiento, en el sentido que maximiza la magnitud, se define como el rotor de 
en P. Las operaciones anteriores darán el componente de rotor de 
en la dirección normal a
.
Si 
es un vector unitario en cualquier dirección particular y 
es un camino cerrado en un plano perpendicular a 
, entonces, para cualquier sistema de coordenadas, si 
es la zona delimitada por 
,
En la siguiente figura se muestra este procedimiento, que se supone que 
se hace infinitesimal. El resultado obtenido es el componente del rotor de 
, a lo largo de la dirección del vector unitario 
. Si 
es elegido en la dirección del rotor de 
, en esta dirección es un máximo: el componente es igual a la magnitud del vector.
Nosotros ahora vamos a calcular una expresión para el rotor de 
, en coordenadas cartesianas.
Considere el componente 
del rotor de 
:
Con los bordes 
y 
y el punto P(x,y,z) en el centro de la figura anterior. Entonces 
y 
es 
. La circulación de 
, es 
y la integración de contorno puede dividirse en cuatro partes, todas ellas con z=constante:
1. De 
hasta 
2. De 
hasta 
3. De 
hasta 
4. De 
hasta 
Entonces 
, donde cada una de las cuatro integrales es
.
Se obtienen los valores de los componentes de 
a lo largo de cuatro partes del camino de integración por expansión de Taylor. La pequeña área rectangular se convertirá posteriormente en un área diferencial, en la primera expresión se mantendrán los dos términos. Para la primera integral dy=0. Dejamos que 
represente la componente en x de 
en P; entonces la componente en x de 
en el primer segmento del contorno es
donde a es un factor similar al utilizado en la derivada de la forma cartesiana en el divergente, cuya magnitud determina la posición de un punto a lo largo del primer tramo:
. El término que contiene a tendrá las contribuciones positivas y negativas que se cancelarán, dejando que el índice de la derivada sea implícito
Para la segunda integral dx=0, entonces solamente el componente 
necesita ser evaluado:
En términos de a da como antes cero; así que, con 
y sus derivadas evaluadas en P,
En caso de la tercera integral dy=0, otra vez, así que 
no necesitan ser considerados y la integral se convierte entonces
Tenga en cuenta que la expresión para la diferencial aquí es +dx, solo en cuanto a la primera integral; pero los límites se invierten. También sería correcto mantener los límites igual que antes si, en lugar de usar +dx, fuera empleado –dx. Pero sería incorrecto invertir tanto los límites y el signo de la variable independiente. Así que
Asimismo, para el cuarto camino dx=0y la integral se convierte en
Sumando las cuatro contribuciones
Por lo tanto
Por tanto de manera similar las componentes x ,y, z del rotor F pueden obtenerse por la permutación cíclica de x, y y z. Dejando que
Dando
otra permutación cíclica de x,y, z nos da
En coordenadas cartesianas la expresión del rotor de F, por tanto es
Usando las reglas para la expresión de un determinante, este resultado se puede expresar
Donde el operador en coordenadas cartesianas tiene el mismo valor que tiene para el gradiente y el divergente.
Cuando se utiliza el símbolo de rotor el operador transforma un campo vectorial. En el caso de la pendiente en un punto dado, hay una tasa máxima de cambio de rotación para una función escalar en alguna dirección; a lo largo de cualquier otra dirección la tasa de cambio de la función escalar es igual a la tasa máxima de cambio multiplicada por el coseno del ángulo entre las dos direcciones. La tasa máxima de cambio y dirección particular especifican el vector gradiente. Asimismo, en el caso de los rotores en un punto dado, hay una circulación máxima de la función vectorial por unidad de área cerrada infinitesimal en alguna dirección; a lo largo de cualquier otra dirección la circulación por unidad de superficie es igual al valor máximo multiplicado por el coseno del ángulo entre las dos direcciones.
Un rotor cuyo vector en todas partes es cero, se denomina irrotacional o laminar. El nombre significa que no hay ninguna rotación; es decir, no hay circulación.
8.5 Laplaciano
Supongamos que uno toma la divergencia de una función vectorial, en términos del gradiente de una función escalar en coordenadas cartesianas:
Esto se define como el Laplaciano de F y se expresa como 
. Significa el divergente del gradiente de F. En Física el Laplaciano se refiere a un operador elíptico de segundo orden que expresa la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción de calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable.
8.6 Ejemplos de tensores
Ejemplos de Gradientes
Ejemplos de Divergentes
Ejemplo de Rotores
Ejemplos de Laplaceanos
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Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán