La Integral

Técnica y Método

1.3 La integral

El proceso de integración representa la operación inversa al proceso de derivación de funciones.

Esto quiere decir, que si se tiene una función dada la integración permite obtener otra función 

tal que al derivarla se recupera   , es decir:

Si    entonces se tiene  

El símbolo que se utiliza para representar el proceso de integración, es una “s” alargada ∫, a la

función , se le denomina integrando y nos indica la variable de integración, en este caso, .

Supóngase que se tiene la función  ; al integrar esta función se obtiene otra función

  de manera que si se deriva se recupera la función inicial.

.

Así mismo, si se tiene la función , al integrar se obtiene la función  , de

acuerdo con las reglas de derivación, se ve que al derivar recuperamos la función original

Estos ejemplos manifiestan el carácter inverso que se da entre los procesos de derivación e

integración de funciones.

A la función se le conoce como primitiva de .

Se hace la observación de que la primitiva de una función no es única, es decir, para la función dada,

existe una infinidad de primitivas que difieren en una constante^[1].

Las siguientes funciones son también primitivas de la función   :

Al derivar cada una de ellas, se recupera la función original.

Al conjunto de todas las primitivas de una función dada se le denomina integral indefinida

de , lo cual se escribe^18,19:

Donde es una constante cualquiera y recibe el nombre de constante de integración.

Geométricamente la integral indefinida representa una familia de gráficas, las cuales se

encuentran desplazadas paralelamente a una gráfica, en sentido positivo o negativo en el eje Y.

El valor particular de la constante de integración , define una curva particular de la familia de primitivas.

Se ha comentado que algunas primitivas de la función , son:

La figura muestra la gráfica de estas funciones, son parábolas desplazadas en el eje Y.

[1] Larson R. et.al. (2010). Cálculo Esencial. México: Cengage Learning