La IntegralRetorno
Técnica y Método
1.5. Integración mediante cambio de variable
Existen integrales que pueden resolverse realizando un cambio de variable. Se obtiene la diferencial de la variable, después se hace un despeje de la diferencial y se sustituye en la integral para expresarla en términos de la nueva variable.
Lo anterior se podrá simplificar utilizando las fórmulas:
5. 
6. 
Veamos algunos ejemplos para mostrar este método.
Cambio de variable
14) 
 11.35.03.png)
Laboratorio virtual división larga de polinomios: http://library.wolfram.com/webMathematica/Education/LongDivide.jsp
16) 
Sea 
nuestro cambio de variable
Su diferencial es 
Como la diferencial de la integral es 
, despejamos: 
Expresando la integral en términos de la nueva variable:
Aplicando (2) y (5)
Regresando el cambio de variable de 
El resultado es:
17) 
Considere 
, entonces 
en la integral aparece 
, despejando en la diferencial de la nueva variable se tiene:
haciendo las sustituciones correspondientes para expresar la integral en términos de 
:
Aplicando (6)
Por lo tanto:
18) 
Como la diferencial está completa, aplicar (7)
19) 
Sea 
, así 
, por tanto 
Sustituyendo y aplicando (7)
Finalmente:
20) 
Sea 
y 
, despejando 
, y aplicando (8)
obteniendo así :
21) 
Sea 
, y 
, despejando 
y aplicando (9)
Por lo tanto:
22) 
Sea 
, 
despejando 
, aplicando (10)
se obtiene:
23) 
Sea 
, 
aplicando (11)
Finalmente:
24) 
Sea 
, 
aplicando (15)
Por lo tanto:
25) 
Sea 
, 
aplicando (16)
Por lo tanto:
26) 
Esta integral puede también ser escrita como 
Sea 
, 
aplicando (17)
Por lo tanto:
27) 
En este caso conviene desarrollar el binomio y aplicar identidades trigonométricas.
Aplicando (11) y (12)
Finalmente:
28) 
Se observa que para esta integral se puede aplicar (19), para esto:
29) 
Al igual que en el ejemplo anterior y aplicando (19)
30) 
Aplicar (20), tomando en cuenta que:
31) 
Aplicar (21) y considerar que:
32) 
Aplicar (22) teniendo que:
33) 
Aplicar (23), y haciendo:
34) 
Aplicar (24) y haciendo:
Finalmente:
Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán