La Integral
Técnica y Método
1.7 Integración con diferenciales trigonométricas
Cuando una integral de funciones trigonométricas no puede resolverse con las fórmulas
inmediatas correspondientes, se hace uso de identidades trigonométricas para completar
su diferencial. El principal problema que radica en la evaluación de las integrales es
convertir el integrando a alguna forma estándar. Cuando integrando implica funciones
trigonométricas, a veces es posible convertir el integrando en una forma estándar, mediante
la aplicación de operaciones algebraicas y/o identidades trigonométricas. Obviamente, en
estos casos, el integrando se puede cambiar a una forma estándar, sin cambiar la variable de
integración. Una vez hecho esto, podemos fácilmente escribir el resultado final utilizando las
fórmulas estándar.
Ejemplo 1:
Solución:
No es posible por fórmulas estándar (inmediatas).
Nosotros consideramos:
Ejemplo 2:
Solución:
De manera similar
Ejemplos:
42.
Ejemplo 3:
Solución:
Ejemplo 4:
Solución:
Considere a
Note que:
Ejemplo 5:
Solución:
Ejemplo 6:
Solución:
Ejemplo 7:
Solución:
Ejemplo 8:
Solución:
Ejemplo 9:
Ejemplo 10:
Solución:
Ejemplo 11:
Solución:
I. Integrales de la forma:
Este tipo de integrales se descompone en potencias par y quedará una potencia lineal que
servirá como diferencial. Aplicar las identidades:
1. 
Finalmente:
2. 
Finalmente:
3. 
Finalmente:
4. 
Finalmente:
5. 
Finalmente:
II. Integrales de la forma:
Para estas integrales, se descompone el integrando en potencias par, con la finalidad de
sustituirlas por las siguientes identidades trigonométricas:
Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.
6. 
Así que
7. 
8. 
Por lo tanto:
9. 
Por lo tanto:
10. 
Dado que
Ahora
III. Integrales de la forma
Para resolver este tipo de integrales basta con descomponer el integrando en potencias
pares para luego aplicar las identidades trigonométricas:
11. 
Aplicando fórmula inmediata (11)
12. 
13. 
IV. Integrales de la forma:
Cuando se tiene este producto de funciones, se pueden integrar aplicando las
identidades, del caso III, cuando 
es par:
Cuando 
es impar, buscar que se tengan diferenciales de la forma
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
V. Integrales de la forma:
En este tipo de integrales, aplicar las identidades trigonométricas de ángulo doble:
19. 
20. 
21. 
22. 
VI. Integrales de la forma:
Cuando el integrando se compone de estos productos, aplicar las siguientes
identidades trigonométricas:
23. 
Por lo tanto:
24. 
Por lo tanto:
25. 
Por lo tanto:
Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán