Texto universitario

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0.1 Pensar las matemáticas es enriquecer la vida 

Vehículos autónomos (drones y coches), redes sociales dinámicas y avances espectaculares de la ciencia, son tiempos de la cuarta revolución industrial, cuyo hito es la Inteligencia Artificial. La educación se ha quedado rezagada al incorporar a su debate criterios y habilidades. Hay algo en común transversal a esta revolución, la llaman matemáticas. Nos acercaron en nuestra educación básica a ellas, describiendo el mundo real y más tarde como una forma eficaz de resolver problemas. Más tarde ya en nuestro siglo XXI, se impulsa como un estilo de pensamiento abstracto, aplicable a lo sintético en la biología, la inteligencia, los fármacos, los pigmentos, los elementos de la tabla periódica, anticuerpos…, produciendo mejores respuestas que antes.

Esta etapa de la educación en matemáticas está a pasos acelerados creando en los niños y jóvenes universitarios una brecha de desigualdad entre quienes aprenden asistidos por Inteligencia Artificial (por ejemplo: Wolfram, laboratorios virtuales, revisores de gramática…,) y quienes invierten en jornadas de procesos convencionales desconectados de los más amplios usos de las matemáticas en el mundo actual, con consecuencias de marginación laboral y pobreza. Los empleadores demandan más capacidades de cálculo para diseño, control, programación predictiva, ciencia de datos, teoría de información…, y, los recién llegados a las universidades les aplican cursos remediales de matemáticas convencionales. Los gobiernos de países y universidades claramente no están respondiendo a resolver el núcleo de las causas de la desigualdad matemática en la cuarta transformación industrial. 

Alrededor de la asistencia por computadora, se puede construir una frase que sintetice estos tiempos, “en la matemática de ayer las personas hacen casi todo el cálculo, en las matemáticas de hoy las reflexionan y las computadoras realizan los cálculos”. Este es el punto actual de la crisis de la educación en matemáticas.

“Los planes de estudio de las universidades parecen todavía olvidar esto en sus programas de matemáticas”. En el interior de la educación en matemáticas esto se refleja más allá de la estimación aritmética básica, en que casi ningún cálculo se hace a mano, la contabilidad, pólizas de seguros, diseño arquitectónico, piezas mecánicas de autos, entre muchos otros. Las matemáticas modernas no se tratan de cálculos a mano, sino del proceso computacional más amplio en el que los humanos piensan las matemáticas y las máquinas realizan los cálculos. 

¿Por qué la matemática? ¿Por qué la educación? Debemos seguir los pasos de definir el problema, abstraer, discutir e interpretar. 

Cuestionar los fundamentos, significa hacer preguntas a menudo profundas sobre el propósito, qué podría ser mejor y qué podría ser peor. Cuestionar esos fundamentos significa potencialmente elevar el conocimiento que nos ha puesto donde estamos, para bien o para mal, así que no es fácil y no se hace a la ligera. Distinguir la realidad práctica actual de una faceta profundamente arraigada desde la infancia, o la moda actual de las ataduras de la sociedad, es similar a cuestionar una costumbre social o los mandamientos en una religión como base fundamental de cómo funcionan nuestras vidas. 

Juzgar cuando realmente se necesita un cambio fundamental o cuando es simplemente una reacción de rodillas o mal informada, puede ser complicado, de la misma manera que la dificultad de determinar si dos efectos están vinculados causalmente o simplemente no hay correlación. Es difícil ser engañado en el momento de actuar cuando el cambio fundamental no es necesario o más comúnmente no actuar cuando es porque uno se convenció de que un problema desaparecerá y el mundo volverá a ser como estaba justo antes de surgir nuevas necesidades, las normas que uno está acostumbrado por dogma son las cadenas más desafiantes. 

¿Hay alguna manera de averiguar en qué tipo de momento se encuentra uno, particularmente para nuestro tema de educación de las matemáticas? De hecho, es tan obvio, que parece haber sido fácil de construir. Las computadoras no solo han transformado muchos aspectos del esfuerzo y el arte humano, sino que están específicamente e íntimamente vinculadas con el proceso matemático. El nombre de la tecnología sesga su conexión entre los pasos de discutir e interpretar, el proceso matemático a saber, su propia existencia es lo que hace programable las computadoras y utilizables, de esto es directamente responsable la teoría matemática, desarrollada por Alan Turing. 

A riesgo de afirmar lo obvio, las computadoras están en todos lados, en teléfonos, coches, aviones, tabletas, hornos de microondas…, están tan extendidas que todos nosotros cada día llevamos una cibernética con ellas. Con respecto al uso actual de las matemáticas, las computadoras son intrínsecas. También son clave en todos los otros modos del cambio histórico de comunicarnos, del perfil laboral, del acceso a la literatura y en la pandemia COVID-19, da cuenta que en todos los ámbitos de la vida está presente. 

Es difícil imaginar que lo más evidente sea que la educación modificará sus fundamentos de su práctica y un nuevo enfoque en el aprendizaje de las matemáticas. 

¿Cuál debería ser realmente el punto de discusión de la educación en particular para estos momentos? Claramente hay muchos niveles de respuestas a esta pregunta. Según Platón, era dar al cuerpo y al alma toda la belleza y toda la perfección de la que son capaces los hombres. Y para Martin Luther King Jr. era permitir que uno tamizara y sopesa la evidencia, discernir lo verdadero de lo falso, lo real de lo irreal y los hechos de la ficción. Nuestra propuesta es más simple, “enriquecer la vida”, no solo en la riqueza del conseguir un buen empleo, sino en el significado de progreso ético en sociedad. ¿Para qué todo esto?

Incluso basándonos en la sencilla respuesta de “enriquecer la vida”, la complejidad no es menor, necesitamos ser capaces y estar dispuestos a explicar por qué en cada tema del currículo, en particular lo útil para enriquecer la vida. Incluso este grado de especificidad proporciona una base temprana por motivos específicos, para permitir argumentar ideas fundamentales cuando el mundo tecnológico, los empleos y las vidas están cambiando tan rápido, que conducen a una parálisis reflexiva de las personas.

Es importante ser muy claros en que ser explícitos sobre las razones de un tema u otro determinado no significa ser limitados en la concepción de una razón transversal a nuestro horizonte de cambios en la educación. Por ejemplo, si un estudiante encuentra entusiasmo por la lógica del discurso, la historia del pensamiento moderno o la estadística inferencial, esa es muy buena razón para estudiar el tema, independientemente de si impacta como oportunidad laboral obvia, podría estar vinculada a ella una oportunidad insospechada. Aprender en sí mismo puede ser enriquecedor; no necesita un propósito más grande que lo que hace, enriquecer la vida. 

Paradójicamente, no buscar ese propósito más grande a veces puede conducir a habilidades únicas y altamente valoradas, sin mencionar que sentirse cumplido al aprender un tema puede transferirse al aprendizaje de los demás. Steve Jobs a menudo transmitía su experiencia de tomar nota en la universidad porque le resultaba interesante y agradable, sin embargo, era la razón clave por la que el ordenador Macintosh tenía una amplia gama de fuentes de tipografía, un factor temprano en su éxito de ofrecer producto para la creatividad en su éxito empresarial.

La educación de hoy en día con demasiada frecuencia adopta el sentido inverso: es inexplicablemente sobre el porqué se debe aprender algo, por ejemplo, matemáticas geométricas o algebraicas, pero estrecha en el rango de razones aceptables, porque califica temas como necesarios para la universidad. Esta versión es cada vez más ruin para la juventud atrapada en el tedio de ejercicios mecánicos. Es fácil ver cómo se ha llegado a tomar este camino equivocado, si miras la idea de progreso en la educación de la primera revolución industrial. 

Cuando la capacidad de sobrevivir como un extremo del espectro de enriquecimiento de la vida, es sentida así, las vidas más interconectadas son una oportunidad, donde las ideas de los individuos se extienden más allá de la conexión social más obvia de cara a cara. A medida que las sociedades se vuelven más desarrolladas, la subsistencia razonable, si no la supervivencia pura, requiere habilidades a un nivel de complejidad más alto. Donde la alfabetización sea un diferenciador importante en las sociedades desarrolladas y las que se quedaron atrás. Pero la alfabetización es solo una capa sustantiva de la educación humana necesaria para crear, interpretar y comunicar con el lenguaje. Las sucesivas revoluciones industriales agregaron nuevos requerimientos del perfil del hombre. Hasta nuestra actual revolución, la maquinaria ha reemplazado en su mayoría a la fuerza humana, no al cerebro humano. Esta vez es diferente, la llamada  cuarta transformación industrial está apuntalada en la Inteligencia Artificial como mecanismo de potenciación de la capacidad intelectual humana. Lo hace cuando el poder del proceso computacional: las matemáticas del mundo real están profundamente incrustadas en estos cambios. La educación necesita intensificarse en formas cada vez más complejas y exigentes de un emparejamiento de propósitos intelectuales y éticos. 

Hay muchos mecanismos de acelerar esta educación para la cuarta transformación industrial, acelerar y ampliar la experiencia intelectual. Proporcionar a los estudiantes para sus vidas aspectos destacados de los estilos más finos del pensamiento, exponerlos directamente a problemas típicos de la vida, experimentando construcciones de pensamiento que les ayuden a navegar por la vida real. Ampliar directamente sus estilos de pensamiento y fomentar los aspectos más destacados de las ideas de los demás. 

Sin embargo, es muy difícil que esta buena intención de la educación descienda por una realidad opuesta a este sentido de progreso ético. Pensando solo en la forma en que otros han pensado. Experimentar lo que era importante en el pasado, pero ya no lo es. Obtener una experiencia relativamente más estrecha de la vida a medida que la gama de la experiencia global se amplía. 

0.1.1 La razón de pensar coherente 

Nosotros diríamos que a través de gran parte de la historia humana, promediada durante períodos suficientemente largos, ha habido progresos en sistemas de razonamiento más creativos. Tenemos que decir que es un “promedio” dado que en el tercer mundo claramente ha habido particularmente un retraso masivo en el aprendizaje del pensamiento lógico. Pero incluso, creemos que es justo decir que más educación está presente en planes de estudio del desarrollo de los sistemas lógicos y de razonamiento. Es importante promover la educación de la capacidad lógica y comprensión de los estilos de razonamiento. Argumentamos un entrenamiento mental directamente asociado con el proceso computacional aritmético, geométrico, algebraico y de cálculo moderno. 

Las matemáticas tienen una belleza y elegancia que, una vez comprendida, es única y, por lo tanto, clave para la educación de todos. Iluminar a todos con la magia de las matemáticas con la apreciación de los grandes logros humanos en este arte. La lógica tiene una razón de ser de cualquier tema obligatorio como entrenamiento de belleza para que la juventud libere su potencial imaginativo.

Así como cuando nos invitaron a leer literatura, y no nos importó. No apreciamos la belleza de la escritura, ni vimos el punto de describir ideas que nos fueran claras. No podíamos ver la belleza en la literatura. Incluso puede que nos hayamos vuelto hostiles a la literatura por intentos de nuestros padres o profesores por que leyéramos. Ya que el factor motivador nunca lo pudimos encontrar. 

Así que quizá el mejor enfoque motivador es mostrar lo que hay de heroísmo y sacrificio de las grandes mentes de la historia. Así es posible que tengamos un enfoque de aprendizaje más conectado a algo que nos parezca interesante. Evaluar a los seres humanos en el desafío de abrir nuevos horizontes en el pensamiento. Así que la lógica de entrenamiento de la belleza nos parece una vía para mejorar la educación. Vale la pena decir que las computadoras ofrecen muchos nuevos puntos de unión con esta belleza potencial de las matemáticas. 

Fig 1.1 Juguemos en Mathematica Wolfram

Un argumento relacionado con la enseñanza de la belleza es la necesidad de arraigar los valores compartidos y la historia. Es un mecanismo de vinculación social capaz de discutir los principales logros humanos; y para ello, conocer su existencia y apreciar su belleza es importante. Desarrollar empatía con los valores compartidos e historia, es equivalente a saber algo de Shakespeare, al menos su vida famosa de dramaturgo, para reducir la desconfianza de la necesidad de apreciar su bellezas dándonos oportunidad de realizar el esfuerzo necesario. 

¿Se necesitan matemáticas para trabajar en el desarrollo social? Para bien o para mal, conocer las demostraciones o teorías de las grandes mentes matemáticas parece estar conectadas con la voluntad de adentrarse en su belleza. Durante veinte años hemos luchado porque los jóvenes universitarios renten una instrucción histórica de los desafíos matemáticos como vehículo particular para experimentar la belleza de las matemáticas. Así que podríamos apoyarnos en la historia de la ciencia, las matemáticas y la filosofía, y más recientemente los esfuerzos computaciones para enhebrar nuestra motivación y desarrollar el esfuerzo necesario para el pensamiento lógico que emerge de este viaje humano. No deseamos negar a nadie la formalidad de una demostración matemática, la manera que se propone para los recién llegados en desarrollar en el seno de la discusión histórica los proceptuales-simbólicos para imaginar formalmente los objetos matemáticos. De este modo desde los conceptos enriquecer la vida y apreciar la belleza en un modo de experiencias y carácter intelectual. ¿Apoyarnos en una herramienta computacional básica es necesaria para acelerar este objetivo? Sí, sugerimos emplear Wolfram Alpha y Mathematica como laboratorio virtual asistido por inteligencia artificial (https://www.wolframalpha.com).

0.1.2 Escribir y leer dentro del espacio computacional 

Leer y escribir es una alfabetización que debemos extender a la programación del hoy en día, tan popular entre científicos, médicos, químicos, ingenieros, artistas, psicólogos…, Hemos pasado de sociedad donde solo la burguesía gobernante, el clero, y ricos estaban alfabetizados para desarrollar todo su potencial creativo, de placer y estilo de pensamiento intelectual. Nuestro país se resiste a la evidencia de aplicar la alfabetización al mundo computacional. Es abrumadora la evidencia positiva de que esta habilidad de supervivencia de la cuarta transformación industrial agrega, valor y auto-dirección mucho más amplio para las personas educadas en este tema.

Cada asignatura de matemáticas debería contener un matiz, logrado dentro de las herramientas computacionales con el fin de desarrollar este estilo sistemático en el carácter intelectual de los estudiantes. La mayoría de las personas estarían más seguras usando correo electrónico, el lenguaje inglés con propósitos académicos y software asistido para cálculos matemáticos. La capacidad de expresarnos desde nivel básico hasta, estudios de universidad, se enriquece con las habilidades para cautivar empleando argumentos geométricos, estadísticos, algebraicos…, pero son habilidades matemáticas que debemos desarrollar desde primaria hasta posgrado. 

Los profesores de matemáticas, considerarían este enfoque con miras muy altas para sus vidas y práctica educativa. Por ello la Coordinación de Innovación Educativa, hace suyo este desafío, y a partir de 2020, todos sus cursos de matemáticas asumirán este enfoque apoyado en el laboratorio virtual de matemáticas. Lograr sociedades creativas estables, es un derecho de vida que requiere un buen nivel de alfabetización computacional.

Para hacer esta transición, primero necesitamos desempaquetar lo que es la matemática, lo que estamos haciendo cuando hacemos matemáticas o cuándo lo aprendemos y cómo ha cambiado debido a las computadoras. 

Por toda la mística, complejidad y extraños sobresaltos históricos de la simbología matemática tradicional, podríamos caracterizar el pensamiento computacional como la ciencia del cálculo moderno. El hecho de ver a las matemáticas como un proceso creativo, no significa que las consideremos solo una técnica, sino también una ciencia. El proceso es importante para progresar, pero se implementa para permitir el manejo de la complejidad, escuchando un método con su discurso y así preparar a las personas en ideas, comprensión y el proceso matemático más profundo. Usar proceso es desglosar la complejidad y es crucial, a menudo como apalancamiento para los recién llegados a este campo de belleza. 

El pensamiento sobre algo abierto y caótico, rara vez logra más que seguir un proceso de reflexión comprensible. A veces resulta mejor tener espacio creativo en pequeños desafíos crecientes para llegar a objetivos superiores de complejidad. 

0.2.1 Paso 1. Definir la pregunta que se desea realmente abordar

Definir la pregunta que queremos resolver, ayuda al proceso computacional, de que aquí en adelante cálculo lo referimos así. Necesitamos asumir, qué no sabemos y necesitamos saber. La pregunta es el factor inicial que limitará y evitará que el aburrimiento nos asalte, e incluso nos derrote en la ejecución de experimentar las construcciones matemáticas. Debemos definir con claridad los supuestos verdaderos de nuestro punto de partida, o investigar cuáles podrían ser. Este es el punto de anclaje para romper lo hermético de nuestra ignorancia. Un factor importante del rol de ganar experiencia es saber cuántos y qué factores ignoramos al principio; si te quedas atascado en la complejidad es porque no se definió este primer paso dando respuesta a un desafío de aprendizaje. La mayoría se queda sin oxigeno ante lo exigente de cada jornada de estudio, pero como en cualquier deporte hay que ponernos en forma para lograr un desempeño que nos divierta hacerlo, con ello sea factor que enriquezca nuestra vida. 

0.2.2 Paso 2: La idea es traducida a un lenguaje abstracto

En el contexto de su problema, discutamos las herramientas con las que podemos calcular y dar respuesta. La tarea es tomar la definición en lenguaje natural respecto al paso 1. Convertir la pregunta en forma computable, requiere de los conceptos operativos (adecuados para ser variables cuantitativas) dentro de un argumento estadístico, algebraico, vectorial, tensorial, diferencial,… para dar respuesta a lo que está buscando. En el paso 1 debemos hacernos de algunos fundamentos o axiomas sobre los cuales partir en nuestro razonamiento. La ciencia dispone en la literatura en el apartado de Métodos y materiales de sus reportes de investigación un punto de referencia para escalar el cálculo. ¿Por qué traducir el problema a lenguaje abstracto? Para cuestiones productivas, de inferencia, de diseño y control de calidad. 

La educación actual desafortunadamente se centra en su totalidad en las técnicas basadas a mano, lo que hace una experiencia de la abstracción sesgada. El contexto del problema traducido a conceptos operativos mejora aplicar la precisión del poder del modelo matemático. Al hacerlo así, desarrollará un número relativamente pequeño de sistemas de aplicación en su aparato intelectual, permitiéndole sistematizar y automatizar más eficazmente con computadoras. 

Para la abstracción se emplean a veces diagramas, fórmulas matemáticas, proceso de cálculo (algoritmos).El factor clave es hacernos de los conceptos operativos o ideas traducidas a variables medibles. El proceso computacional depende de los fundamentos de nuestros conceptos operativos. 

0.2.3 Paso 3. Calcular (computar datos)

En este punto ya hemos abstraído nuestro problema, por lo tanto, pasaremos al cómputo o cálculo. Es fácil afirmar el objetivo, tomar la pregunta abstraer y convertirla en repuesta abstracta. Por ejemplo, si nuestra pregunta abstracta fuera la ecuación x+3=8, el cálculo significa resolver para x, x=5. Las funciones computables son contables finitas o infinitas.

La mayoría de la educación lamentablemente se centra en este paso de realizar los cálculos. Años de tratar de dominar una gama bastante pequeña de cálculos diferentes, simplemente se realiza como mera técnica y no como pensamiento matemático. Este énfasis en el cálculo tenía sentido antes de las computadoras. Es mejor ver este paso, como un pensamiento computacional. Pero ¿qué es algo computable? una formalización de la noción intuitiva de algoritmo y según la Tesis de Church-Turing son exactamente las funciones que pueden ser calculadas con una máquina de cálculo. El problema de actuar a mano en el cálculo, es un factor que limita el poder de usar matemáticas. Si a mano no pudiste realizar el cálculo, no quiere decir que no puedes hacer matemáticas. 

Pero, para su suerte es extraordinario que hoy los procesos de paso 3 sean realizados por máquinas, esto ha dado lugar al rol humano de pensar en las interpretaciones de soluciones y no involucrarse en los sueños salvajes de realizar el proceso a mano. Los cálculos para poner al hombre en la Luna, tomaron por varios hombres unos 18 meses. Ahora estos cálculos asistidos por computadoras se realizan en unos segundos. Excepto en la educación, que se insiste que este ejercicio es hacer matemáticas. Uno ahora mismo para el éxito profesional debemos tener una mente entrenada en el estilo de pensamiento matemático, lo suficiente para traducir la realidad en matemáticas e interpretar sus resultados. En este curso intentaremos que el cálculo diferencial se realice preferentemente asistido por Inteligencia Artificial, apoyándonos en Wolfram Alpha. 

0.2.4 Paso 4: Interpretación 

Discutir los resultados del cómputo de datos, es una habilidad del cálculo humano exclusivamente, es llegar a juicios sobre las respuestas de los cálculos abstractos del paso 3. Para interpretar necesitamos tomar lo que significan los conceptos operativos dentro de nuestro marco teórico y fundamentos definidos en el paso 1. Aquí es verificar que tiene una respuesta útil y que no sesgue su interpretación, y luego reflexionar si la mejor respuesta o es necesario realizar ajustes y volver a computar. Un error común es asumir que solo hay una única manera de ganar experiencia. El pensamiento matemático nos exigirá conocimientos de los objetos matemáticos que estamos involucrando con el mejor detalle. 

Un error común es creer que si los cálculos los hace una máquina, entonces no hay manera de tener experiencia o capacidad para verificar sus resultados. Una cosa es el proceso de cálculo y otra el pensamiento matemático de las herramientas que estamos usando. Problemas no contextualizados en sus fundamentos, conceptos operativos y marco teórico, solo nos dan vínculos pequeños con los problemas que enfrentamos. Las matemáticas se tratan más de la vida del pensamiento que de calcular.

Confiemos, el proceso de pensamiento computacional, aparte de su capacidad para calcular con precisión las respuestas, nos exige pensar la complejidad involucrada. Siempre tendremos que investigar los conceptos, fundamentos y explicaciones entorno a nuestro problema. Algunos no están de acuerdo y consideran que la esencia de las matemáticas está en el paso 3. 

Hay otra diferencia clave entre la forma de la matemática tradicional de pensar y el enfoque del pensamiento computacional moderno. Tiene que ver con la economía de los tiempos de dar respuesta y acelerar el aprendizaje. En la vida, reducir la cantidad de tiempo invertido a los cálculos es clave, para poder invertir más en el aprendizaje de soluciones creativas e interpretación de soluciones dentro de los objetos matemáticos. 

Formular el problema es identificar sus fundamentos, simplificar en conceptos operativos, representar el problema en un marco de explicación que dicta sus justificaciones y representar estos conceptos en forma matemática. Seleccione apropiadamente métodos matemáticos y herramientas científicas o técnica según sea el caso. Resuelva ensayando la solución e interprete el comportamiento de los objetos matemáticos involucrados. Presente la solución discutida dentro de una revisión de la literatura en el mundo real. Reflexione y evalúe retroalimentar ajustes a su modelo.

En el siglo XXI, el programa PISA de la OECD considera esenciales para todo ciudadano que se inserta con éxito en la sociedad científica y tecnológica^[1]:

“La capacidad de razonar lógicamente y presentar argumentos de manera honesta y convincente es una habilidad que se está volviendo cada vez más importante en el mundo de hoy. La matemática es una ciencia sobre objetos y nociones bien definidos que pueden analizarse y transformarse de diferentes maneras utilizando el "razonamiento matemático" para obtener conclusiones ciertas y atemporales.

En matemáticas, los estudiantes aprenden que, con el razonamiento y los supuestos adecuados, pueden llegar a resultados en los que pueden confiar plenamente para ser verdad en una amplia variedad de contextos de la vida real. También es importante que estas conclusiones sean imparciales, sin necesidad de validación por parte de una autoridad externa”.

0.3 El camino de demostrar en las matemáticas a Dios

Christopher Clavius, dentro de la Compañía de Jesús, en tiempos en que la matemática se enseñaba siempre y cuando sirviera a las disciplinas superiores de la religión. Fue gracias a su esfuerzo que hizo que su misión en la vida llevara las matemáticas al centro del currículo jesuita en los albores del siglo XVII. Clavius fue llamado a Roma 1560 para enseñar matemáticas^[2]. En 1572 surge un problema, después de que el Consejo de Nicea había determinado en el año 325, que la Pascua debía celebrarse en la primera luna llena después del equinoccio vernal, según el consejo cae el 21 de marzo. Desafortunadamente el calendario juliano, que se utilizó en ese momento no coincidía exactamente con la duración real del año solar, el tiempo que tarda el sol en regresar al mismo lugar exacto en el cielo. Mientras que el año juliano es de 365 días y 6 horas, el verdadero año solar es casi exactamente 11 minutos más corto. Tal discrepancia minúscula no importa de un año a otro, o incluso a lo largo de la vida de una persona, pero un error de 11 minutos retenidos más de 1200 veces suma. En la década de 1570 la fecha del equinoccio vernal se había deslizado hasta el 11 de marzo, y la fecha de la Pascua, la más importante del calendario cristiano, se había deslizado con él. Si no se hiciera nada para corregir el problema, el error seguiría creciendo, y la Pascua continuaría desplazándose. El calendario lunar, por su parte, que se utiliza para calcular cuándo ocurrirá una luna llena, tuvo un problema comparable, cayendo un día cada 310 años. En el siglo XVI la luna llena aparecía cuatro días después de la fecha predicha por el calendario.

Todo esto era inaceptable, no solo estaba en juego la fiesta de Pascua, sino todo el calendario occidental religioso, afectando la economía agrícola y metiendo en desorden a la sociedad. Ya en el siglo XIII el filósofo inglés Roger Bacon se había quejado de que el calendario era intolerablemente ridículo para los cálculos necesarios por los astrónomos. Finalmente en el Concilio de Trento, en Italia de 1563, se ordenó a una comisión especial para el propósito expreso de reformar el calendario. Alrededor de una década más tarde, el recién elegido Papa Gregorio XIII finalmente actuó según el decreto del consejo^[3]. 

La tarea del consejo, recayó en Clavius. La reforma gregoriana al calendario fue un triunfo espectacular para la iglesia Católica en los años oscuros de su lucha con los “heréticos” protestantes^[4]. Aquí estaba el Papa ejerciendo su autoridad universal para corregir un problema que había preocupado a todos los cristianos durante más de un milenio. En una exhibición de poder casi divino, el Papa transformó el ritmo del tiempo para millones de personas. Los protestantes no tuvieron más remedio que reconocer el poder vinculante de la proclamación del Papa, y su inigualable capacidad para reordenar el universo entorno al hombre^[5]. 

La reforma del calendario fue precisamente un tipo de triunfo que la Compañía de Jesús estaba buscando lograr (jesuitas). Así se hizo ver que la Iglesia católica impulsó la verdad, el orden y la regularidad sobre el mundo rebelde de los protestantes. El Papa Gregorio estaba trayendo luz de verdad universal al pueblo. Los jesuitas crearon desde las matemáticas una plataforma para el triunfo “final” de la iglesia romana. Nada podría ilustrar mejor el triunfo, que el secreto de ese poder Papal, Clavius sabía lo que era este secreto: las matemáticas^[6]. 

Clavius elaboró sus puntos de vista sobre ese secreto en un ensayo adjunto a su edición de Euclides, que sale a la luz en 1574, justo cuando la comisión (consejo) del calendario se estaba trabajando, justo allí cita que las matemáticas tienen el poder superior sobre otras disciplinas. Refiere que la excelencia de una ciencia debe ser juzgada por la certeza de sus manifestaciones que expresa, Clavius sin duda demuestra que en una disputa en la razón, esta confirma el conocimiento verdadero en la mente de los lectores y oyentes, eliminando toda duda^[7]. Los teoremas de Euclides son el cimiento de Clavius, dice que las matemáticas conducen a la certeza que determina todo debate, sobre otras disciplinas “religiosas” que dejan al hombre confundido e incierto. 

Pero el verdadero modelo de perfección matemática para Clavius, fue la geometría en Elementos de Euclides, capturando todo el poder y la verdad eterna de las matemáticas. Citó que las demostraciones de Euclides se basaron en un método sistemático y riguroso. Definiciones y postulados que demostraron resultados cada vez más complejos que la suma de 180º de los ángulos base de una triángulo isósceles, que son iguales a un triángulo recto en donde la suma de los cuadrados de los dos lados que contiene al ángulo recto es igual al cuadrado del tercer lado (Pitágoras). En cada paso, Euclides argumentó sus resultados, demostrando que son absolutamente ciertos y no pueden ser de otra manera. De esta manera Clavius, construye un discurso por proposiciones interconectadas e inquebrantables en su verdad, para hacer del conocimiento un reino robusto para demostrar el lenguaje perfecto de Dios^[8]. 

Está claro para Clavius que el método de Euclides había logrado hacer precisamente lo que los jesuitas estaban luchando tan duro para lograr imponer un orden verdadero, eterno e indiscutible sobre una realidad aparentemente caótica. Pero gracias a Euclides, sabemos que dentro del caos aparente del mundo, hay verdades de orden eternas y universales^[9]. 

Las matemáticas y la geometría en particular, fueron para Clavius una expresión de lo más alto en la hoja de ruta jesuita para construir un orden social católico. Las matemáticas fueron vistas como un modelo ideal para el verdadero conocimiento de Dios, Clavius convirtió a la asignatura de matemáticas en el currículo jesuita, como la disciplina central del plan de estudios, porque estaba convencido que este poder es la clave para sobrevivir durante los siglos por venir^[10]. El camino para desplazar a Aristóteles como guía jesuita en filosofía, asignó a las matemáticas de Platón, un lugar por encima de la biología aristotélica.

Para Clavius, el tema de las matemáticas es la materia en sí, ya que todas las matemáticas están inmersas en la materia física. Esto argumenta, que las matemáticas son un lugar distinguido en el orden del conocimiento, tanto que son por él consideradas el camino para conocer la realidad, dando a la física esta misión y la metafísica a las cosas del lenguaje separadas de la materia. Las matemáticas de Clavius ocupan todas las cosas del alma y de la salvación. Pero es, sin embargo, claramente una posición creciente por el prestigio del calendario y su poder lógico y retórico para reforzar su reforma pedagógica jesuita. Ahí donde dirigió su lucha y su proyecto de vida que finalmente gana un hito en la historia de la educación mundial^[11].

Hoy en día, los estudiantes de ciencias apresurados por el mundo laboral, no valoran el legado de Clavius, estos se quejan de lo demandante que son las matemáticas para intervenir en sus habilidades intelectuales. En 1581 Clavius ordenó mantenerse en el aprendizaje de las matemáticas como una forma de enriquecer la vida.

0.3.1 Galileo y el método de los invisibles 

En diciembre de 1621, Galileo Galilei, matemático y filósofo de la corte del Gran Duque Fernando II de Toscana, recibió una carta de un admirador, el monje milanés Bonaventura Cavalieri, de veintitrés años. Galileo había conocido a Cavalieri unos meses antes, quedó impresionado con la perspicacia matemática del joven monje, y lo invitó a continuar sus intercambios por correo. Cavalieri hizo precisamente eso; su carta, llena de admiración y elogios por el sabio matemático, pidió la opinión de Galileo sobre la nueva dirección radical que estaba tomando. Galileo en ese momento estaba en el apogeo de su poder y fama, acostumbrado a los jóvenes ambiciosos que buscaban su consejo y patrocinio^[12]. Habían pasado doce años desde que fue profesor en la Universidad de Padua, había construido un telescopio y lo apuntó a los cielos. Lo que vio allí cambió la visión humana del universo para siempre, innumerables estrellas invisibles a simple vista, montañas y valles en la luna, manchas oscuras en la superficie del sol. Lo más notable fue cuatro pequeñas manchas que observó dando vueltas en Júpiter, dedujo que eran lunas orbitando el planeta justo como nuestra luna orbita a la Tierra. Galileo compiló datos y los compartió con eruditos y astrónomos de la época.

El impacto fue inmediato, y aparentemente de la noche a la mañana el modesto profesor se hizo conocido en toda Europa como hombre abierto a los cielos. En Roma de 1611, Galileo regaló al Papa documentos de sus descubrimientos y fue invitado a una audiencia privada amistosa con el cardenal jesuita Bellarmine, en el Colegio Romano, del padre Clavius, siempre sospechoso de innovaciones, inicialmente desminó bromeando, que ver tales cosas primero hay que haberles puesto dentro del telescopio^[13]. El venerable matemático, ahora en sus últimos días de vida, estuvo presente cuando los jesuitas celebraron a Galileo con un día de ceremonias de la vanguardia en el Colegio Romano. 

Galileo fue nombrado jefe de matemático de la Universidad de Pisa, con un salario varias veces mayor del que había disfrutado como humilde profesor. Un hombre extravagante con un ingenio rápido y una pluma afilada, disfrutó de las discusiones científicas y poco después de mudarse a Florencia, escribió el Discurso sobre los cuerpos flotantes, que fue, en efecto, un ataque directo a los principios de la física aristotélica de la Iglesia Católica Romana. En 1613 había publicado la historia de su debate con el oscuro “Apelles” sobre el descubrimiento y la naturaleza del fenómeno sol. En él, Galileo argumenta que él fue el primero en observar las manchas solares; las definió a las manchas en la superficie del sol equivocadamente como marcas para ver su giro sobre su eje. Finalmente, más allá de la materia inmediata en cuestión, afirma que las manchas solares proporcionan un poyo crucial al sistema copernicano, que colocó el sol y no la Tierra en el centro del cosmos^[14]. Los eruditos aristotélicos molestos consideraron que las manchas eran defectos por la atmósfera de la tierra. Las cosas se pusieron aún más difíciles cuando Apelles fue revelado jesuita erudito y quien estaba profundamente ofendido por el ridículo que Galileo le había dado. Esta fricción entre Galileo y jesuitas del Colegio Romano, solo crecería año tras año. Veinte años más tarde Galileo es juzgado por la Inquisición, acusado y finalmente condenado por herejía, fueron los jesuitas ardidos quienes dirigieron la acusación.

Fue Galileo acusado por los teólogos de la Iglesia, por ir en contra del significado claro de la Escritura, que en varios lugares implicaba que el sol gira alrededor de la Tierra. Solo una alma aprensiva podría haberse alejado de un problema tan potencialmente escandaloso, pero Galileo era cualquier cosa menos un detractor de la evidencia. En lugar de esperar los ataques de sus adversarios, decidió llevar la batalla a su tierra natal publicando su propio tratado teológico. La “Carta a la Gran Duquesa Cristina” fue dirigida a Cristina de Lorena, madre del gran duque gobernante de Toscana, quien había expresado su preocupación con la palabra revelada de Dios. El libro de la razón y el de la doctrina nunca antes estuvieron más en conflicto. Uno contiene todo lo que vemos a nuestro alrededor en el mundo reflexionado con evidencia, el otro contiene revelaciones divinas, pero ambos se derivan en última instancia de la misma fuente: Dios mismo. Uno apoyado en el lenguaje matemático de Dios y el otro en palabras de Dios. 

Mientras no tengamos “demostraciones en evidencia” científica de una tesis en particular, dijo Galileo, siempre debemos aceptar la autoridad de la Escritura, entendida en su significado más simple y directo. Pero si poseemos una evidencia científica, entonces las funciones se invierten, y la Escritura debe ser reinterpretada para concordar con el libro de la naturaleza (de la razón). De lo contrario, advirtió Galileo, se nos pedirá que creamos algo que es manifiestamente por Dios matemático como falso, lo que traerá el ridículo y el descrédito sobre la Iglesia. Esto, insistió Galileo, fue precisamente por lo que la Iglesia debería aceptar el modelo de Copérnico. Podía probar, insistió, que la Tierra y los planetas giran alrededor del Sol, y la Iglesia solo se desacreditaría contradiciendo la verdad manifiesta en el lenguaje de Dios.

La comprensión tradicional de la Escritura debe ser reemplazada por interpretaciones que sean consistentes con la verdad científica, argumentó Galileo, e incluyó sus propias lecturas de pasajes bíblicos críticos para demostrar que eran perfectamente consistentes con Copérnico. Bellamente escrita y persuasiva la carta de defensa a Copérnico, Galileo  finalmente desató la ira de la autoridad religiosa del siglo XVII que no estaba dispuesta a ceder. En abril de 1615 el cardenal emitió un dictamen sobre la obra, al modo de invitar a Galileo a retroceder. La iglesia alegó que no es que Galileo tenga razón sobre reinterpretar las Escrituras, es solo que el hombre no alcanza la sabiduría de Dios para leer, no es que sean falsos sus dichos. La prueba de Galileo basada en el flujo de las mareas, era débil y como algunos contemporáneos señalaron, faltaban más evidencias. En 1616 la Iglesia recibió un mandamiento judicial de prohibición, el cual lo llevó ante la Santa Inquisición dieciséis años después^[15].

En 1621 Cavalieri sugirió, que a partir de una figura en el plano y dibujada una línea recta dentro de ella, que luego dibujamos todas las líneas posibles dentro de la figura que son paralelas a la primera^[16]. En ese caso llamó a las líneas dibujadas “todas la líneas” de esa figura del plano. Del mismo modo dado un sólido tridimensional, todos los planos posibles dentro de un sólido que son paralelos a un plano dado son “todos planos” de ese sólido. Es permisible, pregunta Galileo, equiparar la figura del plano con “todas las líneas” de la figura y el sólido con “todos los planos”. 

La pregunta de Cavalieri parece simple, pero va directamente al corazón paradójico de lo infinitamente pequeño. En un nivel intuitivo, el plano parece estar compuesto de líneas paralelas y un sólido de planos paralelos. Pero Cavalieri señala líneas paralelas a través de cualquier figura y un número infinito de planos a través de un sólido, lo que significa que el número de todas las líneas o planos es simple infinito^[17]. Ahora, si cada una de las líneas tiene un ancho positivo, por pequeño que sea, entonces un número infinito de ellas se sumará a una figura infinitamente grande, no a la que comenzamos. Pero si las líneas son del ancho de un punto, no tienen ancho o son cero, entonces cualquier acumulación tendrá que ser cero y magnitud cero, y nos quedamos sin figura en lo absoluto. El concepto de punto es recogido de Elementos de Euclides, en él es un lugar sin dimensiones espaciales. 

Cavalieri preguntó, ¿es posible comprar todas las líneas de una figura con todas las líneas de otra? Esto, señala en su carta, implica comparar un infinito con otro, un movimiento que estaba estrictamente prohibido por las reglas tradicionales de las matemáticas de la época. Esto se debe, a que según el axioma de Arquímedes, dos magnitudes tienen una relación si y solo si se pueden multiplicar la magnitud más pequeña tantas veces que será mayor que la magnitud más grande. Esto, sin embargo, no es el caso de las infinidades ya que, por muchas veces que uno pueda multiplicar el infinito, siempre se llega al mismo resultado inmutable: infinito. 

Desafortunadamente no tenemos la respuesta de Galileo a su joven colega, ya que solo un lado de la correspondencia ha sobrevivido a la Santa Inquisición. Cartas de Cavalieri  en los meses siguientes sugieren que Galileo al menos, impulsó a Cavalieri para continuar sus investigaciones. Esto es probablemente lo que Cavalieri necesitaba. Ya para 1604, mientras trabajaba Galileo en cuerpos que caían, había experimentado con la noción de que la superficie de un triángulo, representaba la distancia recorrida por un cuerpo, estaba compuesta por un número infinito de líneas paralelas, cada una representaba la velocidad del cuerpo en un instante dado. En su última gran obra, Galileo en “Discursos y Demostraciones Matemáticas” relacionó dos nuevas ciencias que vendrían, la lingüística y la lógica. Durante sus largos años de arresto domiciliario en 1633, clandestinamente envió el texto a Holanda, donde fue publicado^[18]. 

Discursos, fue una obra sobre el sistema de Copérnico y el trabajo que lo llevó a juicio y condena por parte de la Inquisición. Escrito en forma de diálogos, discute la cohesión de cuerdas, maderas y metales, sobre que fuerzas mantienen unidas a las fibras, fuerzas muy notables. Compuestos por un infinito número de átomos invisibles e indivisibles. Separarlos es un número infinito de espacio vacío infinitamente pequeño. El vacío en estos infinitos espacios es el pegamento de fuerzas que mantienen unidos a los objetos y es responsable de su fuerza interna. Esta fue la teoría de Galileo que explica la materia, como él mismo admitió, fue difícil apropiarse de cantidades finitas de materia de un número infinito de átomos y un número infinito de espacios vacíos. Para probar esta idea regresó a las matemáticas. Galileo llegó a una conclusión, una línea continua se compone de un número infinito de puntos indivisibles separados por un número infinito de espacios vacíos minúsculos. Este apoyó la teoría de objetos materiales unidos por el vacío que los impregna^[19]. 

Proporcionó una nueva visión de ver a un punto, como un lugar con dimensiones infinitas positivas y no cero, , es decir, Galileo regresó a la geometría al espacio real donde no hay distancias negativas y expresó un punto como un lugar con dimensiones infinitas no cero^[20]. Galileo nos regaló salir del error de Euclides de considerar un punto como un lugar sin dimensiones, revolucionó la idea de materia y abrir la imaginación para investigar los átomos y las fuerzas que los unen en los vacíos. Para Galileo el continuo matemático se modeló en la realidad física. Es resultado de la pregunta que le planteó Cavalieri en 1621, y que este joven monje no se desanimó, haciéndose del coraje intelectual. Galileo en la década de 1620 tomó la idea de lo infinitamente pequeño y la convirtió en una herramienta poderosa matemática que llamó el método de los invisibles^[21].

Cavalieri publicó “El espejo ardiente” en 1632, “Geometría de los invisibles” en 1635, “Seis ejercicios geométricos” en 1647; logrando reputación como matemático y el honor principal de defensor de los infinitesimales creados por Galileo. Cavalieri describe las figuras del plano como concebidas como hilos paralelos y a los sonidos como libros de láminas infinitas^[22]. Estas rebanadas equivalen a las partes más pequeñas, equivalentes a los átomos de Galileo llamados indivisibles. 

La demostración del paralelogramo de Cavalieri mostró que su método de indivisibles funcionaba, pero no había ninguna ventaja para adoptarlo. Todo lo contrario, ofreció una larga y enrevesada demostración de un teorema que podría demostrarse utilizando en enfoque de Euclides tradicional. Pero si demostró la fiabilidad de hacer cálculos en el infinito de los indivisibles^[23]. La tensión interna dentro de la obra de Cavalieri viene a través de una carta que escribió al envejecido Galileo en junio de 1639, en ella compara a Galileo con el poeta Horacio, “que fue el primero en atreverse a navegar en la inmensidad del mar y sumergirse en el océano solo escoltado por la geometría y su genio supremo, logrando navegar fácilmente por el inmenso océano de indivisibles, de vacío, de luz, de otras cosas duras y distantes que podrían naufragar a cualquiera, incluso el espíritu más grande. Abrió el camino para nuevas cosas ya que los indivisibles de mi Geometría ganarán brillo de la nobleza y claridad de sus indivisibles^[24]”.

Aunque Cavalieri sugiere la verdadera composición del continuo matemático, como “todas las líneas”, asaltado por la crítica, llamó a su Geometría “Camino de indivisibles “en honor a Galileo y su libro sirve como base para los que siguieron este esfuerzo citando a los infinitesimales. No recibió nunca Cavaleri una formación educativa matemática formal, aún así, difundió  la tutoría a jóvenes matemáticos prometedores. 

En septiembre de 1632, Torricelli escribió a Galileo, presentándose como matemático de profesión. Le aseguró al maestro defender todas las oportunidades sobre el Discurso, con el fin de evitar la inquisición, trabajó en secreto. Pero fue el brillo de la obra de Torricelli lo que tuvo el mayor efecto en Galileo. Se impresionó, fue conmovido a pesar de que no tenía mucho tiempo de vida. Junto con Torricelli idearon escribir diálogos, pero en los primeros días de 1642, Galileo con un débil corazón y envejecido, el 8 de enero a la edad de setenta y siete años suspiró sus últimas palabras. Torricelli impactado regresó a la Universidad de Pisa convencido de elevar el legado de Galileo en la juventud^[25]. 

Torricelli se presentó como estudiante de Galileo. Y dentro de su tratado “Dimensiones de la parábola”, desarrolla el método a otro nivel de los indivisibles. Trató de ofrecer novenos de veintiún demostraciones de que este método podría calcular que el área de una parábola es cuatro tercios del área de un triángulo con la misma base y altura. 

Contrastó los métodos clásicos tradicionales de demostración Euclidianos con las nuevas demostraciones por indivisibles, mostrando así la superioridad del método en curvas. Este método de los indivisibles, según Torricelli, era innumerablemente mediante pruebas cortas, un camino más elegante que el “matorral” de las matemáticas antiguas y despierta con esta maravillosa invención de los indivisibles de Galileo y Cavalieri, un espacio de conocimiento geométrico sin precedente en el florecimiento de un nuevo cálculo, con el rigor de la tradición deductiva Euclidiana.

John Wallis e Isaac Barrow 1630-77, en Inglaterra y Gottfried Wilhelm Leibniz en Alemania 1646-1716, todos afirman haber estudiado a Clavalieri y Galileo en las versiones de Torricelli^[26]. Más tarde estos actores siguieron el ejemplo de demostración de premisas en los indivisibles de Torricelli. 

Torricelli demostró el uso matemático de este método, calculando tangentes de una clase de curvas que llamó parábolas infinitas. En década de 1640, Pierre Fermat correspondió al esfuerzo de Torricelli y, Wallis y Barrow erróneamente lo atribuyeron a Cavalieri. La promesa de los infinitesimales matemáticos pronto abriría paso a la física un titán del pensamiento. Una generación más tarde, su método de indivisibles, se transforma en el método de fluxiones de Newton y el método diferencial e integral de Leibniz. 

Esto desató una guerra con los jesuitas, que consideraron a la geometría Euclidiana como la encarnación del orden de Dios. Sus demostraciones son universales, absolutas y no pueden ser negadas por ningún ser racional. El elegido para esta guerra fue Father Clavius matemático de los jesuitas. Y durante los siguientes años, se aseguró de correr la voz que el método de indivisibles es solo de aproximación y no uno exacto, como sello inconfundible de la escuela matemática jesuita. En otras palabras si la matemática era de arriba a abajo geometría, el método de los indivisibles era de abajo hacia a arriba geometría, es decir, la teoría de números, el álgebra y la geometría se fusionaron para crear el cálculo moderno^[27]. Los jesuitas consideraron, que si los infinitesimales prevalecieran, parecería que los eternos postulados y axiomas de Euclides no eran más que un caso intuitivo de muchas otras geometría, álgebras y números. Tacquet no exagera cuando considera que los indivisibles deben ser destruidos porque separan al hombre de razón, del hombre de religión, de tal manera, cuando los jesuitas se enfrentan con Martín Lutero por la batalla del alma de Europa, esto demolió los argumentos que dejó a Aristóteles, por una matemática radial con implicaciones más subversivas que las descritas por Galileo. Sus técnicas matemáticas no dejaron espacio para el retorno de la filosofía natural de Aristóteles y Platón resurgió con fuerza con la idea de objetos platónicos, hoy llamados abstractos o sintéticos. El Colegio Jesuita Romano jugó con todas sus piezas intelectuales tratando de estar activos en la política que según ellos siguió un destino desastroso al divorciar al hombre de razón científica, del hombre de razón religiosa. El profesor Santarelli del Colegio Romano, escribió una enérgica defensa del poder Papal para castigar estos crímenes de la nueva ciencia que explora los infinitos y en el libro de Ballarmine los jesuitas fueron prohibidos de enseñar en Francia y esta crisis diplomática estalló contra el Vaticano para bajar los brazos, pero no antes el parlamento francés indignado sació su furia quemando los libros jesuitas en especial el de Santarelli. El libro condenado a las llamas, denunciado por la Facultad de la Sorbona y otras universidades, fue suficiente para que se sembrara lo que sería más tarde la Ilustración. Para Galileo y Copérnico no pudo ser peor época para nacer, pero les formó el carácter intelectual que a la postre abriría que las universidades ganaran su derecho a la libertad de conciencia y su autonomía para desarrollar el pensamiento científico, técnico, artístico, humanista, matemático…, sin el visto bueno Papal y sin la intervención del Vaticano en la validación de la evidencia. Las matemáticas dejaron de ser jerárquicas, la figura de la demostración constructiva, fue el nuevo núcleo de crear cosas abstractas soportadas nada más en la razón. Para los jesuitas matemáticas así fueron lo peor en lo absoluto, “desconectándose” de lo natural intuitivo Euclidiano. El sueño jesuita de jerarquía matemática como verdad desde la geometría estaría condenado al olvido. Torricelli se consideró a si mismo heredero a hombros intelectuales de Galileo. 

Mientras que Descartes desarrolló el pensamiento objetivo de la filosofía moderna descansando en la lógica formal clásica; Galileo (1564-1642) creó la moderna revolución científica apoyada en la geometría de Euclides y los indivisibles e infinitesimales. Formulando leyes matemáticas para la naturaleza y, es precursor directo del pensamiento infinitesimal que impulsó a Newton (1643-1727) en sus leyes del movimiento y la gravitación. Su defensa de la visión de Copérnico de colocar en el centro al Sol y, a los planetas girando a su alrededor, ocasiona que la Iglesia censure y lo persiga, encarcelando en su domicilio hasta la muerte. Lo que tal vez menos se comenta de Galileo, es que también fue un filósofo de los más grandes pensadores de la historia. Hay al menos dos aspectos de rebeldía intelectual en los que su contribución a la revolución científica fueron determinantes. El primero, Aristóteles se adhirió a la visión ptolemaica del universo, según la cual la Tierra estaba en el centro del universo, con las estrellas y planetas orbitando a su alrededor. Segundo, la teoría aristotélica era teológica, donde los objetos inanimados tenían metas incorporadas que explicaban su movimiento. La materia cae al suelo porque tiene como objetivo volver a su hogar natural en el centro del universo, mientras que el fuego se eleva porque su hogar natural está en los cielos. 

Galileo asume como falsa la visión de Aristóteles, particularmente a través de la observación de los cielos con la ayuda del telescopio. Sin embargo, es crucial notar que Galileo logró rechazar de la visión de Aristóteles, esto a través de la observación y el experimento, y no solo bajo el argumento filosófico puro. El carácter intelectual de Galileo para abordar la idea intuitiva de Aristóteles, de que los objetos caen más rápido si son más pesados, argumento que duró miles de años por ser “lógicamente coherente”, esta pereza en el hombre ante lo inmediato, en rebeldía Galileo, abrazó el método de Copérnico de justificar el pensamiento con observaciones y experimentos, que hasta el día de hoy subyace a nuestra imaginación científica del universo. Lo que hace el estilo de pensamiento de Galileo revolucionario, es que dota al problema de hacer ciencia, con el estilo de la conciencia referida a datos y razonamientos deductivos para llegar a mejores razonamientos científicos. 

La especulación filosófica bajo el método de discusión a la luz de la lógica clásica, está en un error, por dos vías, una que considera solo la existencia de una lógica y no muchas lógicas; segundo, olvida que estas lógicas no todas ellas están presentes en la naturaleza en el modo intuitivo, la mecánica cuántica es un buen ejemplo de ello. 

Una de las más significativas contribuciones de Galileo a la revolución científica es la declaración radical de 1623 de que las matemáticas deben ser el lenguaje de la ciencia^[28]. 

Dice Galileo: “La filosofía natural que está escrita en este libro, el universo, que se abre continuamente a nuestra mirada, no se puede entender a menos que uno aprenda primero a comprender el lenguaje y los números en que está escrita. Está escrita en lenguaje matemático, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras…, sin las cuales conectas a las observaciones y experimentos … es humanamente imposible entender una sola palabra de ella, sin estas, uno vaga por ahí en un laberinto oscuro^[29]”. Hoy esta filosofía natural la llamamos ciencias físicas, químicas, biológicas… 

¿Por qué los pensadores anteriores a la revolución científica no habían enmarcado sus teorías de la naturaleza en lenguaje matemático? Hay dos respuestas en occidente, una que los filósofos consideraron el acceso a la naturaleza, con solo cualidades sensoriales como colores, sabores, gustos y sonidos. La segunda, que la religión influyó en mantener el divorcio entre el mundo matemático y el conocimiento de la naturaleza como una forma de no cuestionar sus Escrituras. Los lenguajes humanos naturales como el italiano, el inglés, el francés…, podrían capturar todo lo cualitativo de la naturaleza, y el mundo matemático podría volverlos o degradarlos en su poesía si lo hace puramente cuantitativo. 

Pero si las matemáticas no pueden capturar la belleza de la naturaleza sensorial de la materia, entonces las matemáticas serán incapaces de describir completamente la naturaleza. Esto plantea para Galileo en su “Libro de el universo^[30]”, ¿si es posible escribir en matemáticas completamente la realidad?

Galileo resolvió este problema con una reinvención radical del mundo material. Todo en el fondo son indivisibles  que están en:

El espacio 

Tienen forma

Están localizados en el tiempo y el espacio 

Presentan movimiento

Por lo tanto, Galileo ve la realidad sin las  ideas modernas, como el concepto de fuerza, energía, momento…, pero esto no limita que se abra a la gran complejidad involucrada en la disposición y la relación entre estas partes. Pero la noción de punto es crucial, dado que deja de lado la idea de Euclides de lugar sin dimensiones y lo consideró al punto un lugar con dimensiones infinitesimales. Galileo no creía que pudiéramos transmitir lenguaje matemático sobre las ideas sobre los colores, que años después Fourier lo haría con asombroso éxito, pero conocía el logro de Pitágoras de transformar la música en matemáticas. Él hace énfasis en el estudio del espacio material, estableciendo el criterio de que no hay distancias negativas y que todo en él tiene dimensiones espaciales. Y en principio consideró construir modelos matemáticos para el movimiento relativo a un punto de referida u origen dentro de todo sistema geométrico. Forma, movimiento, ubicación y los indivisibles fueron el modelo de realidad de Galileo para describir por completo su universo. Galileo en su trabajo dejó constancia de separar las apariencias creadas por lo sensorial, y hacer consciencia de las cosas del mundo observándolas con las matemáticas y los datos experimentales.

Así, el universo de Galileo se dividió en dos tipos radicales diferentes de entidades. Por un lado, hay objetos materiales, que solo tienen forma, tamaño, ubicación y movimiento. Por otro lado, hay almas que los disfrutan en una rica variedad de sus patrones matemáticos, y es la conciencia de lo sensorial la respuesta al mundo, no lo que es el mundo. Y el beneficio de esta imagen del mundo material, captura por completo el lenguaje matemático, no dejando espacio para Dios y en su lugar identificando las ecuaciones fundamentales de la realidad. Este fue el nacimiento de la física matemática que hoy nos sorprende con sus predicciones asombrosas de ondas de gravedad, agujeros negros, entrelazamiento cuántico…

Al apreciar esta división radical, podemos ver que Galileo y Hawking compartieron algo en común, la idea de que el universo no necesita a Dios para existir. La ciencia física, para Galileo, se limitaba a describir solo el mundo material, pero su vocabulario fue y es ahora mismo el que captura la revolución científica que se adentra en los criterios ontológicos y en el arte de pensar epistémico. 

El hecho que Galileo pensara en la física como incapaz de estudiar los olores y los colores, no significa que estuviera en lo cierto. Tal vez el método científico que Galileo trabajó la existencia, es más poderoso de lo que el mismo imaginó. Es cierto que Galileo reconoció estar equivocado, pero sus reflexiones sobre los orígenes de la ciencia física son argumentos que sugieren que el todo y la nada son parte de esta realidad asombrosa.

Las ciencias Físicas son extraordinariamente exitosas por confiar en las matemáticas y la filosofía pagó caro salirse de este terreno. Tenemos que tener en cuenta que su éxito comenzó cuando Galileo tomó las cualidades sensoriales (sonido, olor, color) en su dominio de investigación, reinventando formas de conciencia matemáticas. El hecho de que la ciencia se liberara en las universidades de la religión, nos hace pensar que Galileo tendrá éxito por siempre al heredarnos el estilo de conciencia como forma de cálculo matemático. 

Considere que un trabajo universitario tiene tres componentes típicos, la docencia, la investigación y la administración en la época de Galileo. Las habilidades que hacen que uno sea bueno en investigación son muy diferentes a las de la enseñanza o la administración. Resultó que Galileo y sus contemporáneos pusieron la jerarquía moral, el criterio superior de educar a la juventud antes que los otros dos criterios. Le debemos a Galileo su tenacidad y humildad para escuchar las ideas de la juventud y atender en discusión honesta los horizontes de estas ideas. Tristemente ahora mismo esto en la universidad ya no existe en nombre de crear competencias laborales antes que intelectuales inscritas en la tradición científica de su revolución exitosa desde Galileo. Baste con el hecho del éxito de la Física de los últimos 500 años para que las ideas de Galileo tengan un lugar en la tradición intelectual de la educación moderna. Aprender a pensar y aprender matemáticas, deberían ser parte del mismo objetivo de formación de la juventud.

Si bien el desarrollo de un nuevo método filosófico revolucionario de la ciencia permite averiguar con que realidad lidiamos, admite que sentados a contemplarla (pensarla) no nos deja progreso, Galileo nos invita a que observemos los datos y los experimentos a la luz de las matemáticas, el nuevo desarrollo lo catapulta dentro del arte de aprender a pensar justificando, demostrando, explicando, calculando categorizando y narrando los hechos. Quizá el error de Galileo fue considerar que en la mente del científico, la razón no estaba flanqueada, corrompida por las emociones humanas. Pero además, es claro que Galileo consideró que estudiar la propia conciencia matemática del hombre, era un asunto que la ciencia no podría adentrarse a dar conocimiento. Otro error es considerar que los que no hacen uso de esta conciencia matemática no están pensando en esencia. Los poetas crean sus propios de estilos de pensamiento, y muchos de ellos no son matemáticos, sin embargo, son válidos y valiosos para enriquecer la vida humana. Aún hoy, muchos graduados del posgrado cometen este terrible error de Galileo, asumiendo que las otras formas de arte, distintas al arte de pensar lo científico, no le aportan riqueza a sus vidas.

En esta historia hay mucho por investigar, pero hay algo muy claro también, la cuestión de género. La marginación de las mujeres en la Iglesia Católica Romana, también se traduce en la revolución iniciada por la generación de Copérnico, Galileo, Kepler, Newton, Hobbes…, una clara división entre hombres y mujeres para ser educados en la ciencia. Este tema es necesario tomarlo desde la biología del cerebro, para desmitificarlo y traer como dijo Hobbes, justicia de la mano de la más rigurosa racionalidad que permita la conciencia matemática.

0.3.2 En el amor por la geometría: Thomas Hobbes

Aparece en escena Thomas Hobbes, en las matemáticas como una cosa de leyenda. Después de haber estudiado matemáticas en Oxford, se encontró accidentalmente a los cuarenta años, mientras visitaba Ginebra. Al estar en la biblioteca, encuentra un libro abierto, los Elementos de Euclides, en el teorema número 47 en el primer libro^[31]. Esto, como cualquier educado en matemáticas clásicas sabía, era el teorema de Pitágoras, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de sus dos lados. Hobbes leyó la proposición, “dijo es imposible”, continuó leyendo la demostración que lo llevó a otra proposición, y esta a otra, hasta que lo devolvió a la proposición inicial^[32]. Esto hace que Hobbes se enamore de la geometría.

En los años siguientes, Hobbes trabajó duro para compensar su comienzo tardío en el campo. En la década de 1640 estaba en contacto regular con algunos de los matemáticos más importantes de la época, incluyendo Descartes, Roberval, Fermat y, cuando el geómetra inglés John Pell cayó en disputa con su colega danés Longomontanus, consideró a Hobbes suficiente autoridad para buscar su apoyo público^[33]. Cuando Descartes murió algunos años más tarde, el cortesano francés Samuel Sorbiére lo elogió como uno de los más grandes matemáticos del mundo, junto con Reberval, Bonnel y Fermat^[34]. Sorbiére provocó que Hobbes fuera nombrado tutor de matemáticas del príncipe exiliado de Gales y fuera un matemático respetado^[35]. 

¿Por qué Hobbes estaba tan ocupado con las matemáticas? En la geometría, cada resultado se basa en otro, más simple, por lo que uno puede proceder, paso a paso adelante en el paso lógico, comenzando con verdades evidentes y moviéndonos a otras cada vez más complejas. Para cuando un lector alcanza algunos resultados verdaderos inesperados, como el teorema de Pitágoras, está demostrando convencimiento de esa verdad. Esto, para Hobbes fue un logro increíble, encontró que aquí había una ciencia que realmente podía probar sus resultados, sin dejar una sombra de duda sobre su veracidad. En consecuencia, lo consideró la única ciencia que ha complacido a Dios hasta ahora otorgada a la humanidad, y el modelo adecuado de proceder de un razonamiento para todas las ciencias. Todas las ciencias, creía Hobbes no puede en ellas haber certeza de la última conclusión, son el apoyo de un proceso deductivo de afirmaciones y negaciones en las que fundamentada e inferida, como la geometría, señaló Hobbes, ha alcanzado un nivel de certeza sistemática^[36]. 

Durante la mayor parte de su historia, Hobbes explica al conde Devonshire, el mundo no había conocido casi ninguna filosofía. Es cierto que los antiguos hicieron grandes avances en geometría y, más recientemente hubo algunos pasos importantes hacia adelante en la filosofía natural, gracias a Copérnico, Galileo, Kepler y otros. En cuanto al resto de la filosofía, él consideró que Platón y Aristóteles hasta el presente, fue peor que inútil. La humanidad cayó en la inmundicia, en lugar de enseñar a encontrar la verdad, se enseñó a la gente a buscar lujosamente una vida. Esto acusa Hobbes, la filosofía natural es joven y no data más allá de Copérnico. La estrategia de Hobbes, como él dijo: “me vengaré de la envidia al aumentarla”. La respuesta a través de la geometría. La razón por la que los filósofos del pasado habían fracasado fue que se basaron en métodos de razonamientos corrompidos por el misticismo religioso. Enseñaron disputas en lugar de sabiduría, Hobbes acusa, determina sus preguntas en medio de sus fantasías en lugar de traer paz y unanimidad fomentada con la razón. La geometría en cambio obliga a dedicación para los atentos lectores en las demostraciones matemáticas y ellas extienden este estilo de pensar a toda la sociedad, alejando del hombre el miedo y dotándolo de indiscutible razonamiento para su desarrollo en paz. Hobbes creía que si seguía plenamente el método del sistema de pensamiento geométrico, pasar de lo simple a lo complejo, el hombre, podría dominar la naturaleza del espacio, la física, la astronomía…, y al final de esta cadena de razonamientos, alcanzaría la justicia y la correcta organización del Estado. 

Si toda la filosofía de Hobbes se estructuró como un gran edificio geométrico, esto era particularmente cierto en su teoría política. Esto se debió a que el estilo de pensamiento de la Geometría, enteramente creado por humanos y no por la Escritura, los hombres plenamente podrían demostrar el dibujo del razonamientos por ellos mismos y darse cuenta de lo verdadero. Nuestro conocimiento de cómo crear un Estado ideal es, afirma Hobbes, igual que nuestro conocimiento de cómo crear la verdad geométrica. En Leviatán, Hobbes puso en práctica este principio, creando lo que él creía que era una teoría política perfectamente lógica cuyas conclusiones eran que todos los aspectos de la vida social debían en cada hombre poder ser evaluados a la luz del razonamiento deductivo.

No eran solo los principios generales de la certeza geométrica de la demostración. Las leyes reales del hombre para gobernarse debían ser revisadas por la lógica ineludible al modo de un teorema geométrico. Mantener la comunidad, es la habilidad de ser una justicia que defiende lo correcto desde un razonamiento riguroso. 

Para los jesuitas Hobbes fue un materialista sin Dios y un hereje, un enemigo de la Iglesia Católica cuyos libros deberían ser prohibidos. Separar al Estado de la Iglesia, Hobbes lo consideró un asunto de resolver el gobierno dentro del más estricto razonamiento de sus decisiones y dejando al individuo el poder de evaluar que esas razones sean las más correctas. Hobbes contestó a los jesuitas, su objetivo, sostuvo, era tener atemorizados a los hombres y al asustarlos garantizar su obediencia a las leyes irracionales de un poder egoísta. El sueño jesuita de una Iglesia universal y toda poderosa gobernada por un solo hombre, el Papa, era para Hobbes la más oscura de las pesadillas de la humanidad^[37]. 

Para Hobbes, solo ciudadanos formados en el espacio de significado matemático de la geometría estaban capacitados intelectualmente para defenderse de los enemigos de la democracia y la libertad. La geometría euclidiana, según Clavius era un modelo correcto de pensamiento lógico, que aseguraría el triunfo de la Iglesia romana y el establecimiento del reino cristiano universal en la Tierra, con el Papa en su cúspide. El estado Leviatán de Hobbes era en muchos sentidos exactamente este, pero además gobernado por magistrados cívicos que encarnaban la voluntad del pueblo de autogobernarse. Pero en su profunda estructura, el reino jesuita, en mancomunidad con los magistrados, el nuevo estado también resultó jerárquico y absolutista de un solo hombre, rey presidente, rector, magistrado…, ambos con legitimidad religiosa y legal. Ambos se basan para Hobbes en el mismo andamiaje intelectual de garantizar su jerarquía fija y estabilidad heredable eterna como la geometría euclidiana. 

Hoy en día, la geometría euclidiana es solo una área estrecha  definida de las matemáticas intuitivas, aunque una con un pedigrí extraordinariamente largo en el tiempo. No solo es uno de los muchos campos de las matemáticas, sino uno que también, desde el siglo XIX, solo es uno más en el infinito de posibilidades de geométrias y álgebras. Si bien se enseña en la secundaria por tradición, en la universidad moderna se piensa como anclaje histórico y un poderoso punto de partida para el cálculo computacional moderno. En particular para entrenar el pensamiento deductivo riguroso. Más allá de eso, es de poco interés para la práctica moderna de la ciencia, la ingeniería, e incluso del arte que prefiere mundos más abstractos de posibilidad estética. 

Para Clavius, Hobbes y sus contemporáneos Galileo Galilei, René Descartes, Thomas Harriot, Henry Percy, William Ousghtred, Francis Bacon, Gutenberg, Henry Briggs, Leonardo da Vinci, John Locke y otros renacentistas, rompen el camino de hasta entonces marcado por la Iglesia Romana. El primer paso de la razón en este camino, es para Platón y Aristóteles; el segundo paso para Copérnico, Galileo y Kepler. Pero este tercer paso, sin duda Clavius lo considera una herejía con consecuencias no imaginadas para el poder de la Iglesia Católica Romana. Como ciencia de la razón, la lógica debe aplicarse a cualquier campo en el que el caos amenace con eclipsar el intelecto y en su lugar imponer el misticismo y el gobierno del miedo. Todo lo que necesitaba Hobbes era utilizar el método en los campos como la política, la administración de gobierno y la justicia, y remplazar el caos de la injusticia, por la paz y el orden científico en la lucha por el progreso ético.

La geometría euclidiana llegó asociarse así con una forma particular de organización social y política, que incluso fue el cimiento de la potencia que imaginó Abraham Lincoln, quien ejercitaba las demostraciones de Euclides buscando que le hicieran más racional y llevando la bandera de: “aquellos que niegan la libertad a otros, no la merecen para sí mismos^[38]”.

Hermosa y poderosa como era, la geometría euclidiana no estaba libre de defectos, como Hobbes descubrió para su consternación cuando comenzó a estudiar a fondo el tema de Pitágoras con . Con el fin de asegurar los cimientos de su teoría política, Hobbes se propuso resolver los tres problemas clásicos sobresalientes de la geometría. Inicialmente parece haber creído que esto no debería ser demasiado difícil. Seguramente, pensó, al igual que había corregido errores de todos los filósofos del pasado, también podía corregir el pasado de la geometría. Y tal vez pueda ser excusado por su optimismo injustificado, porque parte de la razón parecía engañosamente simple. La cuadratura del círculo, significa construir un cuadrado igual en el área de un círculo dado; la trisección del ángulo significaba dividir cualquier ángulo dado en tres partes iguales; otro caso, la duplicación del cubo significa construir un cubo del doble del volumen de un cubo dado unitario. ¿Qué tan difícil podría ser resolver esa pregunta? Resulta que es muy difícil. De hecho, imposible. 

El área del cuadrado y del círculo unitario es el número pi^[39].

¿Por qué los matemáticos no habían cuadrado el círculo a pesar de los repetidos esfuerzos durante miles de años? Hobbes sospechó que la razón es que eran problemas clásicos insolubles, esto hacía no ver a la geometría como perfectamente conocida, y por lo tanto solo podía haber una respuesta, los matemáticos estaban trabajando a partir de suposiciones erróneas. Hobbes escribió que el conocimiento científico al igual que una planta: “el crecimiento y la ramificación no es más que la generación de la raíz continua^[40]”. Según Hobbes es que Euclides trabaja con definiciones abstractas y no se refieren a nada del mundo. La definición Euclidiana para un punto es de un lugar sin partes, la definición de una línea es que no tiene anchura y solo longitud. Pero, esto significa disponer de un lugar sin dimensiones, entonces un punto es nada e igual que sumar línea tras línea un sólido pareciera no ser nada. No hay por tanto referencia con el espacio del universo material. Hobbes creyó que solo lo que hay en el mundo es materia en movimiento, que es todo lo que existe además del espacio, él intenta definir la geometría en cosas que existan en nuestro mundo. 

Así las cosas, la reforma de Hobbes no cambió en nada el problema de la cuadratura del círculo. Pero si abre lo necesario para que los infinitesimales sean los nuevos puntos en el espacio geométrico.  

Para hacerse una idea de por qué cuadrar el círculo es una tarea desesperada, considere un círculo con radio r. Como todo estudiante sabe, el área de tal círculo es . En consecuencia, el lado de un cuadrado cuya área es igual a un círculo es, o más simplemente . L magnitud de r se dio en el problema, y podemos suponer por el bien de la conveniencia que sea r=1. Todo lo que queda es construir una línea con la longitud de y para cada lado. Y eso, como resultado, es imposible. La razón, como descubrieron los matemáticos del siglo XVIII, es que las construcciones geométricas clásicas euclidianas pueden producir magnitudes algebraicas, es decir, magnitudes que son raíces de alguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Tomó otro siglo, pero 1882, el matemático Ferdinand  von Lindermann demostró que no es un número algebraico, sino más bien un nuevo tipo de números que llamó “trascendental”, porque no es la raíz de ninguna ecuación algebraica. Por lo tanto, una línea de longitud no puede ser construida por un compás y regla numérica, y así, la cuadratura del círculo es imposible. Todo esto, sin embargo, estaba a siglos de distancia de Hobbes, él no sabía sobre números algebraicos y trascendentales, murió creyendo que solo era necesario modificar los axiomas de Euclides.

0.3.3 La educación puritana 

Un joven clérigo en Londres, mientras Hobbes en París en la lucha política. Londres tomó nota de la pregunta de este joven John Wallis. ¿Cómo sabemos lo que sabemos y cómo podemos estar seguros de lo que sabemos es verdad? Un conocimiento especulativo subrayó el clérigo, escribió en Verdad probada, “se encuentra incluso en los demonios” exactamente en la misma medida que se encuentra en los “santos de la Tiara”. Esto, explicó, se debe a que incluso los demonios son criaturas racionales, y pueden seguir un argumento lógico, así como a los hijos de Dios. Sin embargo, existe una forma superior de conocimiento: conocimiento experimental, que es de otra naturaleza. Con este tipo de conocimiento no solo sabemos que es así, sino probamos ver que es así. A diferencia de las creencias basadas en la especulación teórica, las verdades claras y sensibles… revelan el alma, no parece ser un poder de la voluntad que se refleja.

Así argumentó John Willis, entonces solo tenía veintisiete años, y solo unos años se apartó de sus días universitarios en Cambridge. Es muy probable que nunca hubiera oído hablar de Thomas Hobbes, el hombre que se convertiría en su obsesión en años posteriores, pero que entonces era solo un oscuro retenedor de la familia Cavendish con pretensiones filosóficas. No hace falta decir que Hobbes nunca había oído hablar de Wallis. Sin embargo, años antes de que ambos se lanzaran a la guerra que duraría un cuarto de siglo, el marcado contraste entre ellos ya estaba en evidencia. Hobbes sostuvo que el verdadero conocimiento comenzó con definiciones apropiadas y procedió por un razonamiento estrictamente lógico: con rigor. Wallis creía que tal conocimiento pertenecía al demonio tanto como a Dios. Wallis sostuvo que la forma más alta de conocimiento se basa en los sentidos, e incluso invirtió en probar la verdad^[41]. Hobbes despreciaba tal conocimiento sensual, considerándolo poco confiable y propenso a errores. Solo en una cuestión los dos parecían estar totalmente de acuerdo: que las matemáticas son la ciencia de la razón correcta y ciertos conocimientos deben servir como modelo para todos los campos del conocer.

El interés de Hobbes por las matemáticas no es sorprendente, ya que al igual de Abraham Lincoln, consideró que era el núcleo filosófico y político de una sociedad con justicia basada en la verdad de la razón. En 1643 ya era geómetra de cierta reputación y su estrella matemática seguiría brillando durante algún tiempo. Pero Wallis, en el mismo año, no era un matemático en lo absoluto, sino más bien un clérigo influido en secreto por la obra de Galileo. De allí que consideró que el conocimiento experimental como el más seguro, pero ¿donde dejó a las matemáticas? Ciertamente, las opiniones que Wallis expresó a los veintisiete años no parecen un punto de partida prometedor para una carrera en matemáticas. Sin embargo, pasarían unos años para que fuera nombrado con prestigio en Europa. Wallis escribió extensamente sobre matemáticas y fue el autor de mundos sermones religiosos a lo largo de los años, que nunca reclamó el cobijo filosófico. Para reunir sus puntos de vista sobre el orden político, Wallis  dice, necesitamos ir más allá de su escritura personal y hacia el círculo más amplio en el que se mueve. En los días de universidad y en los primeros días de su rebeldía contra el rey, esto significó que a mediados de 1640, Wallis se convirtió en un miembro líder de un grupo diferente y mucho más diverso. Se reunía regularmente en casas privadas en Londres y Oxford a lo largo del “Colegio invisible”; en otra ocasión era la “Sociedad Filosófica”. En 1662 el monarca Carlos II, finalmente le dio un reconocimiento oficial, una carta y un nombre a su organización de intelectuales: la Royal Society de Londres.

Tres siglos y medio después de su fundación, la Royal Society es una de las instituciones científicas más importantes que el mundo haya conocido. Robert Boyle (1627-91), fue fundador también de la Royal Society y muy influyente entre los becarios. Isaac Newton (1643-1727), menudo considerado el primer científico moderno y fue presidente de esta Sociedad desde 1703 hasta su muerte en 1727. Antoine Laurent Lavoisier (1743-94) Fundador de la química moderna, fue becario extranjero y igual que Benjamin Franklin (1706-90). Charles Babage (1791-1871) diseñador de la primera computadora programable y presidente de la Sociedad de 1890 a 1895. Charles Darwin el padre de la evolución, Ernest Rutherford (estructura atómica), James Watson (ADN) Francis Crik (también ADN) y Stephen Hawking (Agujeros negros) eran o fueron compañeros del sueño de John Wallis. Esto no es más que una pequeña selección de los becarios más famosos, pero suficiente para hacernos de una imagen de la Royal Society de su contribución histórica a la ciencia moderna.

Wallis fue el único matemático entre los fundadores de la Sociedad, y por lo tanto le correspondió abordar el estado problemático de las matemáticas. Compartió plenamente el aborrecimiento del dogmatismo. Sus matemáticas, no se basaron en la geometría euclidiana, el gran edificador lógico de los renacentistas, su enfoque fue más bien para la Royal Society de tipo experimental. Si Wallis lo lograba, liberaría las matemáticas de su asociación dogmática y resolvería las objeciones de larga data. Sería una nueva matemática experimental poderosa y eficaz al servicio de la ciencia, pero sirviendo como modelo de tolerancia y moderación en lugar de rigidez dogmática, esto abriría la posibilidad de crear nuevas álgebras, geometrías y lógicas. Y en su esencia desde principio estaría lo infinitesimal y el infinito mismo. 

Wallis consideró que un plano al igual que Cavalieri y Torricelli, estaba formado por un número infinito de líneas apiladas una a una, no como el concepto abstracto de Euclides. Wallis inventó una etiqueta para marcar el números de infinitesimales que componen el plano y sus magnitudes, y . Con estas herramientas en mano, Wallis procede entonces a demostrar el poder de su enfoque probando un teorema del área de un triángulo. 

Sin duda el lector más importante de esta historia aquí discutida, fue Isaac Newton. Cuando Newton tenia veintitrés años, elaboró su propia versión de la matemática de infinitesimales (1665), la aritmética del infinito, fue su principal inspiración. 

0.4 El infinito 

Después de descubrir el número y desarrollar los sistemas numéricos, surgió una curiosidad de la civilización ¿cómo podía emplear la idea de número como estilo de pensar al mundo como algo numerable? Richard Feynman refirió a esta pregunta, del fondo de la respuesta a esta así nació el cálculo, como un truco para revelar el diseño de Dios de esta realidad. Tal vez, el diseño del universo alberga vida inteligente con la capacidad de observar su propia base axiomática que le permite poseer conciencia de sí. En cualquier caso, es un misterio que la naturaleza obedezca a los axiomas de nuestra razón, que además expresa su predictibilidad con cálculos de lenguaje artificial (matemático). 

Las ecuaciones diferenciales que son estructuradas con derivadas, integrales, funciones, infinitos, ceros, límites, espacios geométricos…, son infinitamente muy próximas a la coherencia con la realidad. Esta idea parte que algo así, es como revelar el diseño del arquitecto del orden de este universo. Donde las ecuaciones fundamentales son el sistema operativo donde corren otras arquitecturas matemáticas de la realidad, donde estas últimas son subyacentes al sistema operativo. Calcular es aprovechar esta propiedad que el orden matemático de la naturaleza expresa.

Las ecuaciones de Newton son un conjunto pequeño de ecuaciones diferenciales con simetrías en su contenido, con ellas la gravedad y el movimiento en la tierra y el mismo  universo quedó conectado como un patrón en el que se postula que todas estas matemáticas son válidas en cada uno de los lugares espacio-temporal de nuestra realidad. El cálculo se nos reveló como un lenguaje que fusiona las nociones de número, espacio geométrico, probabilidad, categorización y lógica como un poder de predicción. Lo hemos usado en el mundo ahora mismo para crear lo no dado en este universo, elementos químicos, anticuerpos, fármacos, música y toda clase de lo sintético. La habilidad de calcular se educa en los más jóvenes para que desarrollen el pensamiento profundo exigido por los secretos revelados de un Big Bang matemático.

¿Qué es el cálculo? Quizá es un habla del conocedor predictor, de la más avanzada experiencia matemática, entendido como el arte de modelar. La búsqueda de la existencia resulta la estimulación perfecta para el desarrollo del cálculo. El infinito como accesible espacio para realizar cálculos en sus fronteras, nos animó a grandes ideas en la aventura del cálculo. Si todo lo real en su diseño es un orden matemático, ¿cómo podremos saber las ecuaciones de diseño? 

0.4.1 Por favor si tienes miedo al infinito, esta lectura no es para ti

El infinito captura la fascinación de la humanidad por alcanzar a conocer, capturando con su imaginación algo tan monstruoso en su tamaño. El infinito es una cuenta numérica que parece imposible, un sueño de lo que el tiempo y el espacio pudieran ser. El infinito es una biblioteca con libros por escribir que resultan inesperados para dioses humanos jugando a fracturar lo imposible. El infinito es una secuencia de programación en un ciclo interminable de posibilidad eterna. Pero nuestra existencia es finita, nuestra capacidad neuronal es finita, nuestro mundo es finito, pero quizá habitemos una realidad circular en sus líneas de tiempo. Pero, un juego de trompos todavía ocurre en esa calle empedrada de mi pueblo en 1976 y ese sueño con nuestra primera musa en la escuela secundaria, significa que el flujo de la historia persigue pasos circulares para siempre y cada uno de esos eventos es infinito.

El fractal, pequeños programas que regresan sobre sí mismos, como autorreferencia de lo infinito. Son formas construidas a partir de una huella geométrica heredable a partir de copias de sí mismo, por lo que acercarse a ellos es descubrir como las plantas y los animales construyen sus detalles geométricos a partir de indefinidas divisiones de copias geométricas. Lo que significa, que un árbol es un fractal, lo que podemos reconocer como un programa de ciclo infinito en su huella geométrica. Nuestro ojo puede ver esto.

Cuando colocas una cámara frente a un espejo, descubres una imagen dentro de otra imagen igual y así sucesivamente hasta que el sistema colapsa ante la imposibilidad de alcanzar el infinito al que tiende. Estos fractales parecen estar también presentes en las  grandes obras literarias^[42]. Las posibilidades del lenguaje natural y artificial son infinitas. El arte, el conocimiento científico, la combinación de nuevas emociones, los genotipos, la música, la poesía…, son infinitas posibilidades creativas.

Visualizamos al infinito de lazos y autorreferencia de todas las posibilidades sociales de nuestro enjambre humano, como las historias morales posibles para nuestra existencia. Los niños preguntan si un infinito dentro de otro infinito no solo es algo extraño, sino nuestra propia condición natural. Me gustaría mirar cuando dos rectas paralelas se unen en el infinito, me gustaría entender cómo seres finitos están condenados a habitar universos infinitos como una forma de realización cultural. 

El infinito parece ser para siempre, división de la materia que tiende a la frontera de la nada, que en nuestro mundo moderno de violencia y virtud extrema parece proclamar para la vida humana: humildad y rebeldía. Un compañero nos dijo que algunas cosas indeseables son infinitas, tal como que el poder infinito corrompe al hombre, así que las formas déspotas y autoritarias de lo irracional siempre estarán para recordarnos que la razón por siempre estará en franco peligro de extinguirse. Nuestro campo como profesores escritores, tiene la forma en que poseemos al discurso literario del texto académico, como infinitas innovaciones discursivas para persuadir, seducir y lograr progreso ético en mentes de jóvenes que para serlo, tienen que ser rebeldes ante los intentos del fin de la historia de las ideas.

Escribir provoca paradojas, de que una gramática finita, reglas ortográficas, puntuado y un alfabeto finito permitan crear al mismo tiempo infinitas expresiones poéticas, científicas y de mundos posibles en el arte. No hacer frente a las pruebas de rigurosidad lógica del infinito, provoca en la mente de los más jóvenes, de acuerdo con nuestra experiencia como profesor universitario, que su imaginación se reduzca hasta el absurdo de no concebir lados en un objeto matemático tal como un polígono regular de n número de lados, llamado círculo. No hacer frente a este desafío de la imaginación, instala a los estudiantes en el vertido del cálculo, en la frontera de los infinitos en el terror de sus existencias finitas.

Uno de los papeles de la intuición matemática, es explicar cómo nuestra existencia finita está condenada a desarrollarse en un escenario infinito. Sí, una idea similar permite entender que no hay nada más natural en este mundo que el infinito y que este está en todas partes donde miramos en la realidad. 

El infinito es una idea escurridiza para pensar y precisar. Lo infinito es un ciclo para siempre. Lo infinito es más grande que lo finito. Si sumamos uno al infinito el resultado es infinito. Si agregamos un infinito al infinito sigue siendo igual de infinito. Pero quizás existen infinitos más grandes que otros. Si dividimos una pieza de materia entre infinito, quizá allí está un puerto para alcanzar la absoluta nada. Estas ideas los niños las encuentran fascinantes, pero son los profesores de su educación básica los que por grave error los obligan a no pensar en ellas, dado que en sus mentes hay miedo al abordar esta empresa de conocimiento matemático.

Cuando el niño realiza una cuenta de uno en uno, no importa lo que muchos digan, siempre podríamos agregar un uno más y obtener una nueva frontera para el infinito, esta idea de que no hay número más grande que infinito es la esencia del cálculo avanzado. Aproximaciones infinitas al cero, ángulos infinitos, áreas infinitas, divisiones infinitas, arcos de curvas infinitamente pequeños, es cuando la idea de infinito emerge como la pieza del cálculo algebraico exacto. En una película de juguetes animados los niños descubren la frase “al infinito y más allá”, es una expresión desafiante y a la vez, una invitación intelectual a reconocer lo abstracto de nuestra realidad física y biológica en sus posibilidades infinitas en la genética, en la arquitectura de elementos químicos, de anticuerpos sintéticos…; una vez que estos niños piensan en el infinito, el pensamiento matemático surge como experiencia emocional fascinante y es nuestra obligación pedagógica no permitir que algunos docentes limiten su potencial intelectual, de ello dependerá que al ser adultos cuajen como artistas, músicos, matemáticos, científicos, escritores de poesía o ingenieros, así que este humilde texto pretende una empresa humanista para promover el pensamiento matemático como expresión de dignidad humana.

La empresa pedagógica de promover el pensamiento matemático, desde la misma frontera conceptual del finito en la probabilidad, la lógica, el número, en la geometría, la categorización, es solo el mejor pretexto para ir al infinito y más allá; rogamos y hacemos votos porque la educación en nuestra comunidad haga enormes esfuerzos por cultivar el pensamiento matemático como estrategia medular del desarrollo de la razón, como medio para la justicia social más plena posible, esa que reduzca la violencia en México. En línea con la evidencia científica que Steven Pinker apunta como la mejor forma del declive de los índices de la violencia^[43].

Octavio Paz definió en el “Arco y la lira^[44]” la relación del infinito en la poesía como posibilidad creativa, colocó en un extremo del espacio del conocimiento a las proposiciones matemáticas y en el otro a la metáfora, y fuera de este la infinita posibilidad creativa representada como un límite expansible sobre la nada. Lo infinito, lo finito y la nada es el sistema donde el creativo desarrolla su mayor expresión de dignidad humana. Desde esta perspectiva la creatividad es todo lo que no la esclavice, la censure y la violente con sus brazos corruptos, de lo contrario no puede ser llamada educación. Esta conclusión apoyada en Octavio Paz, nos anima a promover el proyecto del pensamiento matemático y, como dice Christopher Daniels, es un aspecto de lo más importante en el aprendizaje innovador desde Aristóteles. Aprendemos preguntando paso a paso ¿por qué?, esto es más importante que aprender hechos y técnicas, en matemáticas siempre hay estimulantes y fascinantes preguntas por contestar, y en ellas hay un proyecto de vida de lo más emocionante para nuestra juventud^[45].

0.4.2 ¿Por qué importa el infinito para valorar el cálculo?

Es sin duda un camino a la abstracción. Este camino tiene el sentido de descubrir acerca de algo con lo que convivimos intensamente. Quisiéramos subir alto la vista para obtener una perspectiva sobre las extrañas cosas que se pueden reconocer entre el infinito y la facultad intelectual de realizar cálculos. Seguro hay alegría para este esfuerzo mental y la emoción que conspira a lo mejor del pensamiento abstracto. Las matemáticas deberían ser un viaje con la intensidad de lo imaginado al modo cuando tomamos un libro de Julio Verne.

El infinito es un tipo de número de gran tamaño, algo abstracto para medir el tiempo, el espacio, y cualquier otra cosa infinita. Partimos que tratamos al infinito como pensado como un número. Si agregamos 1 a un infinito, esto es como resultado infinito. Pero esto considera por error al infinito como un número ordinario. 

Los matemáticos usan a la lógica para comprender cosas como el infinito y esto nos lleva a extraños lugares conceptuales a los que no pretendimos ir. Los matemáticos juegan con ideas para delimitar lo que son los objetos matemáticos justo antes de definir su maravillosa esencia. 

Una de las cosas que es tentadora sobre el infinito es que es tan fácil toparse con ideas extrañas como el Hotel de Hilbert, con un número infinito de habitaciones, el cual se comporta muy distinto a uno normal. Sabemos que no podemos manipular el infinito en ecuaciones, como lo hacemos con números naturales. Parece que el infinito no puede ser un número natural. Pero qué significa esto:

Si agregamos uno al infinito es infinito. Esto es:

Si tratamos esta ecuación como con los números naturales y restamos de ambos lados infinito:

Evidentemente este resultado es contradictorio. Pero si sumamos infinitos:

Resulta que:

Resulta igual de contradictorio. Pero en la multiplicación pasa lo mismo:

Si dividimos ambos lados entre infinito:

El problema es que manipulamos al infinito como si fuera un número natural sin saber si lo es. Parece que podemos concluir que el infinito no es un número natural. Pero los números parecen ser los cimientos de las matemáticas, cómo es posible que el infinito no sea un número natural, sería mejor pensar qué son los números antes de afirmar esto. Parece que hemos durante mucho tiempo usado números sin saber qué son. Es como en la física usar la masa como algo que no sabemos qué es en su más profunda realidad. El punto es este. Los números enteros negativos y fraccionarios son tan malos unos como otros para definir el infinito, la cosa cambia cuando empleamos a los irracionales, allí las cosas se ponen aún más difíciles pero también más interesantes. Este desbloqueo en el pensamiento matemático es el que condujo al desarrollo del cálculo que a su vez, llevó a grandes saltos hacia adelante en la precisión y la comprensión de la ciencia y la ingeniería en estos dos últimos siglos. Pero para entender estos números irracionales tenemos que regresar a los principios axiomáticos y desde allí resolver este misterio.

Se preguntará, porque no simplemente declarar al infinito como un número incontable. Para entender esto, tenemos que comprender cómo funciona la matemática. Esto podría sentirse como ir al diccionario y buscar una definición a la palabra “infinito”. Para entender al infinito debemos antes comprender a los números y esto nos lleva a los cimientos de las matemáticas. Al parecer las matemáticas solo pueden estudiar cosas que siguen las reglas de la lógica. Cuando decimos que algo es un objeto matemático, podemos decirlo que pertenece a una lista de elementos coherentes con la lógica. Para ello, debemos mostrar sus propiedades de manera que nos permitan mirar racionalmente al objeto. Entonces, el desafío es construir una lista, que para nada está terminada y que por mucho está agotando el conocimiento de estos objetos matemáticos. Para saber si el infinito es un número, debemos probar que se comporta como un número. 

Las matemáticas parecen ser un proceso del que nunca se consigue llegar a ningún lugar que se quiere. Porque cada vez que nos aproximamos se nos revelan otras cosas que no sabemos. Definitivamente, a través de los números naturales no llegamos al infinito. Podemos darnos cuenta que con cada nuevo tipo de número que se construye, se forma con uno previo que ya se conocía. Así, en el edificio de la matemática se construyen nuevos objetos matemáticos siempre de cosas anteriores. Construir de esta manera tiene la ventaja además de ahorrar capacidad intelectual, nos ayuda a ver las relaciones entre los diferentes conceptos y cómo encajan para hacer a la matemática algo coherente. Si damos a los símbolos matemáticos conceptos abstractos, esto nos ayuda a la manipulación simbólica.

Regresando a nuestra búsqueda del infinito, podemos emplear a los números enteros, que resultan ser más útiles que los naturales. Lo primero que cambia es que integramos al cero, un número que es neutral bajo la suma y la resta. En matemáticas decimos que cada número tiene un inverso aditivo, un número por el cual deshace el número original, es decir, esto nos lleva de nuevo a cero. 1-1 o 2-2. Pero esto nos conduce al infinito sin aportar nada nuevo.

Para los números fraccionarios a/b las cosas son más prometedoras, por ejemplo, desde nuestra educación primaria nos dijeron que no está definida la división entre cero. Pero quizá al dividir la unidad entre cero es una manera de llegar al infinito.

Es como decir que vamos a repartir un pastel entre cero personas. Esto no es lógico, no parece sensato. Sin duda la división es la más compleja de las operaciones básicas. Podríamos pensar que cada número tiene un inverso multiplicativo. Pero cómo sería el inverso del cero. No podemos definir al infinito como:

,

porque no hay manera de dividir infinito entre cero, porque simplemente no podemos interpretar esto. Pero nos da conocimiento de que fraccionarios permiten construir a los enteros.

Un número irracional es un número que no puede describirse como una relación de enteros a/b. La construcción de estos números resulta complicada, pero la idea de que son necesarios para llenar los huecos entre la recta numérica de racionales, es un hecho que esta recta real se forma de irracionales, racionales y enteros, positivos y negativos. Lo contradictorio es que hay más números irracionales que racionales. Esta es otra cosa misteriosa que sucede cuando pensamos en el infinito. La unión entre números racionales e irracionales en la recta real no resuelve 1=0 al tratar de definir al infinito como un real. 

Quizá ya se ha dado cuenta que esta búsqueda de infinito parece inútil ¿Qué tipo de número podría ser infinito? Hasta ahora cada tipo de número lo hemos definido como algo que se permite restar, rellenar huecos como bloques de construcción. Necesitamos cambiar nuestra perspectiva sobre los números y encontrar que son los infinitos. Hemos intentado contar hasta infinito y no funcionó. Pero aquí hay una sorpresa, cuando los niños aprenden a contar no lo hacen añadiendo uno repetidamente, lo hacen contando con sus dedos al modo de conjuntos que se suman. Contar con los dedos es muy profundo y esto podría llevarnos hasta infinito, aunque nuestros dedos lo hagan solo hasta 10.

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Pero si nosotros no conocemos previamente el concepto de diez, cómo podríamos encontrar a diez o nada. Con esto, es cuando los matemáticos finalmente se dan cuenta que definir un número rigurosamente no conduce a nada nuevo. El niño intenta asociar sus dedos con un número y lo hace para cada cosa que hay en la realidad. 

Abordar esto con rigor, es lo que permite a los matemáticos estar de acuerdo entre sí sobre lo que consideran verdadero. En lugar de argumentar sobre ideas de teorías, los matemáticos se basan en las reglas de la lógica, la idea es que si solo se utilizan objetos que se comportan estrictamente de acuerdo con las reglas lógicas, ningún desacuerdo puede surgir. Sin embargo, que sucede si utilizamos objetos que no se comportan con la lógica y pudieran producir diferentes respuestas válidas. El mundo en general, no se comporta de acuerdo con la lógica formal clásica. Si le das a un niño los recursos para despojarse de las ambigüedades, solo manipulará las cosas coherentes con las reglas de la lógica. El punto es, porqué intentar lidiar con el infinito. Es reconsiderar a los números finitos de una manera diferente que nos permita pensar desde un acercamiento diferente a los números por conteo. 

El conteo es esencialmente un proceso de emparejar un conjunto de cosas con otro conjunto de cosas que definen el número en cuestión. Si vemos a los números no como índice de cosas, sino como un conjunto. Podemos pensar a los números como conjuntos de elementos. 

Para cero, podrías referirlo como un conjunto vacío, contiene un vacío como elemento. Un conjunto para el número uno, contiene a uno y al vacío, es decir dos elementos. A este proceso de emparejar números con cosas es a lo que se llama en matemáticas función. Esta idea de emparejar las cosas nos va a dar nuestra primera definición válida de infinito, así que vamos a ver cómo funciona esto para algunas situaciones matemáticas. Contar en matemáticas no es un uno más uno nombrando cada número. Significa emparejar los objetos que se están contando con los objetos en un índice de números. El infinito es un conjunto que contiene a todos los conjuntos de los números enteros positivos, significa emparejar objetos con los índices infinitos dentro de una relación biyectiva o función. Un conjunto infinito es contable si es posible que sus objetos sean emparejados con el índice de números naturales. Así que, lo que estamos diciendo es que el conjunto infinito se llama contable si los objetos pueden ser emparejados con los números enteros positivos. O formalmente, si hay una función biyectiva a los números enteros positivos. Este conjunto infinito se llama simplemente infinito. Pero, ¿hay conjuntos infinitos que son incontables infinitos?

Ahora que estamos comenzando a tener pistas de que hay diferentes infinitos, deberíamos empezar a tener más cuidado de cómo escribimos infinito. El símbolo solo significa cualquier cosa no finita. Sin embargo, ahora tenemos una noción muy específica de infinito, que corresponde a nuestro conjunto de índice de números enteros positivos. Por otro lado, pareciera imposible pensar en algo más grande que el infinito. Hemos descubierto que dos infinitos no son más grandes que el infinito, e incluso el infinito al cuadrado. Así que, al final debemos encontrar un infinito que sea más infinito que otro. ¿Qué hay más infinito que los números enteros positivos? La primera idea es tratar de contar a los irracionales. 

En lugar de iniciar demostrando que los irracionales son números incontables, debemos demostrar que los números reales son incontables y de esta manera los segundos también lo serán. 

Ya sabemos que los racionales son contables si ponemos dos conjuntos contables juntos, obtenemos otro conjunto contable. Los números reales son difíciles de anclar, pero por ahora digamos que son todos los números decimales posibles, donde los decimales pueden seguir para siempre. 

A estas alturas ya entendemos la importancia de lo preciso de un lenguaje. La historia de las matemáticas es, entre otras cosas, una historia sobre la invención de un lenguaje cada vez más preciso y técnicas para explorar las ideas abstractas requeridas para modelar el mundo físico. Las nuevas ideas nos obligan a mirar hacia atrás y más precisamente redefinir nuestro antiguo vocabulario. Esto puede sonar como retroceso tedioso, pero ha sido una fuerza impulsora que ha provocado algunos de los mayores avances en matemáticas. Ya es hora de que retrocedamos. Comencemos nuestra historia por definir la simetría de un objeto como un movimiento rígido que deja el objeto aparentemente sin cambios. Ahora es finalmente el momento de definir con más precisión el término "movimiento rígido". Históricamente, esto fue necesario para probar muchos de los teoremas.

Además, dado que el retroceso implica encontrar nuevas formas de pensar en viejas ideas, nos llevará a descubrimientos inesperados y otras verdades.

¿Hasta dónde debemos retroceder? Antes de decidir qué es un movimiento rígido del plano o del espacio, debemos decidir qué es el “plano” y " el espacio". Dado que el plano está hecho de pares de números y el espacio de los tripletes de números, nosotros primero debemos decidir qué es un número.

Hasta ahora, hemos introducido los siguientes conjuntos importantes de números:

¿Cuál de estos conjuntos es el más grande? Podría responder que R es el más grande porque contiene a los otros. O puede responder que todos tienen el mismo tamaño, es decir, infinito. Hasta hace poco más de un siglo, los matemáticos estaban contentos con la decisión de que cada conjunto infinito tiene el mismo tamaño que cualquier otro conjunto infinito. No estaban en lo correcto ni en lo incorrecto: esto es simplemente lo que significaron con la frase "mismo tamaño".

DEFINICIÓN DE MODA ANTIGUA DE “MISMO TAMAÑO”: se dice que un par de conjuntos tienen el mismo tamaño si cualquiera de los dos es finito y tiene el mismo número de miembros o ambos son infinitos.

Esta definición probablemente parece razonable, pero estás a punto de aprender una hermosa verdad sobre el infinito a la que esta definición te ciega. Los matemáticos que usaron esta definición, no entendían su punto ciego más que los matemáticos griegos antiguos que entendían las verdades a las que estaban cegados cuando definían "número" como "número racional". En la historia del pensamiento matemático, este "infinito" el punto ciego era tan importante como el punto ciego "número", y su eliminación desató un mundo rico de ideas fundamentalmente nuevas.

¿Qué más podría significar la frase "mismo tamaño"? Para responder a esta pregunta, pensemos más detenidamente acerca de cómo comparamos los tamaños de los conjuntos. Cuando mi hijo era pequeño, le di diez vasos y diez ciruelas, y le pregunté si había tantas ciruelas como vasos. Un adulto habría contado por separado las ciruelas y los vasos y compararía las respuestas, pero mi hijo aún no sabía cómo contar hasta diez. Así que en lugar de eso, simplemente colocó una ciruela en cada vaso. Como las ciruelas y los vasos se combinaban perfectamente, sabía que había un número igual de cada uno.

Si le dan dos juegos infinitos y le preguntan si tienen el mismo tamaño, entonces su situación es muy análoga a la de mi hijo. No tiene la capacidad de contar por separado cada conjunto porque no sabe cómo "contar hasta el infinito". Su solución más razonable es la que usó mi hijo: debe tratar de encontrar una correspondencia uno a uno (un apareo) entre los miembros de los dos conjuntos. Esta idea no es un juego de niños, es tan importante que se convertirá en nuestro nuevo significado de "mismo tamaño".

DEFINICIÓN MODERNA DE “MISMO TAMAÑO”: se dice que un par de conjuntos tienen el mismo tamaño si sus miembros pueden ser emparejados con una correspondencia uno a uno.

Es hora de olvidar la definición antigua, y de ahora en adelante, usar solo la definición moderna. Para decidir si dos conjuntos tienen el mismo tamaño, su único trabajo es determinar si sus miembros pueden ser emparejados con una correspondencia de uno a uno. Por ejemplo, para decidir si tiene la misma cantidad de dedos que el desconocido que acaba de encontrar en la escuela, no puede contar y comparar; más bien, debe intentar hacer coincidir los dedos al acercar las manos. A menudo es muy natural comparar tamaños haciéndolos coincidir en lugar de contar. Encontrar una correspondencia uno a uno puede requerir inteligencia y persistencia. 

DEFINICIÓN: Un conjunto infinito se llama contable sí tiene el mismo tamaño de N (el conjunto de números naturales).

Demostración de que los números racionales positivos son contables: Este es un método alternativo para enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa organizarlos en una lista infinita, pero primero nos conformamos con organizarlos en una cuadrícula infinita que (como la cuadrícula de una hoja de cálculo de una computadora) tiene un borde superior y un borde izquierdo, pero se extiende indefinidamente hacia abajo y hacia la derecha. La disposición más natural es así, con la columna que determina el numerador y la fila que determina el denominador:

Ahora organizamos las celdas de esta cuadrícula infinita en una lista infinita serpenteando a través de la cuadrícula de esta manera:

Si registramos las fracciones que visitamos a lo largo de este serpenteante camino púrpura, y eliminamos las redundantes a medida que avanzamos, nuestra lista comenzará así:

Ahora que hemos enumerado con éxito todos los números racionales positivos, podemos insertar cero en el frente e intercalar los negativos como antes.

Nuestro próximo objetivo es decidir si R (el conjunto de todos los números reales) es contable. Para apreciar la pregunta, intente construir una lista infinita {1st real, 2nd real, 3rd real…}. Puede comenzar con una lista de los números racionales y luego insertar algunos números irracionales famosos como Pi y raíz de 2 al principio de su lista. Pero, ¿qué hay de los irracionales menos famosos? Cuantos más agregue a su lista, más descubrirá que falta algo. ¿Hay demasiados números reales para incluir en una sola lista infinita? La respuesta a esta difícil pregunta fue descubierta por Georg Cantor alrededor de 1872.

Conocemos muchas formas de construir una lista infinita de números reales en la que ninguna los incluye a todos. Pero esto no prueba el teorema de Cantor, ya que alguien más inteligente que yo podría algún día tener éxito en incluirlos a todos. Para probar su teorema, Cantor tuvo que demostrar sin ninguna lista, no importa lo ingeniosamente que resulte construirla, que no podría tener éxito en incluir todos los números reales. En otras palabras, tuvo que probar que cada intento de listado está condenado por adelantado. Así es como lo hizo:

DEMOSTRACIÓN: probaremos que cualquier lista de números reales está incompleta. No importa cuán escrupulosamente se organizó la lista, algunos números reales definitivamente se dejaron de lado. Más precisamente, describiremos un procedimiento concreto para identificar un número real que falta en cualquier lista de números reales.

Imagina una lista de números reales. Tal vez fue creado por su alumno, quien hizo todo lo posible para incluir todos los números reales. Tal vez comienza así:

Aquí hay un procedimiento concreto para identificar un número real que falta en la lista. Llamaremos a este número faltante M. Estará entre 0 y 1, por lo que tendrá la forma:

donde cada dn es un dígito (0-9). ¿Cómo debemos elegir estos dígitos para asegurarnos de que M NO esté en la lista? La respuesta es ingeniosa, y se indica con los dígitos en rojo en la lista del alumno. Aquí está: Elija el primer dígito de M, d1, para que no sea el primer dígito (después del punto decimal) del primer número en la lista. Esto asegura que M sea diferente del primer número en la lista, ya que tiene un primer dígito diferente. Elija el segundo dígito de M, d2, para que no sea el segundo dígito del segundo número de la lista. Esto asegura que M sea diferente del segundo número en la lista, ya que tiene un segundo dígito diferente. ¿Ves la idea? Elija el enésimo dígito de M, dn, para que sea cualquier otra cosa que el noveno dígito del enésimo número en la lista, lo que asegura que M sea diferente del enésimo número en la lista, ya que tiene un noveno dígito diferente.

En el ejemplo del alumno, la diagonal roja incluye los números {1, 3, 4, 0, 7, 7, ...}, por lo que debemos elegir

Esto nos deja mucha libertad. M = 0.258163 ... funciona bien, al igual que muchas otras opciones. Con cada dígito, hay diez opciones (0–9), y solo una opción no está permitida, lo que aún nos deja nueve opciones. Para estar en el lado seguro, también evitaremos los números 0 y 9, que aún dejan al menos siete opciones para cada dígito. 

En resumen, podemos usar este procedimiento diagonal para construir un número real, M, que falta en cualquier lista de números reales. Por lo tanto, ningún listado de números reales podría estar completo. Por lo tanto, los números reales nunca podrían organizarse en una sola lista, son incontables.

El Teorema de Cantor dice que, en un sentido muy preciso, los conjuntos infinitos y no tienen el mismo tamaño. Por lo tanto, la definición moderna de "mismo tamaño" lleva a esta verdad: no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño, ¡algunos son genuinamente más grandes que otros! Este es un fenómeno sorprendente y notable. En la escritura popular, se describe con frases como "diferentes tamaños de infinito" o "más infinito que infinito".

Durante la vida de Cantor, su trabajo fue criticado por teólogos que lo consideraron un desafío a la noción de Dios como el único infinito y también por matemáticos que se sentían incómodos con sus conclusiones contra intuitivas. Pero al final, no se puede discutir con una prueba sólida. Las conclusiones de Cantor fueron finalmente aceptadas, provocando un cambio de paradigma en la forma en que los matemáticos pensaban sobre conceptos fundamentales de los números y los conjuntos.

Demostramos que estos decimales interminables son incontables usando el truco de Cantor, que ahora se conoce como el argumento diagonal de Cantor. De hecho, los números reales entre 0 y 1 son incontables por sí mismos. Otra manera en que algo puede ser “más infinito” que los números naturales es más sutil y tal vez, se relaciona  con la palabra incontable. Hemos demostrado que los números reales son más infinitos que los números naturales, pero ¿Cuánto más infinitos son? ¿A qué distancia está del infinito el infinito más grande? Para ello se requiere del conteo abstracto.

0.4.3 Conteo abstracto

El cálculo es uno de los logros globales entre culturas más inspirador para la humanidad como una unidad de civilización. No es necesario hacer cálculos para apreciar su poder, así como no es necesario conocer el funcionamiento electrónico de un teléfono celular para disfrutarlo. Requerimos de fenómenos matemáticos que guíen nuestras preguntas matemáticas para imaginar lo que sucede con estos objetos matemáticos. El cálculo es esencial para entender la cuarta revolución industrial que nos da el mundo como el que hoy conocemos.

El primer hito del cálculo como desarrollo industrial, se da en las máquinas de vapor y la mecánica de motores y medios mecánicos para herramientas industriales. Pero quizá el mayor logro para intensificar la socialización humana ocurrió con las comunicaciones inalámbricas. La historia de Maxwell ilustra un tema que se va viendo una y otra vez como un logro del cálculo. A menudo se dice que las matemáticas son el lenguaje de la ingeniería y la ciencia. Hay mucho de verdad en ello. En el caso de ondas electromagnéticas, fue un paso clave para Maxwell traducir las leyes que habían sido descubiertas por Faraday, Coulomb y otros de manera experimental a ecuaciones expresadas en lenguaje de cálculo diferencial y luego tensorial. 

Pero la analogía del lenguaje es incompleta, es un sistema asombroso de razonamiento en la frontera del infinito en lo macro y en el microcosmos. Nos permite transformar una ecuación simbólica en otras, solo sujetándonos a operaciones de ciertas reglas profundamente enraizadas en la lógica, los números, la geometría… El cálculo es construir largas cadenas de símbolos, que son cadenas de inferencias lógicas. Es un pensamiento hipotético deductivo, si somos suficientemente hábiles y afortunados de transformar las ecuaciones de manera correcta, podemos conseguir que revelen sus implicaciones ocultas y por ende a los objetos que hacen referencia en la realidad. Para un matemático y un poeta es como adoptar un estilo de pensamiento. Los mensajes que producen el poeta y el matemático, son creados para revelar los secretos de la vida humana y de la lógica oculta en la arquitectura de la realidad. Para aprender poesía no hay un manual, se debe aprender en contacto con la lectura del universo de propuestas en la literatura. Para aprender cálculo debemos aprender de los ya desarrollados cálculos publicados en una amplia literatura internacional. En el caso de Maxwell hay innumerables formas para transformar sus ecuaciones. Sin embargo, afortunadamente hay un secreto clave para su aprendizaje. 

El punto es que cuando Maxwell traduce sus ecuaciones de la electricidad y el magnetismo calculó que la propagación de estas ondas juntas de energía invisible se mueven a la velocidad de la luz. En cuestión de décadas, esta revelación cambió el mundo cuando Einstein introduce en su relatividad este límite cosmológico de la velocidad de la luz. Es extraño que el cálculo sea un experimento mental en el dominio imaginario de símbolos y de la lógica. Sin embargo, la lógica del cálculo puede utilizarse como una verdad del mundo real para generar otro artificial en que se experimenta con modelos ideales. El cálculo hacia el mundo real plantea que lo que este determina podría ser una verdad empírica que aguarda verificación experimental. De esta manera, el cálculo le permitió a Albert Einstein predecir la existencia de agujeros negros y ondas de gravedad cien años antes de que existiera tecnología para medir estos existenciales. El cálculo es una poderosa herramienta de imaginación objetiva para la ciencia y la ingeniería. 

Pero, por qué la realidad de nuestro universo debería respetar el funcionamiento de la lógica matemática del cálculo. Esto es un misterio sorprendente del que el mundo esté hecho en su organización matemática de lo mismo que está hecho nuestra base axiomática que es cimientos del cálculo. La adecuación del lenguaje del cálculo matemático a las ecuaciones fundamentales de la realidad es un regalo maravilloso que no entendemos por qué no lo merecemos^[46]. 

Pero la historia de este regalo se remonta a Pitágoras, cuando descubrió que la música es gobernada por el cociente de números enteros. Lo que distingue al cálculo del resto de las matemáticas es solo una idea de principio a fin. Cuando nos damos cuenta de esta idea, la estructura del cálculo cae en su lugar como un tema unificador. Por desgracia los profesores comunes entierran esto debajo de muchas fórmulas. Se trata del principio del infinito. 

0.4.4 Axiomas del infinito

“Si debo preguntar más cuántos cuadrados hay, uno podría responder realmente hay tantos como el número correspondiente de raíces, ya que cada cuadrado tiene su propia raíz y cada raíz tiene su propio cuadrado, mientras que ningún cuadrado tiene más de una raíz y no hay más de un cuadrado”. Galileo en “Dialogues concerning the two new sciences. First day. 

El infinito es el alma de las matemáticas, porque no hay fin ni siquiera para los objetos matemáticos más simple como para los enteros positivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9… Uno de los argumentos más antiguos y mejores sobre el infinito es la prueba de Euclides, formar una secuencia infinita 2,3,5,7,11,13,… sin saber nada de la secuencia, al mostrar que cualquier secuencia finita de primos está incompleta. Es decir, muestra cómo encontrar un p primo diferente de cualquier primo dado . Un conjunto como los números primos se llama contable infinito porque podemos ordenarlo en sus elementos en una lista con un primer miembro, un segundo, un tercero, …, Como Euclides mostró, en su lista infinita, pero cada miembro aparece en una posición finita y por lo tanto es “contable”. 

Los conjuntos infinitos siempre han estado con nosotros, de hecho es difícil captar el infinito de cualquier otra manera que no sea contando. En 1874, Georg Cantor en Alemania, demostró que el infinito es más complicado de lo que se pensó intuitivamente, al mostrar que el conjunto de números reales es incontable. Si bien lo hizo a la manera de Euclides, este proceso fue más elegante, al mostrar que cualquier lista infinita de números reales está incompleta. 

El método de Cantor, encuentra siempre un número real x diferente de cualquier elemento en una lista contada por lo que sabemos es llamada argumento diagonal, por razones ya explicadas en líneas atrás. 

El proceso de contar 1,2,3,4… es el ejemplo más simple y claro de un proceso infinito. Sabemos que contar nunca termina, porque no hay, un último número, y de hecho el primer pensamiento es que es “infinito” e “interminable” significan lo mismo. Sin embargo, en cierto sentido, el proceso de conteo sin fin agota el conjunto de enteros positivos, porque finalmente se alcanza cada entero positivo. Esto distingue el conjunto de enteros positivos de otros conjuntos, como el conjunto de puntos de una línea, que aparentemente no se pueden “agotar contando”. Por lo tanto, puede ser esclarecedor detenerse un poco a ver el proceso de conteo, y examinar algunos de los conjuntos infinitos que se pueden agotar contando a sus miembros. 

El primero, contar objetos es lo mismo que organizarlos en una lista, este indexado de asignar un folio a cada elemento, necesariamente obliga a que estén ordenados para ubicarlos en alguna posición. Por ejemplo, si “contamos” los cuadrados enumerándolos en orden creciente, 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000, 10201, 10404, 10609, 10816, 11025, 11236, 11449, 11664, 11881, 12100, 12321, 12544, 12769, 12996, 13225, 13456, 13689, 13924, 14161, 14400, 14641, 14884, 15129, 15376, 15625, 15876, 16129, 16384, 16641, 16900, 17161, 17424, 17689, 17956, 18225, 18496, 18769, 19044, 19321, 19600, 19881, 20164, 20449, 20736, 21025, 21316, 21609, 21904, 22201, 22500,…,

Entonces el cuadrado 22500 aparece en la posición 150 en la lista. Enumerando un conjunto de elementos asignamos enteros positivos para el índice del folio para cada miembro, pero a menudo es más fácil visualizarlos en listas que averiguar el entero exacto asignado a cada folio. 

Una lista de las primeras cosas interesantes que se notan sobre los conjuntos infinitos es que contar una parte puede ser “tan infinito” como contar todo. Por ejemplo, el conjunto de números pares positivos en orden creciente forman una lista que coincide con la lista de enteros positivos completamente, elemento a elemento.  

1,  2,  3,  4,   5,   6,    7,   8,   9,   10,   11,   12,   13,…

2,  4,  6,  8, 10, 12,  14, 16, 18,   20,   22,   24,   26,…

Por lo tanto, enumerar los números pares positivos es un proceso completamente paralelo al proceso de lista de los enteros positivos. La razón radica en la coincidencia del ítem por elemento de las dos filas, que llamamos una correspondencia uno a uno. La función f(n)=2n encapsula las correspondencias, porque coincide con cada entero positivo n con exactamente un número par positivo 2n, y cada número par positivo 2n se compara exactamente con un entero positivo. 

Por lo tanto, para hacerse eco del ejemplo de Galileo citado al principio de este apartado, si me preguntan cuántos números par hay, uno podría responder realmente que hay tantos como enteros positivos correspondientes. Galileo, nos hace ver que una correspondencia uno a uno entre conjuntos de enteros positivos y una parte de sí mismos, esta propiedad inquietante es la primera característica del mundo de los conjuntos infinitos. 

“En el campo matemático de la teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe las tres operaciones habituales en los números ordinales : suma, multiplicación y exponenciación. Cada uno puede ser definido en esencia por dos maneras diferentes: ya sea mediante la construcción de un explícito conjunto bien ordenado, que representa la operación o mediante el uso de recursión transfinito.  La forma normal de Cantor, proporciona una forma estandarizada de escribir los ordinales. Las denominadas operaciones aritméticas "naturales" retienen conmutatividad a expensas de la continuidad. Interpretando como números ordinales también a los sujetos a operaciones aritméticas^[47]”.

Un conjunto cuyos miembros se pueden colocar en una lista infinita, es decir, en correspondencia de uno a uno con los enteros positivos, se denomina contable infinito. Esta propiedad común de conjuntos infinitos fue llamada cardinalidad por Georg Cantor, quien inició el estudio general de los conjuntos en 1870, inspirado en Galileo. En el caso de conjuntos finitos, dos conjuntos tienen la misma cardinalidad sí y solo si tienen el mismo número de elementos. Así que el concepto de cardinalidad es esencialmente el mismo que el concepto de número para conjuntos finitos. 

Para conjuntos infinitos, la cardinalidad común también se puede considerar como el “número” de elementos. Este número fue llamado un número transfinito y denotado . Sin embargo hay que tener en cuenta que el número es elástico a los números ordinarios. Los pares tienen cardinalidad , porque el segundo conjunto es un subcojunto estricto del primero. Así que también se puede decir que hay números pares . 

Por otra parte, la cardinalidad se extiende a los conjuntos que a primera vista parecen más grandes que el conjunto de 1,2,3,4,… Considere el conjunto de puntos: 

La cuadrícula tiene infinitamente muchas filas infinitas de puntos, pero sin embargo podemos emparejar cada punto con un entero positivo diferente como se muestra. Simplemente vea los puntos a lo largo de una serie de líneas diagonales finitas, y cuente a lo largo de las diagonales sucesivas, comenzando en la esquina inferior izquierda. 

Hay una prueba muy similar de que el conjunto de fracciones (positivas) es contado, ya que cada oración m/n correspondiente al par (m,n) de enteros positivos. De ello se deduce que el conjunto de números racionales positivos es contable, ya que cada número racional positivo se da por una fracción. Es cierto que hay muchas fracciones para el mismo número, por ejemplo, 2/4, 3/6, 4/8,…, pero podemos enumerar los números racionales positivos revisando la lista de fracciones u omisiones todas las fracciones que representen números anteriores en la lista. 

Una buena manera de ilustrar la elasticidad de la cardinalidad fue introducida por el físico George Gamow (1947)  en su libro “One, two, thee,…infinity. Gamow imaginó un Hotel de Hilbert, en el que hay infinitamente muchas habitaciones, numeradas 1,2,3,4,… Enumerar a los miembros de un conjunto infinito es lo mismo que acomodar a los miembros como “invitados” en el Hotel de Hilbert, uno a cada habitación. Los enteros positivos se pueden acomodar naturalmente poniendo cada número n en la habitación n. 

Los enteros positivos llenan todas las habitaciones del hotel, por lo que podríamos decir que el número es de tamaño igual al Hotel de Hilbert y, la ocupación de más personas es ilegal. Sin embargo, hay espacio para uno más (digamos el número cero 0). Cada huésped simplemente necesita una habitación, dejando la primera habitación libre.

Por lo tanto siempre se puede estirar para incluir uno más: . De hecho, hay espacio para otra infinidad contada de invitados. El huésped en la habitación n puede moverse a la habitación 2n, dejando todas las habitaciones numeradas impares libres.

En símbolos: 

Incluso hay espacio para una infinidad contable de infinitos huéspedes. Supongamos, digamos, que los huéspedes llegan en autobuses infinitos numerados 1,2,3,4,… y que cada autobús tiene 1,2,3,4,… huéspedes, los del autobús 1 pueden alojarse uno, en la habitación 1 y continuación, saltar una habitación; es decir de este modo para cada autobús:

El resultado es que toda la serie de autobuses cada uno de los huésped , se pueden embalar en el hotel Hilbert, con exactamente un huésped por habitación. En forma simbólica:

Las ecuaciones aritméticas que tenemos son

Muestran que el infinito es numéricamente elástico cada transfinito . Georg Cantor introdujo a los transfinitos para referirse a los ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural. Este nos conduce a sospechar que la aritmética cardinal no tiene nada que decir, excepto que cualquier conjunto infinito tiene un cardinal . Y todos los números transfinitos estrictamente son iguales. Cantor afortunadamente no lo pensó así, En particular, el conjunto de puntos en la línea tiene una cardinalidad estrictamente mayor a , abriéndose un mundo de posibilidades.

Comencemos en el conjunto S de enteros positivos que se pueden escribir mediante una secuencia infinita de ceros y unos, con 1 en el enésimo lugar en caso de que n sea un miembro de S. Así se muestra, primer renglón el subconjunto de enteros positivos, segundo renglón números pares, tercero números cuadrados, quinto números primos

Ahora supongamos que tenemos conjunto de enteros positivos. Eso significa que podemos formar una lista de conjuntos 

cuyo enésimo miembro es el conjunto emparejado en el entero n. Mostramos que una lista de este tipo puede incluir todos los conjuntos de números positivos describiendo un conjunto S diferente de cada uno de los Por lo tanto S no está en la solista y por lo tanto ninguna lista de este tipo puede incluir todos los conjuntos de enteros positivos. El argumento que acabamos de hacer se llama argumento diagonal porque se puede presentar visualmente de la siguiente manera. Imagine una tabla infinita cuyas codificaciones los conjuntos son secuencias de 0 y 1 como los ejemplos anteriores. Podríamos tener, los conjuntos así:  

En la terminología moderna, al referirse dentro de los ordinales o cardinales, «transfinito» e «infinito» son sinónimos. Un ordinal es un conjunto de números claramente cerrado en el número de elementos.

El dígito (1 o 0) que indica si n pertenece o no a . Establece negritas, donde la escancia diagonal de dígitos en negritas es 

La secuencia para S se obtiene combinando cada dígito en la secuencia diagonal. Por lo tanto, la secuencia S es necesariamente diferente de las secuencias para todos los

La cardinalidad del conjunto de todas estas secuencias 0s y 1s se llama . Usamos este símbolo porque hay dos posibilidades para el primer dígito en la secuencia, dos para el segundo y así sucesivamente, para todos los dígitos de en la secuencia. Por lo tanto, es razonable decir que hay 2x2x2x2x2x… factores posibles en las secuencias de 0s y 1s, y por lo tanto  el conjunto de números naturales positivos:

El argumento de la diagonal muestra que es estrictamente mayor que porque hay una correspondencia uno a uno entre los enteros positivos y cierto conjunto de enteros positivos, pero no con todos estos conjuntos. Como acabamos de ver, si los números 1,2,3,4,… se asignan a los conjuntos siempre habrá un conjunto S al que no se le asigne un número. 

P.W. Bridgman físico experimental en Harvard, y ganador del Premio Nobel de Física en 1946. También fue, con toda probabilidad, una de las personas que no comprendió el argumento diagonal de Cantor^[48]. Si tuvo algún problema con el argumento anterior, puede estar seguro de que un ganador del Premio Nobel estaba igualmente preocupado. Por otro lado, no creemos que ningún lector de matemáticas experimentado debería tener problemas con el argumento diagonal. Aquí está el por qué.

La lógica del argumento diagonal es realmente muy similar a la de la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos. Euclides se enfrentó a la difícil totalidad de los primos, es difícil de comprender, ya que no sigue ningún patrón aparente. Por lo tanto, evitó incluso considerar la fatalidad de los primos argumentando, en su lugar empleó listas finitas de primos que son incompletas. Dada una lista de primeros uno forma el número:

Que obviamente no es divisible por ninguno de los , cada uno deja un resto 1. Pero N es divisible por algún primo, por lo que la lista de primos está incompleta. Por otra parte, podemos encontrar un p principal específico no en la lista mediante la búsqueda del número más pequeño que divide N. Un conjunto incontable también es muy difícil de comprender, por lo que evitamos hacerlo y en su lugar suponemos que se nos ha dado una lista contable de miembros de un conjunto. La palabra dado puede interpretarse tan estrictamente como este lo desee. Por ejemplo, si son secuencias de 0s y 1s, puede exigir un rol que dé el dígito m-esímo  de en el escenario m+n. El argumento diagonal todavía funciona, y da una S completamente específica no dentro de la lista dada. 

0.4.5 El conjunto de puntos en la línea 

Por la “línea” nos referimos a la línea numérica, cuyos puntos se conocen como los números reales. Cada número real tiene una expansión decimal con una secuencia de dígitos decimales después del punto decimal, el caso infinito por ejemplo:

Si nos atenemos a números reales entre 0 y 1, entonces cada número viene dado por la secuencia de dígitos después del punto decimal, cada término de los cuales es uno de los 0,1,2,3,4,5,6,7,8 o 9. Es decir, una infinidad contable de x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 o x9; por tanto, entre 0 y 1 se puede codificar mediante una tabla muy similar a la tabla que usamos para codificar una infinidad contable de conjuntos de enteros positivos. Del mismo modo, podemos construir un número x diferente  de cada uno organizando que el enésimo dígito de x es diferente del enésimo dígito de , para cada entero positivo n. Como antes, esto equivale a mirar los dígitos diagonales en la tabla, y cambiar cada uno de ellos. Sin embargo, ahora hay un pequeño problema con la construcción diagonal. Cambiar cada dígito diagonal sin duda produce una secuencia de dígitos diferente de todas las secuencias dada por Pero esto no garantiza que la nueva secuencia represente un nuevo número. Podría suceder, por ejemplo, que la secuencia obtenida por la construcción diagonal sea

0.499999999999999999999…

Y que una de las secuencias dadas es

Estas son secuencias diferentes, pero representan el mismo número, a saber, 1/2. Puesto que dos secuencias pueden representar el mismo número solo si una de ellas termina con una secuencia infinita de 9s. Podemos evitar este problema sin cambiar nunca un dígito diagonal a un 0 a un 9. Por ejemplo, podríamos usar la siguiente regla. 

Si el n-enésimo dígito de es 1, deje que el enésimo dígito de x sea 2. 

Si el n-enésimo dígito de no es 1, deje que el enésimo dígito de x sea 1.

Con estas reglas x no tiene simplemente una secuencia de dígitos diferente de los Como el número x es diferente de Así hemos demostrado que el conjunto de números reales es de mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales positivos. Si hacemos una lista de números reales siempre habrá un número real (como x) que no esté en la lista. 

De hecho, el conjunto de números reales (entre 0 y 1) tiene cardinalidad , lo mismo que el del conjunto de secuencias 0s y 1s. La cardinalidad , como , mide el tamaño entre los conjuntos familiares en matemáticas. Las razones de este serán más claras a medida que exploremos a los conjuntos contables e incontables.

0.4.6 Números transcendentales

El descubrimiento de Cantor de conjuntos incontables en 1874, fue uno de los eventos más inesperados de la historia de las matemáticas. Antes el infinito ni siquiera era considerado un concepto matemático legítimo para hacer cálculos en él, por lo que no se podía haber imaginado la necesidad de distinguir entre infinidades contables incontables. La idea de incontable era demasiado original para ser apreciada por la mayoría de los matemáticos. Debido a esto, Cantor restó importancia a la idea de incontable en la visión publicada, lo hace indirectamente a través de la propiedad de los números algebraicos. 

Los números algebraicos eran muy familiares para los matemáticos del siglo XIX. Un número x se llama algebraico si satisface la solución de una ecuación polinomio con coeficientes enteros, es decir, una ecuación con raíces r de la forma:

Donde los a_n son enteros n son el grado del polinomio, .

• Los números algebraicos incluyen todo los números racionales m/n, donde m y n son enteros. Es decir, todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a/b es solución de bx - a = 0, donde a ∈ ? y b ∈ ? .

• Un número construible es aquel que puede representarse mediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Esto todos son algebraicos. Como los muchos números irracionales como , entre otros. 

De hecho, es bastante difícil encontrar números que no sean algebraicos. El primer ejemplo fue encontrado por el matemático francés Joseph Liouville en 1844, usando un resultado que dice que un número algebraico irracional no puede ser estrictamente aproximado por los racionales. Liouville consideró el número

Donde los bloques sucesivos de 0s tienen longitudes 1,2,3x2,4x3x2,…Demostró que x es irracional pero que puede ser estrictamente aproximado por los racionales, por lo que x no es algebraico. Tales números ahora se llaman trascendentales, porque trascienden la descripción por medios algebraicos. Invariablemente tienen que ser descritos por procesos infinitos (series infinitas). El primer número bien conocido que se mostró trascendental fue 

Un número que hace muchas apariciones en matemáticas, tal vez el más famoso en la ecuación de Euler:

Charles Hermite, compatriota Liouville, demostró que e es trascendental en 1873, utilizando un cálculo muy difícil. De hecho, Hermite estaba tan agotado por que el esfuerzo lo renunció a la idea de tratar de demostrar que es trascendental. El matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró por primera vez en 1882 lo trascendente de , usando el método de Hermite y conectando e y . 

En cualquier caso, en 1974 los únicos enfoques conocidos para los números trascendentales eran los de Liouville y permite, utilizando álgebra y cálculo sofisticado. Cantor sorprendió al mundo al mostrar la existencia de números trascendentales sin ninguna matemática avanzada en lo absoluto. Simplemente demostró que el conjunto de números algebraicos es contable. Combinando esto con sus resultados de los números reales que son incontables. Se deduce que algunos números reales son trascendentales. De hecho, la mayoría de los números reales deben ser trascendentales. No solo la teoría de conjuntos encuentra números trascendentales fácilmente, sino que también muestra que el puñado de números trascendentales previamente conocidos en realidad pertenecen a la vasta, incontable y mayoría de números. 

La colección de ordinales contables, ordenados por tamaño, se puede ver considerando cualquier conjunto S de ordinales contables, y la colección de un miembro de S. O bien, por contrario, el miembro más pequeño de S por que está bien ordenado. Por lo tanto, en cualquier caso, el conjunto S de ordinales contables tiene un miembro mínimo. 

De esto se deduce que el conjunto de ordinales contables es en sí mismo un número ordinal. Que Cantor llamó . Puesto que tiene un incontable número de miembros, es necesariamente un ordinal incontable. De hecho, el numero es el ordinal menos incontable, ya que es cualquier ordinal menor de lo que es contable. Por lo tanto, los ordinales contables conforman el conjunto incontable más pequeño posible, cuya cardinalidad fue llamada por Cantor . La idea que produce el conjunto incontable más pequeño posible , contrasta fuertemente con nuestra idea para producir un conjunto incontable, tomando todos los subconjuntos de de enteros positivos. El número cardinal (que indica la cantidad de elementos del subconjunto es finito o infinito), está bien ordenado por su construcción, mientras que no haya manera para ordenar los números por completo. Si el tamaño de es el siguiente de tamaño de , mientras que   es un miembro casi completo.

Puesto que ya hemos visto una de las demostraciones de Cantor de que hay innumerables reales, queda por explicar que solo hay muchos algebraicos. Para ello volvemos a las ecuaciones que definen números algebraicos:

La ecuación tiene como máximo n soluciones, como se aprende en álgebra elemental, por lo que podemos enumerar todos los números algebraicos si podemos enumerar todas las ecuaciones de la forma anterior. Para ello, Cantor utilizó, una cantidad llamada la altura de la ecuación:

Sugerido por su colega Richard Dedekind. No es difícil ver que solo hay muchas ecuaciones finitamente con una altura h, ya que necesariamente tienen grado y cada coeficiente tiene un valor absoluto menor que h. Por lo tanto, podemos enumerar todas las ecuaciones y esto hace que los números algebraicos, enumerando primero las ecuaciones de altura h=1, luego las de h=2, y así sucesivamente…, esto los hace contables. Este proceso de listado muestra que los números algebraicos forman un conjunto contable, por lo tanto hemos terminado el misterio.

La prueba de incontables de 1874, es básicamente la misma, un conjunto de números no incluye todos los números porque siempre podemos encontrar un número fuera de él. Pero construir un número forastero x no es obviamente diagonal. Mas bien, x es un límite superior menor que todos los de ; es decir, x es el número menor mayor de Sin embargo, el límite inferior superior comienza a verse diagonal cuando se estudian los dígitos decimales de supongamos, por ejemplo, que los números tienen los siguientes decimales:

Cada decimal está de acuerdo con su predecesor hasta un cierto dígito, y tiene un dígito más grande que en el primer segmento donde están de acuerdo. 

Por lo tanto, existe un sentido en el que la demostración original de incontables de Cantor implica una construcción diagonal. Por lo tanto, puede ser que Cantor destiló el argumento diagonal de demostraciones de incontables anteriores. De hecho, una construcción más explícitamente diagonal ya había sido descrita en 1875 por Paul du Bois-Reymond^[49].

El conjunto de funciones enteras positivas es incontable, porque para cada cualquier lista de estas funciones hay una función d(n) no en la lista. Por favor lo dejamos para su investigación estimado lector, su demostración.  

Hasta ahora hemos mencionado tres conjuntos incontables: los reales, el subconjunto de subconjuntos de los enteros positivos y, el conjunto de funciones de enteros positivos con valores enteros positivos. En cierto sentido, estos tres esencialmente son el mismo conjunto, por lo que no es tán sorprendente que en cada caso su atributo de incontable sea un argumento similar. 

Al igual que los conjuntos contables ya discutidos, estos tres conjuntos incontables tienen la misma cardinalidad. La llamamos y también cordialidad del continuo, ya que el continuo de números reales es el conjunto más concreto con cardinalidad . Podemos visualizar que la totalidad de todos los R como una línea numérica, pero no es intuitivo visualizar la totalidad de los conjuntos de enteros positivos, por ejemplo, hasta que estos conjuntos se hayan emparejado con números reales. 

Antes de establecer una correspondencia uno a uno entre números reales y el conjunto de enteros positivos, primero observemos que hay una correspondencia cardinal uno a uno entre el conjunto R de todo los números reales y el intervalo (0,1) de números reales entre 0 y 1. Esto es geométricamente obvio si uno dobla el segmento de línea entre 0 y 1 en un semicírculo y luego proyecta el semicírculo en la línea numérica R como sigue:

Correspondencia uno a uno entre R y el intervalo (0,1)

Un número en el intervalo (0,1) y un conjunto de números naturales, tienen cierta similitud. A saber, ambos tienen descripciones naturales como secuencias de 0s y 1s. 

Desde tiempos antiguos, el infinito ha sido una parte clave de las matemáticas, aunque su uso a menudo se ha considerado perjudicial en algunas culturas. Alrededor del año 500 A.C., los pitagóricos descubrieron la irracionalidad de , comenzando así una larga lucha por captar el concepto de números reales. Esto fue de una lucha mayor para conciliar las magnitudes continuas que surgen en la geometría: longitud, aérea, volumen, con los números naturales discretos 1,2,3,4,5,6,7,… que surgen del conteo.

Arquímedes escribió un libro llamado The Method, que se perdió durante muchos siglos, y no influyó en el desarrollo de las matemáticas. Describe el método por el cual descubrió algunos de sus resultados más famosos, como el teorema en el que determina que una esfera tiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito. El libro reaparece en 1900 y solo entonces nos dimos cuenta que Arquímedes había utilizado el infinito real de una manera que nos puede evitar. Al encontrar ciertos volúmenes, Arquímedes ve un solo sólido como una suma de rodajas de espesor cero. Como ahora sabemos, hay innumerables segmentos de este tipo correspondientes a muchos puntos incontables en la línea, por lo que no se puede ver la suma de todos los segmentos como “límite” de sumas finitas. Por supuesto, es poco probable que Arquímedes tuviera algún indicio de incontable, aunque puede haber sospechado que estaba tratando con un nuevo tipo de infinito^[50].  

The Method da evidencia de que la intuición sobre el infinito, incluso sobre el continuo, existe y es útil para hacer descubrimientos matemáticos. Más frutos de esta aguda intuición surgen alrededor de 1800 con Carl Friedrich Gauss, con lo que en álgebra elemental se llama, teorema fundamental del álgebra^[51]”. 

Atribuido a la integridad de la línea recta, o ausencia de alguna inconsistencia en el continuo. 

Este teorema establece que cualquier ecuación polinomial está satisfecha por algún número complejo x. El propio Gauss tuvo problemas para probar el teorema,  todas las pruebas que ofreció están incompletas por los estándares modernos. Sin embargo, en 1816 dio una prueba que identifica claramente la dificultad: todo se reduce a la ausencia de algunos números en el continuo. La intuición de Gauss le había llevado a asumir lo que ahora llamamos el teorema de valor medio: cualquier función continua f(x) que toma valores positivos y negativos entre x=a y y=b, f(x) toma el valor cero para algunos x=c entre a y b. El primero en identificar esta suposición, e intentar probarla, fue Bernard Bolzano en 1816. Se adelantó así a su tiempo, notó que una propiedad de las funciones continuas en un teorema que anteriormente se atribuía al álgebra, depende del valor de la naturaleza del continuo en el estudio de los conjuntos infinitos.

El intento de Bolzano estaba incompleto, porque una definición del continuo se carecía por completo en su tiempo. Sin embargo, identificó correctamente una condición de integridad que cualquier concepto razonable de continuidad debe satisfacer. Esta es la propiedad de límite superior mínima: sí S es un conjunto de números reales con un límite superior, S tiene un límite superior mínimo. Es decir, entre los números mayores o iguales que todos los miembros de S, hay un menor. Un corte es intuitivamente una separación de los números racionales en un conjunto inferior L y un conjunto superior U, como si fuera un cuchillo infinitamente afilado. Formalmente, un corte es un par (L,U) donde L y U son conjuntos racionales y de tal manera que cada miembro de L es menor que cada miembro de U. (L,U) representa números racionales e irracionales de la siguiente manera:

• Si L tiene un miembro más grande o U, tiene una miembro mínimo, digamos r, entonces (L,U) representa el número racional r.

• Si L no tiene un miembro más grande y U no tiene un miembro mínimo, entonces (L,U) representa un número irracional. Esto sucede por ejemplo, cuando U consiste en los racionales positivos con y L con los racionales restantes. 

Este último tipo de corte representa un hueco en los racionales y al mismo tiempo, proporciona un objeto para rellenar el hueco: el corte (L,U). Con un nervio impresionante, Dedekind creó un continuo sin huecos llenando cada hueco en los racionales, tomando el objeto que llena cada hueco para ser esencialmente el vacío en sí. 

Cabe mencionar que los decimales infinitos, son esencialmente una visión más legible de los cortes de Dedekind. Un decimal infinito 

3.141592653589793238462643383279502884197169399375…

Representa un corte en el conjunto menos concurrido de la fracción decimal, separando a los vecinos más cercanos menores como 3.14159… de los vecinos más cercanos mayores que

4.0,  3.2, 3.142,  3.1416,  3.14160

Los decimales infinitos son fáciles de leer y entender, pero intentar definir su suma y su producto, probablemente recurrirá a la adición y la multiplicación de sus fracciones decimales vecinas, al igual que los cortes de Dedekind. 

Por supuesto, no es suficiente que no haya huecos en el conjunto de cortes. También necesitamos saber que los cortes son entidades que se comportan como números. Esto cierto, se puede definir la suma y el producto de dos cortes en términos de los números irracionales en ellos, y esta suma o producto, tienen las propiedades algebraicas habituales.  

Así, con la definición de Dedekind de números reales, finalmente fue posible probar el teorema del valor medio  y por lo tanto del teorema fundamental del álgebra. Al mismo tiempo esta demostración inició una nueva dirección en el pensamiento matemático. Los objetos matemáticos previamente indefinidos se definieron en términos de conjuntos y, cada conjunto se convirtió en un objeto matemático legítimo, incluso el incontable conjunto de números reales. 

Hoy en día la línea numérica parte algo simple pero no lo es. Un punto es todo un universo para alguien que sabe que en realidad es un corte en el conjunto infinito de números racionales. Sin embargo, en 1870 muchos vieron esta aritmética de la geometría como la mejor manera de construir los cimentos de las matemáticas. La aritmética de infinitos, resolvió el antiguo conflicto entre números y magnitudes comunes a la geometría y el cálculo. Y la aritmética fue oportuna porque Cantor acababa de empezar a explorar el concepto establecido en sí. Sin embargo, una mayor exploración del concepto de conjunto llevó a algunas sorpresas. Cantor se dio cuenta que el argumento diagonal se aplica a cualquier conjunto, lo que muestra que cualquier conjunto X tiene más subconjuntos que miembros. Por supuesto, generalmente no podemos visualizar una tabulación de subconjuntos de x.

Los axiomas de los conjuntos más utilizados hoy en día se deben a Zermelo (1908) y  Fraenkel (1922), con un importante estilo escrito en axiomas ZF. 

Axioma 1: Dos conjuntos son ideales sí y solo si tienen los mismo miembros.

Axioma 2: Hay un conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío.

Axioma 3: Para los conjuntos X y Y, hay un conjunto cuyos únicos elementos son X y Y. 

Axioma 4: Para cualquier conjunto X hay un conjunto cuyos miembros son los miembros de los miembros de X.

Axioma 5: Para cada conjunto X, hay un conjunto cuyos miembros son el subconjunto de X, donde un subconjunto de X es un conjunto cuyos miembros son miembros de X.

Axioma 6: Para cualquier definición de función f, y establezca x, los valores f(x), donde x es miembro de X, forman un conjunto (rango de la función).

Axioma 7: Cualquier conjunto no asociado X tiene un miembro Y sin miembros en X. No hay una secuencia descendente infinita para establecer la pertinencia. Es decir, si uno toma un miembro X₁ de X, a continuación, un miembro de X₂ de X₁, y así sucesivamente, entonces este proceso puede continuar solo para una infinidad de pasos. 

Axioma 8: Hay un conjunto infinito, de hecho con conjunto no asociado que, junto con cualquier miembro X, también tiene el miembro .

Los axiomas del 1 al 6, expresan que los conjuntos se construyen a partir del vacío mediante operaciones de emparejamiento, unión, potencia y reemplazo (tomando el rango de una función). Decir que una función f está definida, es que está expresada en una fórmula en lenguaje formal de ZF. El misterioso axioma 7, llamado axioma de la base, nos permite demostrar que cada conjunto surge del conjunto vacío por las operaciones anteriores. Este menú de conjuntos severamente limitado, desempeña el papel de todos los objetos normalmente necesarios para las matemáticas. Por ejemplo podemos definir los números naturales en los conjuntos:

El axioma del infinito, nos dice que hay conjuntos cuyos miembros son 0,1,2,3,… por los que tenemos el conjunto de números naturales. Tomando un conjunto potencia, estamos bien en el camino los números reales, la línea numérica, la geometría, el cálculo y practicante todo lo demás. ¿Quién sabía que el conjunto vacío podía ser tan fructífero?

Referencias

[1] https://pisa2021-maths.oecd.org

[2] J, Homann. (2020). Christopher Clavius and the Renaissance of Mathematics.

[3] Sasaki, Chikara. (2003). The Mathematical Thought of Christoph Clavius. 10.1007/978-94-017-1225-5_3.

[4] Gropp, Harald. (2020). Christoph Clavius (1538–1612), reformer of the Gregorian calender.

[5] J, Homann. (2020). Christopher Clavius and the Quadrature of the Circle.

[6] Baldini, U.. (1982). Christoph Clavius and the Scientific Scene in Rome. -1. 137.

[7] J, Homann. (2020). Christopher Clavius and the Geometry of Rene Descartes.

[8] Alexanderson, Gerald. (2009). About the cover: Christopher Clavius, Astronomer and Mathematician. Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC. 46. 669-670. 10.1090/S0273-0979-09-01269-5.

[9] Ronan, Colin. (1995). Between Copernicus and Galileo: Christoph Clavius and the collapse of ptolemaic cosmology. Endeavour. 19. 91. 10.1016/0160-9327(95)90026-8.

[10] Smolarski, Dennis. (2002). The Jesuit Ratio Studiorum, Christopher Clavius, and the Study of Mathematical Sciences in Universities. Science in Context. 3. 10.1017/S026988970200056X.

[11] Lattis, James. (1994). Between Copernicus and Galileo: Christoph Clavius and the Collapse of Ptolemaic Cosmology. Bibliovault OAI Repository, the University of Chicago Press. 26. 10.2307/254320

[12] Baroncelli, Giovanna. (2020). Bonaventura Cavalieri between mathematics and physics.

[13] Frisi, Paolo. (2020). Elogi DI Galileo Galilei E DI Bonaventura Cavalieri.

[14] Baroncelli, Giovanna. (2020). Bonaventura Cavalieri between mathematics and physics.

[15] Garcia, J.. (2009). Light and shadow of Galileo Galilei. Revista mexicana de física. E, Publicación de enseñanza, historia y filosofía de la Sociedad Mexicana de Física. 55. 221-227.

[16] Jacoli, F.. (2020). Notizia sconosciuta relativa a Bonaventura Cavalieri.

[17] Giuntini, Sandra & Giusti, Enrico & Ulivi, Elisabetta. (1985). Unpublished works of Bonaventura Cavalieri. Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche. 5.

[18] Crasso, Lorenzo. (2019). 9. Galileo Galilei. 10.1515/9780691185743-011.

[19] McMullin, Ernan. (1992). Tractatio de Praecognitionibus et Praecognitis and Tractatio de Demonstratione, and: The Galileo Affair: A Documentary History (review). Journal of the History of Philosophy. 30. 608-612. 10.1353/hph.1992.0081.

[20] Bell, John. (2019). The Continuous, the Discrete and the Infinitesimal in Philosophy and Mathematics. 10.1007/978-3-030-18707-1.

[21] Russell, Bertrand. (2020). The Infinitesimal Calculus.. 10.4324/9780203822586-44.

[22] Giusti, Enrico. (1980). Bonaventura Cavalieri and the Theory of Indivisibles.

[23] Massa, Maria. (2020). El mètode dels indivisibles de Bonaventura Cavalieri. Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques; Vol.: 9 Núm.: 1.

[24] Za?tsev, E.A.. (2020). Curvilinear “indivisibles” of Bonaventura Cavalieri (on the occasion of the publication “On magnitudes under spirals.” by Cavalieri). Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya. Vtoraya Seriya.

[25] Clanet, Christophe. (1999). From Galilei to Torricelli.

[26] Panza, Marco. (2008). Isaac Barrow and the Bounds of Geometry.

[27] Shepard, Valerie. (2009). The Essential Galileo by Galileo Galilei. Comitatus: A Journal of Medieval and Renaissance Studies. 40. 290-292. 10.1353/cjm.2009.0057.

[28] Longair, Malcolm. (2020). Galileo and the Nature of the Physical Sciences. 10.1017/9781108613927.005.

[29] Galileo. The Assayer

[30] Baldin, Gregorio. (2020). Hobbes and Galileo: Method, Matter and the Science of Motion. 10.1007/978-3-030-41414-6.

[31] Baldin, Gregorio. (2020). Hobbes: Principles of Galilean Philosophy. 10.1007/978-3-030-41414-6_2.

[32] Levitt, Norman. (2006). Was Hobbes a crank?. Physics World. 19. 18-18. 10.1088/2058-7058/19/3/29.

[33] Maanen, Jan. (1986). The Refutation of Longomontanus' quadrature by John Pell. Annals of Science. 43. 315-352. 10.1080/00033798600200271.

[34] Baldin, Gregorio. (2020). Galileo’s Momentum and Hobbes’ Conatus. 10.1007/978-3-030-41414-6_3.

[35] Sarasohn, Lisa. (2004). Who Was Then the Gentleman?: Samuel Sorbière, Thomas Hobbes, and the Royal Society. History of Science. 42. 211-232. 10.1177/007327530404200203.

[36] Kahn, Victoria. (2020). Hobbes and Maker’s Knowledge. 10.1093/oso/9780198808749.003.0002.

[37] Steinmetz, Alicia. (2020). Hobbes and the Politics of Translation. Political Theory. 009059172090339. 10.1177/0090591720903393.

[38] Faustino Sarmiento D. (2017) Vida de Abraham Lincoln. Biblok: España

[39] https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Squaring_the_circle.svg

[40] Bird, Alexander. (1996). Squaring the Circle: Hobbes on Philosophy and Geometry. Journal of the History of Ideas. 57. 217-231. 10.1353/jhi.1996.0012.

[41] Risk, R. & Taggart, Michael. (2005). The Published Work of John Willis. University of Toronto Law Journal. 55. 887-890. 10.1353/tlj.2005.0025.

[42] C. Prun, J. Quantitative Linquistics 4, 244 (1997). https://arxiv.org/pdf/cs/0408041.pdf

[43] Pinker, S. (2018). Los ángeles que llevamos dentro: El declive de la violencia y sus implicaciones (Spanish Edition).

[44] Paz, O. (2005). El Arco y La Lira: El Poema, La Revelacion Poetica, Poesia E Historia (Seccion de Lengua y Estudios Literarios). Fondo de Cultura Economica, Mexico.

[45] Danielson, C. (2010). Writing papers in math class: A tool for encouraging mathematical exploration by preservice elementary teachers. School Science and Mathematics, 110(8), 374-381.

[46] Hillery, M. O. S. M., O’Connell, R. F., Scully, M. O., & Wigner, E. P. (1984). Distribution functions in physics: fundamentals. Physics reports, 106(3), 121-167.

[47] https://es.qwe.wiki/wiki/Ordinal_arithmetic

[48] Peregrin, Jaroslav. (2017). Diagonal arguments. AUC PHILOSOPHICA ET HISTORICA. 2017. 33-43. 10.14712/24647055.2017.14.

[49] Hurwitz, Wallie. (1915). Book Review: Orders of Infinity. The “Infinitärcalcül” of Paul Du Bois-Reymond. Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC. 21. 201-203. 10.1090/S0002-9904-1915-02607-8.

[50] Leahy, Andrew. (2018). The Method of Archimedes in the Seventeenth Century. The American Mathematical Monthly. 125. 267-272. 10.1080/00029890.2018.1413857.

[51] Maier, Helmut. (2008). Fundamental theorem of algebra Fundamental Theorem of Algebra. 10.1007/978-0-387-74759-0_193.

Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán