Texto académico
Autores
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán
_____________________________
Módulo 3. Silogismo puro y mixto
En el módulo anterior, discutimos las cuatro figuras y los posibles modos de silogismo. Explicamos las reglas del silogismo y, aplicando las reglas, probamos todos los modos posibles del silogismo. Mencionamos los nombres de los estados de ánimo válidos sobre las cuatro figuras del silogismo. Discutimos las similitudes y diferencias entre la falacia formal y la falacia material, y aclaramos algunas de las falacias informales. Aquí discutiremos la naturaleza y tipos de silogismo puro, la diferencia entre silogismo puro y silogismo mixto, y tipos de silogismo mixto. Describiremos “sorites” y “entimemas” con ejemplos adecuados. Además, explicaremos el "dilema" y las formas del dilema con ejemplos. El silogismo es de dos tipos: silogismo puro y silogismo mixto. En el caso del silogismo puro, todas las proposiciones constituyentes (premisa mayor, premisa menor y conclusión) tienen la misma relación. Por ejemplo, si todas las proposiciones son categóricas, el silogismo se considera un silogismo categórico puro. Si todas las proposiciones son hipotéticas, el silogismo se considera un silogismo hipotético puro. Si todas las proposiciones son disyuntivas, el silogismo se considera un silogismo disyuntivo puro. Por lo tanto, tenemos tres tipos de silogismo puro: silogismo categórico puro, silogismo hipotético puro y silogismo disyuntivo puro. A diferencia del silogismo puro, las proposiciones constituyentes de un silogismo mixto no tienen la misma relación. El silogismo mixto es de tres tipos: categórico hipotético, categórico disyuntivo y dilema. En el caso del silogismo categórico hipotético, la premisa principal es una proposición hipotética; la premisa menor y la conclusión son proposiciones categóricas. En el caso del silogismo categórico disyuntivo, la premisa principal es una proposición disyuntiva; la premisa menor y la conclusión son proposiciones categóricas. En el caso de un dilema, la premisa principal es una proposición compuesta hipotética. La premisa menor es una proposición disyuntiva. La conclusión es una proposición categórica o disyuntiva. El siguiente dibujo muestra tipos de silogismo.
Tipos de silogismo
 12.11.11.png)
3.1 Silogismo categórico puro
Un silogismo categórico puro acepta todas las reglas y normas del silogismo formal, como ya se discutió. Es una inferencia deductiva mediata. Consiste en tres proposiciones categóricas, a saber, premisa mayor, premisa menor y conclusión, y tiene tres términos, a saber, término mayor, término menor y término medio. A continuación se muestra un ejemplo de silogismo categórico puro.
A: Todos los estudiantes de lógica son seres inteligentes. (Premisa principal)
I: Algunos jugadores de críquet son estudiantes de lógica. (Premisa menor)
I: Por lo tanto, algunos jugadores de críquet son seres inteligentes. (Conclusión)
Este silogismo es válido porque corresponde a la primera figura del silogismo y satisface todas las reglas silogísticas. Se llama DARII. En este silogismo, se encuentran tres términos, a saber, término mayor, término menor y término medio. En la premisa principal, el término medio (es decir, estudiantes de lógica) y el término principal (es decir, seres inteligentes) concuerdan entre sí. En la premisa menor, término medio y término menor (es decir, jugadores de críquet) concuerdan entre sí. En conclusión, tanto los términos mayores como los menores concuerdan entre sí. Debido a la concordancia entre tres términos, la conclusión derivada de dos premisas se juzga como una proposición verdadera en este silogismo. En un silogismo categórico puro, todo lo que se niega o se afirma de una clase entera se negaría o se afirmaría de cualquier parte de ella.
En palabras de Aristóteles, se conoce como “Dictum de omni et nullo”. Este dicho se aplica solo a la primera figura del silogismo, ya que la primera figura del silogismo se considera la figura perfecta del silogism. Salvo la primera figura, el resto de figuras del silogismo no se consideran figuras perfectas del silogismo. Las razones son, como dijo Aristóteles, la proposición afirmativa universal "A" se encuentra en la conclusión de un silogismo válido (es decir, BARBARA) de la primera figura sola, que no se encuentra en otras figuras de silogismos válidos. Además, las proposiciones A, E, I, O se encuentran como una conclusión de estados de ánimo válidos de la primera figura (es decir, AAA, EAE, AII, EIO), que no se encuentran en otras figuras de silogismo.
3.2 La máxima de todos y ninguno
Con respecto al "Dictum de omni et nullo", Aristóteles sostiene que en un silogismo categórico puro, para cada proposición, lo que se predica (o no se predica) de un grupo se predica (o no se predica) de los miembros contenidos en ese es lo que es cierto para una determinada clase, lo es para los miembros de esa clase, y lo que no es cierto para una determinada clase, no lo es para los miembros de esa clase. Por ejemplo, si el color blanco es verdadero para todos los cisnes, entonces el color blanco debe ser verdadero para algunos miembros de la clase "cisne". Además, si el color amarillo no es cierto para todos los cuervos, entonces el amarillo no será cierto para algunos miembros de la clase "cuervo".
Un ejemplo de "Dictum de Omni et nullo"
Ningún hombre es un ser perfecto.
José es un hombre.
Por tanto, José no es un ser perfecto.
En este argumento, se afirma que los hombres (es decir, una clase) no son seres perfectos. José es un hombre que pertenece a la clase de "hombres" y, por tanto, José no es un ser perfecto. Este argumento afirma que todo lo que no es cierto para todos los hombres no debe serlo para José, ya que un miembro individual pertenece a la clase de "hombres".
Otro ejemplo de "Dictum de omni et nullo"
Los hombres son seres racionales.
Sócrates es un hombre.
Por tanto, Sócrates es un ser racional.
En este argumento, se afirma que los hombres (es decir, una clase) son seres racionales. Sócrates es un hombre que pertenece a la clase de los hombres ”. Por tanto, Sócrates es un ser racional. Este argumento establece que todo lo que es cierto para todos los hombres debe serlo para Sócrates, ya que un miembro individual pertenece a la clase de "hombres".
3.3 Entimemas
En nuestra vida diaria, formulamos y compartimos muchos argumentos con los oyentes en forma de inferencia deductiva mediata (silogismo). Mientras comunicamos los argumentos a los oyentes, no declaramos todas las proposiciones del argumento explícitamente, ya que se cree que será redundante enunciar las proposiciones verdaderas triviales y conocidas a los oyentes de un argumento. Sin embargo, el hablante tiene la intención de que el oyente pueda insertar la proposición verdadera trivial en el argumento de manera apropiada, y el oyente llevará a cabo esta tarea considerando la intención del hablante y el contexto del argumento. Esto se llama entimema. En pocas palabras, cuando un argumento carece de una de sus proposiciones, el oyente entiende la proposición no declarada (puede ser una premisa o una conclusión) basándose en la intención del hablante y el contexto del argumento, se conoce como un entimema. Este fenómeno de una discusión surge cuando un hablante comparte sus ideas parciales o incompletas con los oyentes y expresa sus puntos de vista sobre algo con vehemencia. Los entimemas se tratan como retórica, y la retórica es más poderosa y vigorosa cuando se comunica a través de un lenguaje en comparación con un argumento que se expresa en detalle con sus proposiciones constituyentes.
Un ejemplo de entimema
Todos los políticos son mentirosos.
Por tanto, Raul es una mentiroso.
Este argumento (silogismo) está incompleto porque solo tenemos dos proposiciones: una premisa y una conclusión. Necesitamos justificar la conclusión agregando una premisa tácita y faltante al argumento. Una vez que agregamos la premisa tácita al argumento, podemos probar el silogismo aplicando todas las reglas silogísticas y averiguar si el silogismo se considera un silogismo válido o no. El oyente agrega fácilmente la premisa perdida (premisa tácita) al argumento de su conocimiento y comprensión sobre los políticos y sus discursos públicos. El argumento completo (silogismo) aparecería como:
Todos los políticos son mentirosos. (Premisa mayor)
Raul es político. (Premisa menor)
Por tanto, Raul es un mentiroso. (Conclusión)
La proposición categórica “Raul es un político" se agrega al silogismo como premisa menor para derivar la conclusión. Esto se debe a que, en un silogismo, la conclusión se deriva de dos premisas al tomarlas juntas. Este silogismo tiene proposiciones categóricas A, I, I. Corresponde a la primera figura del silogismo en función de la posición de su término medio. Satisface todas las reglas silogísticas. Por lo tanto, es un silogismo válido tener AII un estado de ánimo válido llamado DARII. Los entimemas son de tres tipos: el entimema de primer orden, el entimema de segundo orden y el entimema de tercer orden. Estos tipos de entimemas se determinan en función de la proposición no declarada que falta en el argumento. En un argumento, si se mencionan la premisa menor y la conclusión, y la premisa mayor no se establece, pero se entiende implícitamente, se conoce como entimema de primer orden. De manera similar, en un argumento, si se mencionan la premisa mayor y la conclusión, y no se establece la premisa menor, pero se entiende implícitamente, se conoce como un entimema de segundo orden. Además, en un argumento, si se mencionan las premisas mayores y menores, y la conclusión no se establece, pero se entiende implícitamente, se denomina entimema de tercer orden.
Un ejemplo del entimema de primer orden
Todo nativo de México es ciudadano de México. (El oyente agrega esta proposición más adelante para el argumento)
Raul es originario de México.
Por lo tanto, Raul es ciudadano de México.
En este silogismo, la premisa principal no fue establecida por el hablante, pero el oyente la entiende implícitamente como "Todo nativo de México es ciudadano de México". Este silogismo corresponde a la primera figura del silogismo basado en su posición de término medio en las premisas. Se compone de proposiciones categóricas A, I, I. No viola ninguna regla silogística. Por tanto, es un silogismo válido de la primera figura denominada DARII.
Un ejemplo del entimema de segundo orden
Todos los estudiantes son personas educadas.
Todos los estudiantes de pregrado son estudiantes. (El oyente agrega esta proposición más adelante al argumento)
Por lo tanto, todos los estudiantes universitarios son personas educadas.
En este silogismo, la premisa menor no fue expresada por el hablante, pero el oyente la entendió implícitamente al considerar la intención del hablante y el contexto del argumento, como "Todos los estudiantes de pregrado son estudiantes". Este silogismo corresponde a la primera figura del silogismo basado en su posición de término medio en las premisas. Se compone de proposiciones categóricas A, A, A. Satisface todas las reglas silogísticas. Por tanto, es un silogismo válido de la primera figura llamada BARBARA.
Un ejemplo del entimema de tercer orden
Ningún verdadero mexicano es un pueblo rígido de mentalidad religiosa.
Algunos precios de los templos son rígidos para personas de mentalidad religiosa.
Por lo tanto, algunos precios de los templos no son verdaderos mexicanos. (El oyente agrega esta proposición más adelante al argumento)
En este silogismo, el orador no enunció la conclusión, pero el oyente la entendió al considerar la intención del orador y el contexto del argumento, como "Algunos precios de los templos no son verdaderos mexicanos”. Este silogismo corresponde a la segunda figura del silogismo basado en su posición de término medio en las premisas. Comprende proposiciones categóricas E, I, O. Satisface todas las reglas silogísticas. Por tanto, es un silogismo válido de la segunda figura denominada FESTINO. Hay ciertos casos en los que un hablante comparte dos premisas con el oyente, que son proposiciones categóricas negativas (es decir, E y O) o proposiciones categóricas particulares (es decir, I y O), el oyente no podrá derivar ninguna conclusión de estas dos. local. Si el oyente intenta derivar la conclusión no declarada del argumento, el argumento se consideraría un silogismo inválido, ya que no satisfará algunas de las reglas silogísticas. Por tanto, a partir de dos proposiciones categóricas negativas y dos proposiciones categóricas particulares, no se puede inferir ninguna conclusión (entimema de tercer orden).
3.4 Sorites
Un silogismo categórico consta de tres proposiciones: dos premisas y una conclusión. La conclusión de un silogismo se extrae de dos premisas considerándolas juntas. A diferencia del silogismo, un sorites requiere más de tres proposiciones para inferir la conclusión. En resumen, un sorites consta de más de tres proposiciones. La última proposición de los sorites se conoce como conclusión, y el resto de las proposiciones han tratado las premisas y/o conclusiones en función de sus posiciones en el argumento. Un sorites no se considera un silogismo, sino una cadena de silogismos categóricos. En sorites, todo el argumento es válido cuando los silogismos constituyentes se tratan como válidos. Las características más destacadas de un sorites son las siguientes: consta de más de tres premisas y la última proposición se considera una conclusión. Cada término de un silogismo constituyente de la cadena de silogismos categóricos aparece sólo dos veces. Además, algunas de las premisas y/o conclusiones se expresan entimemáticamente. La premisa no declarada y/o la conclusión del argumento deben agregarse al silogismo constituyente de la cadena de silogismos para llegar a la conclusión deseada. Al probar la validez de un sorites, debemos considerar las premisas y/o conclusiones no declaradas o faltantes de todo el argumento.
Un ejemplo de sorites
Todas las aves son criaturas voladoras. (Proposición-1)
Algunas especies emplumadas son aves. (Proposición-2)
Todas las especies emplumadas son animales bípedos.
En este ejemplo, se nos dan tres proposiciones categóricas. Ahora, necesitamos averiguar si estas tres proposiciones categóricas deben ser consideradas como premisa-1, premisa-2 y conclusión o no. Tras un examen, se encuentra que la última proposición no está vinculada a las otras dos proposiciones. Por tanto, no se consideraría como una conclusión del argumento. Entonces, necesitamos agregar una proposición después de la segunda proposición y antes de la última proposición. Es decir, "Algunas especies emplumadas son criaturas voladoras". Esta proposición se infiere considerando una regla silogística que establece que cada término debe aparecer dos veces en un silogismo, y el término medio debe establecer un vínculo entre el término mayor y el término menor para sacar una conclusión de un argumento. Entonces, la proposición "Algunas especies emplumadas son criaturas voladoras" se trata como un entimema de tercer orden. También se trata como una conclusión cuando consideramos la proposición 1 y la proposición 2 del argumento. Después de agregar la proposición "Algunas especies emplumadas son criaturas voladoras" al argumento, se encuentra que la última proposición no debe considerarse como una conclusión de los sorites. Las razones son que obtenemos un nuevo término animales bípedos en la parte del predicado de la proposición que no aparece dos veces en el argumento. Además, en consideración de las proposiciones “Algunas especies emplumadas son criaturas voladoras” y “Todas las especies emplumadas son animales bípedos”, encontramos un término intermedio (es decir, especies emplumadas) que se conecta con “animales bípedos” por un lado, y criaturas voladoras por otra parte. Como resultado, nos ayuda a sacar una conclusión, es decir, algunos animales bípedos son criaturas voladoras. Ahora, si consideramos el argumento completo, encontramos que el argumento consta de cinco proposiciones categóricas. La última proposición, "Algunos animales bípedos son criaturas voladoras", se considera una conclusión y las proposiciones anteriores se consideran premisas. Sin embargo, la proposición "Algunas especies emplumadas son criaturas voladoras" se considera tanto una premisa como una conclusión. Se considera una conclusión cuando consideramos la proposición 1 y la proposición 2 del argumento. Se trata como una premisa cuando consideramos que la proposición "Todas las especies emplumadas son animales bípedos" es una premisa, y "Algunos animales bípedos son criaturas voladoras" es una conclusión. En este caso, la conclusión de los sorites es un entimema de tercer orden, que no se declaró explícitamente en el argumento dado. Este sorites consta de dos silogismos de la siguiente manera:
Todas las aves son criaturas voladoras. (Proposición-1)
Algunas especies emplumadas son aves. (Proposición-2)
Algunas especies emplumadas son criaturas voladoras. (Proposición-3 y conclusión)
Todas las especies emplumadas son animales bípedos. (Proposición-4)
Por tanto, algunos animales bípedos son criaturas voladoras. (Conclusión)
Ahora, necesitamos probar estos sorites para averiguar si son sorites válidos o no. Al considerar la proposición-1, la proposición-2 y la proposición-3, encontramos que la proposición-1 y la proposición-2 se consideran la premisa principal y la premisa menor, respectivamente, y la proposición-3 es una conclusión válida. Es así porque la conclusión se extrae de las dos premisas al tomarlas juntas sin violar ninguna regla silogística. El modo válido del silogismo es AII, y corresponde a la primera figura del silogismo. Este silogismo válido se llama DARII. Este silogismo es uno de los componentes de las salidas. La razón es que además de este silogismo, encontramos otro silogismo cuando consideramos la proposición-3, la proposición-4 y la conclusión (última proposición) de los sorites. En este silogismo, la proposición-3 y la proposición-4 se consideran como premisa mayor y premisa menor, respectivamente. La conclusión del silogismo se infiere de la proposición-3 y la proposición-4 al tomarlas juntas. Este silogismo corresponde a la tercera figura y satisface todas las reglas silogísticas. El modo válido del silogismo es IAI, y se llama DISAMIS. La proposición "Algunos animales bípedos son criaturas voladoras" se trata como la conclusión del segundo silogismo y también como conclusión de los sorites.
Otro ejemplo de sorites
Todos los estudiantes son personas educadas.
Todas las personas educadas son nadadores.
Ningún animal cuadrúpedo es una persona educada.
Por lo tanto, ningún animal cuadrúpedo es nadador.
En este ejemplo, se dan cuatro proposiciones categóricas. Ahora, necesitamos averiguar si las primeras tres proposiciones categóricas deben considerarse como premisas y la cuarta proposición debe considerarse como una conclusión de los sorites o no. Al examinar estas cuatro proposiciones, se encuentra que la primera proposición y la segunda proposición están vinculadas entre sí, pero no están vinculadas entre sí a la tercera proposición. La razón es que, en la tercera proposición, encontramos un nuevo término animales cuadrúpedos que no se encuentra ni en la primera proposición ni en la segunda proposición. Por tanto, la tercera proposición “Ningún animal cuadrúpedo es persona educada” no puede extraerse de la primera y la segunda proposición considerándolas juntas. Además, se observa que la tercera proposición está vinculada a la cuarta proposición (es decir, conclusión). Entonces, falta una proposición en la cadena de silogismos, que necesitamos identificar. Una vez que agreguemos la proposición no declarada a la cadena de silogismos, podremos probar los sorites si es válida o no. Si consideramos las proposiciones primera y segunda, sacaremos la conclusión Todos los nadadores son estudiantes. Pero esta no es la tercera proposición dada en el argumento. Además, esta proposición no está vinculada a la tercera proposición dada, "Ningún animal cuadrúpedo es persona educada". La razón es que no se encuentra un término intermedio entre las proposiciones "Todos los nadadores son estudiantes" y "Ningún animal cuadrúpedo es una persona educada". Por lo tanto, necesitamos agregar una proposición, es decir, "Todos los nadadores son estudiantes" antes de la primera proposición del argumento dado para sacar la conclusión "Todas las personas educadas son nadadores". La conclusión "Todas las personas educadas son nadadores" está vinculada a la proposición "Ningún animal cuadrúpedo es persona educada" y, por lo tanto, ayuda a sacar la conclusión "Ningún animal cuadrúpedo es nadador". Aquí, "Todos los nadadores son estudiantes" se considera como el entimema de primer orden. Los soritos completos se indican a continuación.
Todos los nadadores son estudiantes. (Proposición-1)
Todos los estudiantes son personas educadas. (Proposición-2)
Todas las personas educadas son nadadores. (Proposición-3)
Ningún animal cuadrúpedo es una persona educada. (Proposición-4)
Por lo tanto, ningún animal cuadrúpedo es nadador. (Conclusión)
Este sorites es una cadena de dos silogismos. El primer silogismo consiste en la proposición 1, la proposición 2 y la proposición 3. El segundo silogismo consiste en la proposición 3, la proposición 4 y la conclusión. La proposición categórica "Todas las personas educadas son nadadores" es la conclusión del primer silogismo y la proposición categórica "Ningún animal cuadrúpedo es nadador" es la conclusión del segundo silogismo. Al examinar esta cadena de silogismo, se encuentra que el primer silogismo corresponde a la cuarta figura del silogismo y viola las reglas silogísticas. Se encuentra con una falacia conocida como "menor ilícito". Dado que uno de los constituyentes (primer silogismo) de los sorites no es válido, los sorites se tratan como inválidos.
3.5 Silogismo hipotético puro
En un silogismo hipotético puro, las proposiciones constituyentes deben ser proposiciones hipotéticas. En otras palabras, un silogismo se considera puramente hipotético cuando su premisa mayor, premisa menor y conclusión son proposiciones hipotéticas. Un ejemplo,
Si Migue estudia lógica, aprenderá lecciones. (Premisa mayor)
Si aprende lecciones, obtendrá una buena nota. (Premisa menor)
Si Migue estudia lógica, aprenderá lecciones. (Premisa mayor)
Si aprende lecciones, obtendrá una buena nota. (Premisa menor)
Por lo tanto, si Migue estudia lógica, obtendrá una buena nota. (Conclusión)
En este silogismo, todas las proposiciones constituyentes son proposiciones compuestas porque tienen partes antecedente y consecuente. Las partes antecedente y consecuente se combinan con la expresión "si ... entonces". En la premisa principal, "Migue estudia la lógica" se considera un antecedente, y "Él aprenderá lecciones" se trata como un consecuente. Tanto el antecedente como el consecuente de una proposición hipotética se tratan como proposiciones categóricas. Con esta lógica, podemos afirmar que una proposición hipotética es una proposición compuesta de proposiciones categóricas. El silogismo hipotético puro mencionado anteriormente se puede simbolizar como:
Si X entonces Y. (premisa mayor)
Si Y entonces Z. (premisa menor)
Por lo tanto, si X entonces Z. (Conclusión)
En este silogismo, X, Y y Z se utilizan como variables proposicionales para representar proposiciones categóricas. Un silogismo hipotético puro se considera válido cuando satisface las siguientes condiciones.
(i) Debe haber una proposición categórica común que exista en la premisa mayor y la premisa menor.
(ii) La proposición categórica común será antecedente de una premisa y consecuente de otra premisa.
(iii) La conclusión no debe tener la proposición categórica común, pero debe tener un antecedente de una premisa y un consecuente de otra premisa.
Al aplicar estas tres condiciones a un silogismo hipotético puro, obtenemos dos tipos de silogismo válido. Estos son:
(a) Si X entonces Y.
Si Y entonces Z.
Por lo tanto, si X entonces Z.
(b) Si Y entonces Z.
Si X entonces Y.
Por lo tanto, si X entonces Z.
La violación de cualquiera de estas tres condiciones, el silogismo hipotético puro se consideraría inválido. Por ejemplo,
(a) Si X entonces Y.
Si Y entonces Z.
Por lo tanto, si Z entonces X.
(b) Si Y entonces Z.
Si X entonces Y.
Por lo tanto, si Z entonces X.
(c) Si X entonces Y.
Si Z entonces Y.
Por lo tanto, si X entonces Z.
(d) Si X entonces Y.
Si X entonces Z.
Por lo tanto, si Y entonces Z.
3.6 Silogismo disyuntivo puro
En un silogismo disyuntivo puro, la premisa mayor, la premisa menor y la conclusión son las proposiciones disyuntivas. Una proposición disyuntiva consta de dos proposiciones categóricas combinadas con la expresión “cualquiera ... o". Por ejemplo, "Rogelio es ingeniero o bailarín". En este ejemplo, encontramos dos proposiciones categóricas, "Rogelio es un ingeniero" y "Rogelio es un bailarín", y estas proposiciones se combinan. En el caso de una proposición disyuntiva, ambas proposiciones categóricas son proposiciones afirmativas. Es así porque no podemos formular una proposición disyuntiva negando sus dos alternativas. Además, ni siquiera podemos negar una de sus alternativas de una proposición disyuntiva. Si intentamos negar una de las alternativas a una proposición disyuntiva, cometeremos un error, que se llama estructura incorrecta de la proposición disyuntiva. Por ejemplo, "Ni Nic es cantante ni bailarina". En esta proposición, no podemos afirmar ninguna de sus alternativas, ya que rechaza ambas alternativas. Por tanto, esta proposición no se considera una proposición disyuntiva. Tomemos otro ejemplo, "O Nic es un nadador o no es un bailarín". En esta propuesta, dos alternativas no están vinculadas entre sí. Por tanto, esta proposición tampoco se considera una proposición disyuntiva en el discurso lógico. Dado que una proposición disyuntiva abarca dos proposiciones afirmativas, la regla silogística sobre la calidad no se aplica al silogismo disyuntivo puro. Los silogismos disyuntivos puros rara vez se encuentran en la lógica y el discurso lógico, por lo que los lógicos modernos no le dan mucha importancia al silogismo disyuntivo puro. Para los lógicos modernos, silogismo significa solo silogismo categórico, no cualquier tipo de argumento que tenga meramente dos premisas y una conclusión de muchas variedades. Pero para los lógicos tradicionales, un silogismo debe constar de dos premisas y una conclusión independientemente de la estructura de las proposiciones constituyentes del silogismo. A continuación se muestra un ejemplo de silogismo disyuntivo puro.
Cualquier Ana se casará con Juan o se casará con José. (Premisa mayor)
Cualquier Ana se casará con José o se casará con Miguel. (Premisa menor)
Por lo tanto, Ana se casará con Miguel o se casará con Juan. (Conclusión)
Este silogismo se puede representar simbólicamente como,
Si X entonces Y. (premisa mayor)
Si Y entonces Z. (premisa menor)
Por lo tanto, si X entonces Z. (Conclusión)
Tenga en cuenta que X, Y y Z son las variables proposicionales y representan proposiciones categóricas.
Un silogismo disyuntivo puro se considera válido cuando satisface las siguientes condiciones:
(i) Debe haber una proposición categórica común para la premisa mayor y la premisa menor.
(ii) La proposición categórica común será una de las alternativas a la premisa mayor y la premisa menor.
(iii) La conclusión no debe tener la proposición categórica común, pero debe tener una proposición alternativa de la premisa mayor y la premisa menor.
Al aplicar estas tres condiciones al silogismo disyuntivo puro, obtenemos dos silogismos válidos que se mencionan a continuación simbólicamente.
(a) Cualquier X o Y.
Cualquier Y o Z.
Por lo tanto, Z o X.
(b) Cualquier X o Y.
Cualquier Y o Z.
Por lo tanto, X o Z.
3.7 Silogismo categórico hipotético
Un silogismo categórico hipotético es un silogismo mixto en el que la premisa principal es una proposición hipotética. La premisa menor y la conclusión son las proposiciones categóricas. El antecedente de la premisa mayor es la premisa menor y el consecuente de la premisa mayor es la conclusión del silogismo. Un ejemplo,
Si María viene a la clase de piano, aprenderá las lecciones. (Premisa mayor)
María llega a la clase de piano. (Premisa menor)
Por lo tanto, aprenderá las lecciones. (Conclusión)
Este silogismo se representa simbólicamente como,
Si X entonces Y.
X.
Por tanto, Y.
Tenga en cuenta que el alfabeto X e Y son las variables proposicionales y representan proposiciones categóricas en el argumento mencionado anteriormente. Un silogismo categórico hipotético tiene dos formas válidas: modus ponens y modus tollens. Modus ponens se conoce como silogismo constructivo, mientras que modus tollens se conoce como silogismo negativo. Modus ponens se considera un estado de ánimo afirmativo. La razón es que la palabra ponens se deriva de la palabra latina ponere, que significa "afirmar". Modus ponens tiene las siguientes reglas para validar un argumento.
(i) Afirmar el antecedente de la premisa mayor en la premisa menor, y
(ii) Afirmar el consecuente de la premisa mayor en conclusión.
Al satisfacer estas dos reglas, podemos tener el siguiente modus ponens válido, representado simbólicamente.
(a) Si X entonces Y.
X.
Por tanto, Y.
(b) Si X entonces no Y.
X.
Por lo tanto, no Y.
(c) Si no es X, entonces Y.
Angustia X.
Por tanto, Y.
(d) Si no es X, entonces no Y.
Angustia X.
Por lo tanto, no Y.
Si se da la violación de las reglas del modus ponens, cometemos la falacia conocida como "negar el antecedente". Por ejemplo,
Si X entonces Y. (premisa mayor)
No X. (premisa menor)
Por lo tanto, no Y. (Conclusión)
Este silogismo es falaz porque negamos el antecedente de la premisa mayor en la premisa menor y negamos el consecuente de la premisa mayor en conclusión. Si reducimos este silogismo al silogismo categórico puro, encontramos el siguiente silogismo.
R: Todos los casos de X son casos de Y.
O: Este no es un caso de X.
O: Por lo tanto, este no es un caso de Y.
Este silogismo no es válido porque el término mayor se distribuye en conclusión, pero no se distribuye en la premisa mayor. De ahí que el silogismo cometa una falacia conocida como "ilícita mayor". Modus tollens es también una forma válida de un silogismo categórico hipotético. Se le conoce como silogismo negativo, ya que posee un estado de ánimo negativo. La palabra tollens se deriva de la palabra latina tollere, que significa negar o negar. Modus tollens tiene las siguientes reglas para validar un argumento.
(i) Negar el consecuente de la premisa mayor en la premisa menor, y
(ii) Negar el antecedente de la premisa mayor en conclusión. Una vez cumplidas estas reglas, podemos tener las siguientes tolerancias de modo válidas, como se presenta a continuación simbólicamente.
(a) Si X entonces Y.
No es Y.
Por lo tanto, no X.
(b) Si X entonces no Y.
Y.
Por lo tanto, no X.
(c) Si no es X, entonces Y.
No es Y.
Por tanto, X.
(d) Si no es X, entonces no Y.
Y.
Por tanto, X.
Violación de las reglas del modus tollens, cometemos la falacia conocida como "afirmar el consecuente". Un ejemplo,
Si X entonces Y. (premisa mayor)
Y. (premisa menor)
Por tanto, X. (Conclusión)
Este silogismo es falaz porque afirmamos el consecuente de la premisa mayor en la premisa menor y afirmamos el antecedente de la premisa mayor en conclusión. Si reducimos este silogismo al silogismo categórico puro, encontramos el siguiente silogismo.
A: Todos los casos de X son casos de Y.
I: Este es un caso de Y.
I: Por lo tanto, este es un caso de X.
Este no es un silogismo válido porque el término medio no se distribuye en ninguna de las premisas. Por tanto, el silogismo comete la falacia conocida como "medio no distribuido".
3.8 Silogismo categórico disyuntivo
Un silogismo se trata como silogismo categórico disyuntivo cuando su premisa principal es una proposición disyuntiva. Su premisa menor y la conclusión son proposiciones categóricas. En este silogismo, la premisa menor niega una de las alternativas de las premisas mayores y la conclusión afirma la otra alternativa de la premisa mayor. Dado que no todas las proposiciones constituyentes tienen la misma relación, el silogismo se considera un silogismo mixto. Un ejemplo del silogismo categórico disyuntivo se coloca a continuación.
Cualquier Rogelio es nadador o cantante. (Premisa mayor)
Rogelio no es nadador. (Premisa menor)
Por tanto, Rogelio es cantante. (Conclusión)
Este silogismo se representa simbólicamente como,
Cualquier X o Y. (premisa principal)
No X. (premisa menor)
Por tanto, Y. (Conclusión)
Tenga en cuenta que X e Y se utilizan como variables proposicionales y representan proposiciones categóricas. En este silogismo, con respecto a la premisa mayor, la verdad de una alternativa no implica necesariamente la falsedad de otras alternativas. Más bien, en algunas situaciones, ambas alternativas pueden considerarse verdaderas. Entonces, para averiguar la validez del silogismo, necesitamos aplicarle las reglas del silogismo categórico disyuntivo. La regla dice que negar una de las alternativas de la premisa mayor en la premisa menor es afirmar la otra alternativa de la premisa mayor en conclusión. Los siguientes silogismos válidos satisfacen las reglas del silogismo categórico disyuntivo.
(a) Cualquier X o Y.
Angustia X.
Por tanto, Y.
(b) Cualquier X o Y.
No es Y.
Por tanto, X.
La violación de las reglas del silogismo categórico disyuntivo resultaría en los siguientes silogismos inválidos.
(a) Cualquier X o Y.
X.
Por lo tanto, no Y.
(b) Cualquier X o Y.
Y.
Por lo tanto, no X.
Pero los lógicos modernos afirman que cuando dos proposiciones categóricas alternativas de la premisa mayor son mutuamente excluyentes como proposiciones contradictorias, podemos afirmar una alternativa de la premisa mayor en la premisa menor y negar la otra alternativa de la premisa mayor en conclusión. Al hacer eso, no violaremos las reglas del silogismo categórico disyuntivo. Por ejemplo,
Cualquier Mita es mujer o hombre. (Premisa mayor)
Mita es una mujer. (Premisa menor)
Por tanto, Mita no es un hombre. (Conclusión)
En este silogismo, la verdad de una alternativa implica necesariamente la falsedad de la otra alternativa de la premisa mayor. Por tanto, dos alternativas mencionadas en la premisa principal son mutuamente excluyentes. Pero, cuando dos proposiciones categóricas de una premisa mayor disyuntiva no son mutuamente excluyentes, tenemos que aplicar las reglas del silogismo categórico disyuntivo para comprobar la validez del argumento.
3.9 Dilema
Un dilema es cuando al ser humano le resulta difícil optar por una opción entre dos o muchas alternativas. Por ejemplo, una persona quiere llegar a un destino en diez minutos. En este caso, si espera un autobús del gobierno, es posible que no llegue a su destino a tiempo porque algunos autobuses del gobierno no llegan a tiempo. Si viaja en un auto- compartido, es posible que no llegue a su destino a tiempo porque los auto- compartidos se detienen de vez en cuando y luego reciben más pasajeros en sus rutas. En esta coyuntura, se encuentra en el dilema de optar por un autobús del gobierno o un auto- compartido para llegar al destino. Otro ejemplo, la mayoría de los padres en la India se encuentran en un dilema acerca de si enviar sus recompensas para estudios de ingeniería o medicina que han aprobado el duodécimo examen estándar de ciencias con un alto porcentaje de calificaciones. Un dilema es un silogismo mixto en el que la premisa mayor es una proposición compuesta hipotética, la premisa menor es una proposición disyuntiva y la conclusión es una proposición categórica o disyuntiva. En la premisa menor, necesitamos afirmar el antecedente o negar el consecuente de la premisa mayor. Un ejemplo simbólico de dilema,
Si X entonces Y y si L entonces Y. (premisa principal)
Cualquier X o L. (premisa menor)
Por tanto, Y. (Conclusión)
Aquí, X, Y y L se utilizan como variables proposicionales y representan proposiciones categóricas. El dilema surge en este silogismo debido a su principal premisa hipotética compuesta. La razón está en la premisa menor si queremos afirmar el antecedente, cuyas proposiciones tenemos que tomar en consideración como antecedente de la premisa mayor. ¿Es "Si X entonces Y" o "X y L"? Además, si deseamos negar el consecuente de la premisa mayor en la premisa menor, ¿qué proposiciones deben tomarse en consideración de la premisa mayor? ¿Es "Si L entonces Y" o "Y" solo? El dilema también persiste en la conclusión. Se trata de si la conclusión debe afirmarse o negarse. Si deseamos afirmar las proposiciones en conclusión, entonces, ¿qué proposiciones deben afirmarse, y si deseamos negar las proposiciones en conclusión, entonces, qué proposiciones deben ser negadas? Además, ¿la conclusión debe ser categórica o disyuntiva? Un dilema será juzgado como constructivo o destructivo según la calidad de su premisa menor. En caso de un dilema constructivo, la premisa menor disyuntiva afirma alternativamente el antecedente de la premisa mayor hipotética compuesta. En caso de un dilema destructivo, la premisa menor disyuntiva niega alternativamente el consecuente de la premisa mayor hipotética compuesta. Un dilema que será tratado como simple o complejo se basa en la conclusión del dilema. Si la conclusión es una proposición categórica, el dilema se considera un simple dilema. Pero si la conclusión es una proposición disyuntiva, entonces el dilema se considera un dilema complejo. Considerando un dilema simple, un dilema complejo, dilema constructivo y dilema destructivo, tenemos cuatro formas de dilemas. Estos son,
(i) Dilema constructivo simple
(ii) Dilema constructivo complejo
(iii) Dilema destructivo simple
(iv) Dilema destructivo complejo.
9.10 Formas de dilema
En los siguientes ejemplos de dilemas, X, Y, L y M se utilizan como variables proposicionales y representan proposiciones categóricas.
Dilema constructivo simple
La representación simbólica de un simple dilema constructivo es,
Si X entonces Y y si L entonces Y. (premisa principal)
Cualquier X o L. (premisa menor)
Por tanto, Y. (Conclusión)
Un ejemplo concreto de un simple dilema constructivo es,
Si una mujer se guía por la opinión de los demás, será criticada y si un
la mujer actúa según sus juicios, entonces será criticada.
Una mujer actúa según la opinión de los demás o según su
juicios.
En cualquier caso, será criticada.
La representación simbólica de un dilema constructivo complejo es,
Si X entonces Y y si L entonces M. (premisa mayor)
Cualquier X o L. (premisa menor)
Por lo tanto, o Y o M. (Conclusión)
Un ejemplo concreto de un dilema constructivo complejo es,
Si María canta una canción, será venerada y si Ana juega bádminton, será reconocida.
Cualquier Ana cantará una canción o Maria jugará bádminton. Por lo tanto, se venerará a Ana o se reconocerá a María.
Dilema destructivo simple
La representación simbólica de un simple dilema destructivo es,
Si X entonces Y y si X entonces M. (premisa mayor)
Cualquier no Y o no M. (premisa menor)
Por tanto, no X. (Conclusión)
Un ejemplo concreto de un simple dilema destructivo es,
Si el cielo está despejado, entonces hay sol y si el cielo está despejado, entonces hay luna.
Cualquier no hay sol o no hay luna.
Por tanto, el cielo no está despejado.
Dilema destructivo complejo
La representación simbólica de un complejo dilema destructivo es,
Si X entonces Y y si L entonces M. (premisa mayor)
Cualquier no Y o no M. (premisa menor)
Por lo tanto, o no X o no L. (Conclusión)
Un ejemplo concreto de un dilema destructivo complejo es,
Si un estudiante es obediente, obedecerá las órdenes y si es inteligente, entonces
entenderá las lecciones.
Cualquier no obedece las órdenes o no comprende las lecciones.
Por lo tanto, o no es obediente o no es inteligente.
3.11 Lógica simbólica
3.11.1 Nacimiento de la lógica simbólica
En los manuscritos anteriores, mencionamos que la lógica se ocupa de los argumentos. Los argumentos contienen proposiciones y una proposición consta de unas pocas palabras y de términos. Dado que los argumentos se formulan en lenguaje natural (lenguaje ordinario), las palabras y los términos utilizados en los argumentos a menudo se asocian con vaguedad y ambigüedades y, por lo tanto, confunden (tergiversan/distorsionan) el significado de las proposiciones de los argumentos. Debido al significado engañoso de las proposiciones, la validez e invalidez de un argumento no se determinaría correctamente. Por ejemplo, "Los estudiantes de lógica no son malos". En esta proposición, el término "malo" es vago porque carece de precisión. Puede referirse al comportamiento de los estudiantes de lógica o al desempeño de los estudiantes en los cursos de lógica, o puede referirse además a la capacidad de razonamiento de los estudiantes de lógica. Por lo tanto, para derivar la conclusión del argumento y juzgar la validez y la invalidez del argumento de manera correcta y sencilla, los lógicos propusieron "lógica simbólica" en el sujeto de la lógica. Se observa que los argumentos formulados a través del lenguaje natural son demasiado grandes, ya que consta de unas pocas proposiciones compuestas y complejas. Un argumento involucrado con la complejidad a menudo se enreda con ambigüedades y confusión. Por ejemplo, la diferencia entre el cuadrado de los dos números es igual al producto de la suma y la diferencia de los dos números. Esta expresión está involucrada con la complejidad ya que se formula a través del lenguaje natural. Crea confusión para los lectores a menos que estén al tanto del álgebra elemental, las ecuaciones matemáticas y sus interpretaciones. Pero para evitar confusiones y aportar claridad a esta expresión, se puede traducir a la forma simbólica como x2 - y2 = (x + y) (x - y). En esta expresión simbólica, x e y se consideran variables y se puede asignar cualquier número a estas variables. De esta manera, para detener las lagunas y evitar las deficiencias del lenguaje natural de un argumento, los lógicos intentaron reformar la lógica clásica y desarrollar la "lógica simbólica". En lógica simbólica, cada proposición se comunica a través de una variable proposicional. Entonces, es más fácil averiguar la validez o invalidez de un argumento. Según Mitchell, los símbolos especiales de la lógica simbólica nos permiten exhibir con mayor claridad las estructuras lógicas de los argumentos que pueden quedar oscurecidas por la formulación en lenguaje natural (lenguaje ordinario[1]). Aristóteles introdujo la noción de "variable" al sujeto lógico en el siglo IV. Sus trabajos se limitan a la formulación de la proposición lógica a través de términos sujeto-predicado, descubrir la estructura correcta de la proposición de un argumento, determinar la validez e invalidez de un argumento aplicando las reglas silogísticas, etc. fundamento de la lógica. Por tanto, la lógica aristotélica se denomina lógica clásica. En el siglo XVII, G. W. Von Leibniz (1646-1716) propuso el desarrollo de la lógica clásica. Sugirió que "podría idearse un cálculo universal del razonamiento que proporcionaría un método automático de solución para todos los problemas y que podría expresarse en el lenguaje universal[2]". Siguiendo a Leibniz, George Boole (1815-1864), un matemático-filósofo inglés; Augustus DeMorgan (1806-1871), matemático y lógico nacido en India; Charles Peirce (1839-1914), un filósofo estadounidense, ha elaborado en detalle el tema de la "lógica simbólica" y lo ha mencionado como un tema de estudio independiente. En el siglo XX, el matemático y filósofo alemán Gottlob Frege (1848-1925), el matemático italiano Guiseppe Peano (1858-1935), el matemático y filósofo inglés Alfred North Whitehead (1861-1947), el filósofo británico Bertrand Russell (1872-1970), el filósofo estadounidense CI Lewis (1883-1964), el lógico polaco-estadounidense Alfred Tarski (1901-1983) y algunos otros han contribuido con sus trabajos sobre el tema de la "lógica simbólica[3]". Este tema es ahora rico en su alcance e importante en su aplicación en la formulación de argumentos y su validación. Según Morrill, la lógica simbólica es una rama de la lógica que representa cómo debemos razonar mediante el uso de un lenguaje formal compuesto por símbolos abstractos[4]. En opinión de Whitehead (1911), con la ayuda del simbolismo, podemos hacer transiciones en el razonamiento casi mecánicamente por el ojo, que de otro modo pondrían en juego las facultades superiores del cerebro[5]. Según C. I. Lewis (1883-1964), la lógica simbólica tiene tres componentes esenciales. Estos son ideogramas, variables proposicionales y constantes lógicas (conectivas[6]).
3.12.2 Ideogramas
Los ideogramas son aquellos signos que se utilizan para transmitir ideas o conceptos sobre asuntos mundanos. Estos signos no se transmiten a través de sonidos. Son signos silenciosos. Por ejemplo, signo mayor que >, signo de resta - , etc. El signo mayor que expresa que un valor es mayor que otro valor. El signo de resta indica que menos un número de otro número. Estos signos no tienen ambigüedades ni vaguedades en su uso. Independientemente de la religión, la edad, el género y otras diferencias de los seres humanos, estos signos transmiten el mismo significado a todos. Los ideogramas se utilizan en la lógica simbólica porque transmiten el significado sin ambigüedades. Sus significados no cambian con el tiempo. El uso de ideogramas en lógica simbólica ayuda a determinar el valor de verdad de las proposiciones y la validez de los argumentos. Los fonogramas son aquellos signos que se utilizan para expresar objetos y conceptos de asuntos mundanos a través de sonidos o palabras. En otras palabras, los fonogramas son los sonidos que corresponden a objetos o conceptos del mundo fenoménico. En el lenguaje natural, los fonogramas se transmiten a través de sonidos. Por ejemplo, "signo de interrogación", "resta", "suma", etc., se pronuncian en palabras en el lenguaje natural (es decir, lenguaje ordinario). Dado que el lenguaje natural no está libre de ambigüedades y vaguedades, los fonogramas no son útiles para la lógica simbólica.
3.12.2 Variables proposicionales y conectivas lógicas
En aritmética, los alfabetos ingleses pequeños x, y, z, etc., se utilizan como variables de un enunciado matemático y una ecuación. Estas variables representan un valor o un número. Pero en la lógica simbólica, x, y, z, etc., se utilizan como variables para representar proposiciones. Por tanto, en el discurso de la lógica simbólica, x, y, z, etc., se tratan como variables proposicionales. Por ejemplo, p es una variable proposicional que puede representar "El cielo es azul" o "La hierba es verde" o “Rogelio es un chico alto" o alguna otra proposición. En el caso de una proposición compuesta, se usa más de una variable proposicional para representar la proposición. Digamos, “José es un nadador y Pedro es un jugador de fútbol”. En esta proposición, dos proposiciones se combinan con la palabra "y". Entonces, podemos asignar una variable proposicional única a cada proposición constituyente. Es decir, p significa que Rogelio es un nadador "y q significa que Mario es un jugador de fútbol”. Entonces, podemos escribir "p y q". Una proposición se juzga necesariamente como verdadera o falsa en el discurso lógico. No se puede juzgar como verdadero y falso a la vez. Además, no es posible juzgar una proposición como ni verdadera ni falsa en un momento dado. Por tanto, la verdad y la falsedad de una proposición se consideran valores de la proposición. Si una proposición es verdadera, entonces su negación será falsa, y si una proposición es falsa, entonces su negación se considera verdadera. Entonces, invariablemente, una proposición tiene un valor de verdad. Una variable proposicional representa una variedad de proposiciones en diferentes contextos. Entonces, no tiene ningún significado fijo. Por lo tanto, la mayor consideración de proposicional las variables no bastarían para traducir proposiciones del lenguaje natural en proposiciones simbólicas. Necesitamos constantes lógicas (conectivas) además de variables proposicionales para traducir las proposiciones del lenguaje natural en proposiciones simbólicas. Los conectivos lógicos combinan las variables proposicionales y las ponen juntas en un paréntesis como un todo para transmitir su significado. Los significados de los conectivos lógicos no cambian de vez en cuando, de un argumento a otro argumento, y de un contexto a otro contexto. Sus significados permanecen fijos todo el tiempo. Conectivos lógicos Hay seis conectivos lógicos que se utilizan en lógica simbólica. Además de eso, la "negación" se utiliza como una constante lógica en el discurso lógico. La "negación" se trata como un operador unario porque está destinada a negar una variable proposicional en la lógica simbólica y una proposición en el lenguaje natural. Por lo tanto, no se considera un conectivo lógico sino un operador funcional de verdad. Los seis conectivos lógicos requieren un mínimo de dos variables proposicionales para su conexión y, por lo tanto, se consideran operadores binarios.
Operador unario (constante lógica) ~
Operador binario (conectivos lógicos) ∧, ∨, →, ≡, ↓, |
La constante lógica y las conectivas lógicas son
(i) Negación
(ii) Conjunción
(iii) Disyunción
(iv) Implicación
(v) Equivalencia
(vi) Daga
(vii) Accidente cerebrovascular
La constante lógica y las conectivas lógicas tienen símbolos únicos y distintos
connotaciones. Los detalles se presentan a continuación.
 16.46.33.png)
En lógica simbólica, una variable proposicional representa una proposición simple o atómica. Digamos que "p" es una variable proposicional que representa una proposición atómica (proposición simple) "La nieve es blanca". Escribimos la proposición en forma simbólica como "p". Si se niega la proposición, entonces escribimos "La nieve no es blanca", y su forma simbólica es "~p", que se lee como "no p". Debe notarse aquí que la negación lógica constante 'siempre está asociada con una variable proposicional solamente. Por ejemplo,
p - La nieve es blanca.
~ p - La nieve no es blanca.
~~ p - No es cierto que la nieve no sea blanca.
El símbolo "~" se comunica a través de muchas expresiones de lenguajes naturales, por ejemplo, no es cierto, es falso y no es el caso. Considere un ejemplo; consideremos que p, r, t son variables proposicionales. Estas variables se presentan simbólicamente para las siguientes proposiciones.
~ p - No es cierto que el sol salga por el oeste.
~ r - Es falso que los cuervos sean blancos.
~ t - No es el caso de que las mujeres hermosas sean inmortales.
La conjunción conectiva lógica 'está vinculada a dos proposiciones simples y, por lo tanto, está conectada con dos variables proposicionales a la vez. Se simboliza como "∧" y se lee como "y". Por ejemplo, "m" significa “Rogelio es un buen chico" y "n" significa "Mini es un cantante". Estas dos proposiciones simples se combinan con la conjunción conectiva lógica ", y está escrito como Rogelio es un buen chico y María es un cantante". Esta proposición compuesta se simboliza como "m ∧ n". A continuación se mencionan algunos ejemplos más.
m - Rogelio es un buen chico.
n - María es cantante.
m ∧ n - Rogelio es un buen chico y María es cantante.
~ m ∧ n - Rogelio no es un buen chico y María es cantante.
m ∧ ~ n - Rogelio es un buen chico y María no es cantante.
~ m ∧ ~ n - Rogelio no es un buen chico y María no es cantante.
El símbolo lógico “∧” se puede usar para las siguientes expresiones del lenguaje natural, pero no se limita solo a estas, ambos, aunque, pero, sin embargo, además, todavía, etc. Tome un ejemplo, considere p, r, n, m son las variables proposicionales. Estas variables se presentan simbólicamente para las siguientes proposiciones.
p - María es nadadora.
r - María es una chica bajita.
n - María es sincera.
m - Gita es nadadora.
p ∧ r - María es nadadora pero es una niña pequeña.
p ∧ ~ n - María es nadadora aunque no es sincera.
m p - Tanto Gita como María son nadadores.
~ n ∧ p - María no es sincera, pero es nadadora.
La "disyunción" conectiva lógica está vinculada a dos variables proposicionales y, por lo tanto, está asociada a una proposición compuesta. Está simbolizado como "∨". Por ejemplo, x significa "La nieve es blanca" e y significa "La hierba es verde". Si estas dos proposiciones simples se combinan con la disyunción conectiva lógica, se convertiría en una proposición compuesta. Esta proposición compuesta se escribe como "O la nieve es blanca o la hierba es verde". Se presenta simbólicamente como "x" ∨ y". A continuación se mencionan algunos ejemplos.
x - La nieve es blanca.
y - La hierba es verde.
x ∨ y: la nieve es blanca o la hierba es verde.
~ x ∨ y: la nieve no es blanca o la hierba es verde.
x ∨ ~ y: la nieve es blanca o la hierba no es verde.
~ x ∨ ~ y: la nieve no es blanca o la hierba no es verde.
Una proposición lógica formulada con una expresión "si-entonces" se llama proposición hipotética o implicativa o condicional. La proposición hipotética consta de dos partes, a saber, antecedente y consecuente. La implicación conectiva lógica se conecta con dos partes (es decir, dos variables proposicionales) y establece su relación. "Implicación" se simboliza como "→". Tome un ejemplo, considere dos proposiciones simples; “Ana vendrá al patio de recreo" y “Rogelio devolverá sus notas de clase". Si combinamos estas dos proposiciones con el conectivo lógico "implicación", la proposición compuesta se escribiría como "Si Rogelio vendrá al patio de recreo, José devolverá sus apuntes de clase". Esta proposición hipotética se simboliza como "x → y". Algunos ejemplos más son los siguientes:
x - María vendrá al patio de recreo.
y - Ana devolverá sus notas de clase.
x → y - Si María va al patio de recreo, Ana devolverá sus notas de clase.
~ x → y - Si María no viene al patio de recreo, Ana devolverá sus notas de clase.
x → ~ ??y - Si María va al patio de recreo, Ana no devolverá sus notas de clase.
~ x → ~ ??y - Si Ana no viene al patio de recreo, Ana no devolverá sus notas de clase.
La "equivalencia" conectiva lógica se conoce popularmente como "bicondicional". Se relaciona con dos proposiciones atómicas o simples que se combinan con una expresión sí y sólo si ". La expresión si y solo si "se simboliza como" ≡ ". Por ejemplo, "p" significa "Serás ascendido en el trabajo" y "q" significa "Calificarás en el examen escrito". Si estas dos proposiciones simples se combinaran con el conectivo lógico "equivalencia", entonces se convertiría en una proposición compuesta y sería estar escrito como "Serás ascendido en el puesto si y solo si calificas para el examen escrito". Esta proposición compuesta se representa simbólicamente como "x ≡ y". A continuación se ofrecen algunos ejemplos más.
p - Serás ascendido en el puesto.
q - Calificarás la prueba escrita.
p ≡ q - Serás ascendido en el trabajo si y solo si calificas para el examen escrito.
~ p ≡ q - No serás promovido en el trabajo si y solo si calificas para el examen escrito.
p ≡ ~ q - Serás ascendido en el trabajo si y solo si no calificas para el examen escrito.
~ p ≡ ~ q - No serás promovido en el trabajo si y solo si no calificas la prueba escrita.
La "daga" conectiva lógica se simboliza como "↓". Connota "ninguno no”. Se entiende como "negación conjunta". Se conecta con dos variables proposicionales simples. Por ejemplo, "p" significa "Él es honesto" y "q" significa "Es estudioso". Si estas dos simples proposiciones se combinan con el conectivo lógico "daga", entonces se escribiría como "Ni él es honesto ni es estudioso". Esta proposición compuesta se simboliza como "p ↓ q". A continuación se colocan algunos ejemplos relacionados con el conector daga.
p - Es honesto.
q - Es estudioso.
p ↓ q - Ni es honrado ni estudioso.
~ p ↓ q - Ni no es honesto ni es estudioso.
p ↓ ~ q - Ni es honrado ni estudioso.
~ p ↓ ~ q - Ni no es honesto ni estudioso.
El "trazo" es un conectivo lógico y un operador binario. Se conecta con dos proposiciones simples y formula una proposición compuesta. Está simbolizado como "|". Se expresa sobre la "negación alternativa" de la proposición compuesta. No connota ambos ”. Por ejemplo, "b" significa "Es una silla" y "q" significa "Es una mesa". Si estas dos proposiciones simples se combinaran con el trazo conectivo lógico", entonces se convertiría en una proposición compuesta y se escribiría como No es tanto una silla como una mesa". Se simboliza como "p | q ’.
p - Es una silla.
q - Es una mesa.
p | q - No es una silla y una mesa a la vez.
Un argumento simbólico consta de algunas proposiciones simbólicas. Cada proposición simbólica consta de unas pocas variables proposicionales y constantes lógicas, así como conectivos lógicos. Si una proposición simbólica compuesta consta de muchas variables proposicionales y conectivos lógicos junto con constantes lógicas, entonces tenemos que limitar el alcance de cada proposición que está unida con otra proposición. Para hacerlo, necesitamos usar paréntesis "()", llaves "{}" y corchetes "[]" en un orden jerárquico en la proposición. Esto nos ayudaría a mantener en orden las proposiciones simbólicas y aclarar el vínculo entre dos proposiciones simbólicas en un argumento.
 12.46.30.png)
Las proposiciones simbólicas se formulan con variables proposicionales, constantes lógicas, conectivos lógicos con paréntesis, llaves y corchetes apropiados cuando sea necesario. Si una proposición compuesta simbólica consta de más de dos variables y conectivos lógicos, entonces necesitamos identificar el conectivo lógico principal de la proposición. El conectivo lógico principal ayuda a identificar la relación entre dos proposiciones. El conectivo lógico principal también guía en la traducción de proposiciones simbólicas a la proposición lógica del lenguaje natural. Al identificar los paréntesis, llaves y corchetes correctos de una proposición simbólica, podemos identificar su conectivo lógico principal. Los paréntesis, llaves y corchetes limitan el alcance de las proposiciones compuestas de la proposición simbólica. La técnica para identificar la conexión lógica principal de una proposición simbólica se aclara a continuación. Consideremos la proposición simbólica [{~ (p ∧ s) → (q ∨ r)} ∨ p]. En esta propuesta, el más a la derecha "tiene el mayor alcance. Se trata como el conectivo lógico principal de la proposición porque contiene otros conectivos lógicos y constantes lógicas en su alcance. El tema conectivo lógico "∨" se conecta con dos proposiciones "{~ (p ∧ s) → (q ∨ r)}" y "p". A continuación, la conectiva lógica principal de la proposición "{~ (p ∧ s) → (q ∨ r)}" es "→". Es así porque "~ (p ∧ s)" y "(q ∨ r)" están en su alcance. A continuación, en consideración de la proposición "(q ∨ r)", la conectiva lógica principal es "∨", ya que conecta las proposiciones "q" y "r". En consideración de la proposición '~ (p s)', es el '~' lo que niega la proposición compuesta 'p' s. Es el alcance mínimo de la proposición compuesta. Además, es el "∧" el que representa la conexión lógica principal de "p" y "s". Identificar el conectivo lógico principal de algunas de las proposiciones simbólicas.
Proposition simbólica Constante lógica principal o conectiva
 12.34.03.png)
Ahora, vamos a formular argumentos simbólicos a partir de proposiciones simbólicas.
Consideremos las siguientes proposiciones simbólicas.
(i) {((p → q) ∧ p) → q}
(ii) {((p → q) ∧ ~ q) → ~ p}
(iii) {((p → q) ∧ ~ p) → ~ q}
(iv) {(~ (p ∧ q) ∧ p) → ~ q}
(v) {((p ∨ q) ∧ ~ p) → q}
(vi) [{(p ∧ ~ r) ∧ (~ r ∨ q)} → ((r ∨ q) ∧ ~ p)]
Considere la proposición simbólica {((p → q) ∧ p) → q}. En esta proposición, la conexión lógica principal es "→". La principal implicación conectiva lógica "se conecta con el antecedente ((p → q) ∧ p) y la consecuente q de la proposición. En el consecuente, se encuentra una variable proposicional (proposición simple) q. Este consecuente se deriva del antecedente ((p → q) ∧ p). Con respecto al antecedente de la proposición, "∧" es el conectivo lógico principal del antecedente según el paréntesis. Por lo tanto, el antecedente consta de dos proposiciones, una proposición compuesta (p → q) y una proposición simple p. La proposición compuesta y la proposición simple juntas concluyen q, como consecuencia de la proposición. Por lo tanto, podemos decir que q "se sigue del antecedente ((p → q) ∧ p). Mientras que la proposición simbólica se traduce a una forma de argumento, tenemos que identificar el conectivo lógico principal de la proposición simbólica. La conexión lógica principal de la proposición simbólica es principalmente "→". Representa la expresión "si entonces". La parte consecuente de la proposición simbólica se considera una conclusión, y la parte o partes precedentes se consideran premisas del argumento.
En un argumento, escribimos las premisas en forma de proposiciones y sacamos una conclusión a partir de las premisas considerándolas juntas. Un argumento simbólico se puede formular a partir de la proposición simbólica {((p → q) ∧ p) → q} de la siguiente manera.
(i) Proposición simbólica: {((p → q) ∧ p) → q}
Argumento simbólico
Premisa 1: (p → q)
Premisa 2: p
Conclusión: Por tanto, q.
(ii) Proposición simbólica: {((p → q) ∧ ~ q) → ~ p}
Argumento simbólico
Premisa 1: (p → q)
Premisa 2: ~ q
Conclusión: Por lo tanto, ~ p.
(iii) Proposición simbólica: {((p → q) ∧ ~ p) → ~ q}
Argumento simbólico
Premisa 1: (p → q)
Premisa 2: ~ p
Conclusión: Por lo tanto, ~ q.
(iv) Proposición simbólica: {(~ (p ∧ q) ∧ p) → ~ q}
Argumento simbólico
Premisa 1: ~ (p ∧ q)
Premisa 2: p
Conclusión: Por lo tanto, ~ q
(v) Proposición simbólica: {((p ∨ q) ∧ ~ p) → q}
Argumento simbólico
Premisa 1: (p ∨ q)
Premisa 2: ~ p
Conclusión: Por lo tanto, q
(vi) Proposición simbólica: [{(p ∧ ~ r) ∧ (~ r ∨ q)} → ((r ∨ q) ∧ ~ p)]
Argumento simbólico
Premisa 1: (p ∧ ~ r)
Premisa 2: (~ r ∨ q)
Conclusión: Por lo tanto, (r ∨ q) ∧ ~ p
También podemos convertir un argumento simbólico en una proposición simbólica. En otras palabras, podemos formular una proposición simbólica considerando las premisas y la conclusión de un argumento simbólico. Consideremos el siguiente argumento simbólico.
Argumento simbólico
Premisa 1: (p ∨ q)
Premisa 2: p
Conclusión: Por tanto q.
Este argumento consta de dos premisas y una conclusión. Dos premisas juntas ayudan a sacar la conclusión. Se requiere que las premisas estén unidas por "∧" al convertirlas en una proposición simbólica. Las premisas se consideran un antecedente de la proposición simbólica porque concluyen el argumento juntas. La conclusión del argumento se trata como una consecuencia de la proposición simbólica. Dado que un argumento consta de premisas y una conclusión, y la conclusión se deriva de las premisas, todo el argumento se simboliza como forma "si-entonces". Así, "si-entonces" sería la conexión lógica principal de la proposición simbólica. El conectivo lógico "si-entonces" se simboliza como "→". Por tanto, podemos formular la siguiente proposición simbólica a partir de este argumento.
Proposición simbólica: {((p ∨ q) ∧ p) → q}.
A continuación se mencionan algunos ejemplos más, que convierten argumentos simbólicos en proposiciones simbólicas.
Premisa 1: (p → q)
Premisa 2: ~ q
Conclusión: Por lo tanto, ~ p
La proposición simbólica de este argumento: {((p → q) ∧ ~ q) → ~ p}
Premisa 1: (p ∧ ~ q)
Premisa 2: (p → q)
Premisa 3: (~ q ∨ ~ p)
Conclusión: Por lo tanto, (~ q → p)
La proposición simbólica de este argumento: [{(p ∧ ~ q) ∧ (p → q) ∧ (~ q ∨ ~ p)}
→ (~ q → p)]
Premisa 1: ~ (p ∧ q)
Premisa 2: p
Conclusión: Por lo tanto, ~ q
La proposición simbólica de este argumento: {(~ (p ∧ q) ∧ p) → ~ q}
Premisa 1: (~ p → q)
Premisa 2: (q → r)
Premisa 3: (~ r → s)
Conclusión: Por lo tanto, ~ (~ p → s)
La proposición simbólica de este argumento: [{((~ p → q) ∧ (q → r)) ∧ (~ r → s)}
→ ~ (~ p → s)]
Premisa 1: (p → (~ q → r))
Premisa 2: (p ∧ ~ r)
Premisa 3: q
Conclusión: Por lo tanto, (~ q ∧ p)
La proposición simbólica de este argumento: [{((p → (~ q → r)) ∧ (p ∧ ~ r)) ∧ q}
→ (~ q ∧ p)]
Premisa 1: ~ p
Premisa 2: (q ∨ r)
Premisa 3: ~ r
Conclusión: Por lo tanto, (~ p ∧ r)
La proposición simbólica de este argumento: [{(~ p ∧ (q ∨ r)) ∧ ~ r} → (~ p ∧ r)]
Hay casos en los que las proposiciones simbólicas constan de más de tres variables proposicionales, algunas conectivas lógicas y, además, muchos paréntesis, llaves y corchetes. Debido al uso frecuente y repetitivo de paréntesis, llaves y corchetes en una proposición simbólica, no sería fácil discernir cada proposición compleja y compuesta dentro de la proposición simbólica y descubrir la conexión lógica principal de cada proposición compuesta y compleja. Para detener estos inconvenientes y hacer que las proposiciones simbólicas sean más fáciles de usar, J. Lukasiewicz (1878-1956), un lógico polaco, desarrolló cuatro notaciones lógicas (N, A, K, C) que corresponden a símbolos lógicos ~, ∨, ∧ , →, respectivamente[7]. Las notaciones lógicas deben escribirse en mayúsculas en inglés y las variables proposicionales deben estar en minúsculas, como p, q, r, s, para una proposición simbólica. Las variables proposicionales deben escribirse inmediatamente después de las notaciones lógicas de una proposición simbólica. En el caso de una proposición simbólica compuesta, donde hay dos variables proposicionales y que están conectadas con un conectivo lógico, estas dos variables deben escribirse cronológicamente junto a la notación lógica del símbolo lógico. Por ejemplo,
Símbolos lógicos Notación lógica Proposición simbólica Notación simbólico
 12.51.24.png)
Al adoptar notaciones lógicas, podemos formular proposiciones simbólicas compuestas y complejas fácilmente y evitar el inconveniente de poner muchos paréntesis, llaves y corchetes en la proposición simbólica. Los siguientes ejemplos muestran cómo traducir proposiciones simbólicas a proposiciones de notación simbólica a través de notaciones lógicas.
(i) p ∧ (p ∧ q)
(ii) p ∧ ~ q
(iii) (p → ~ q) ∧ r
(iv) (~ p ∨ r) ∨ (q ∧ p)
(v) ~ p ∧ (~ q ∧ ~ r)
(vi) ~ (p ∧ ~ q) → (~ q → ~ r)
Consideremos la proposición simbólica "p" (p ∧ q) ". En esta proposición, encontramos dos variables proposicionales p 'y' q 'y una conectiva lógica' ∧ '. La conectiva lógica principal de la proposición simbólica es "∧", ya que se conecta con "p" y "(p ∧ q)". Además, la proposición compuesta "(p ∧ q)" tiene dos variables "p" y "q" y un conectivo lógico "∧". De acuerdo con las pautas de notación lógica, podemos traducir "(p ∧ q)" como Kpq, y luego, "p" (p ∧ q) "traducido como KpKpq. La notación lógica principal de una proposición simbólica debe escribirse al comienzo de la proposición simbólica.
Proposición simbólica: p ∧ (p ∧ q)
Paso 1: p ∧ Kpq
Paso 2: KpKpq
La proposición simbólica 'p' (p 'q)' se traduce como KpKpq.
Proposición simbólica: p ∧ ~ q
Paso 1: p ∧ Nq
Paso 2: KpNq
La proposición simbólica "(p ∧ ~ q)" se traduce como KpNq.
Proposición simbólica: (p → ~ q) ∧ r
Paso 1: (p → Nq) ∧ r
Paso 2: CpNq ∧ r
Paso 3: KCpNqr
La proposición simbólica "(p → ~ q) ∧ r" se traduce como KCpNqr.
Proposición simbólica: (~ p ∨ r) ∨ (q ∧ p)
Paso 1: (Np ∨ r) ∨ (q ∧ p)
Paso 2: (ANpr) ∨ (q ∧ p)
Paso 3: (ANpr) ∨ (Kqp)
Paso 4: AANprKqp
La proposición simbólica "(~ p ∨ r) ∨ (q ∧ p)" se traduce como AANprKqp.
Proposición simbólica: ~ p ∧ (~ q ∧ ~ r)
Paso 1: Np ∧ (Nq ∧ Nr)
Paso 2: Np ∧ KNqNr
Paso 3: KNpKNqNr
La proposición simbólica "~ p ∧ (~ q ∧ ~ r)" se traduce como KNpKNqNr.
Proposición simbólica: ~ (p ∧ ~ q) → (~ q → ~ r)
Paso 1: ~ (p ∧ Nq) → (Nq → Nr)
Paso 2: ~ (KpNq) → (CNqNr)
Paso 3: (NKpNq) → (CNqNr)
Paso 4: CNKpNqCNqNr
La proposición simbólica '~ (p ∧ ~ q) → (~ q → ~ r)' se traduce como CNKpNqCNqNr.
Ahora, podemos traducir proposiciones de notación simbólica en proposiciones simbólicas adoptando las pautas de notación lógica.
(i) CqKqp
(ii) ACprr
(iii) CCNqNpCpq
(iv) NANpq
(v) ANPANrq
(vi) ANpAqNr
(vii) NAANpqr
(viii) CNApKqpACNrqp.
Consideremos la proposición de notación simbólica "CqKqp". Esta proposición tiene dos variables proposicionales “p” y “q” y dos conectivos lógicos C y K. La notación lógica C se consideraría como el conectivo lógico principal de la proposición simbólica, ya que se coloca al comienzo de la proposición de notación simbólica. Dado que la notación lógica C representa el símbolo lógico "→", se conecta con dos variables proposicionales, "q" y "Kqp". Además, Kqp se traduce como “q” “p”. Por lo tanto, "CqKqp" se traduce como "(q → (q ∧ p))".
Proposición de notación simbólica: CqKqp
Paso 1: Cq (q ∧ p)
Paso 2: (q → (q ∧ p))
Por tanto, CqKqp se traduce como (q → (q ∧ p)).
Proposición de notación simbólica: ACprr
Paso 1: A (p → r) r
Paso 2: ((p → r) ∨ r)
Por lo tanto, ACprr se traduce como ((p → r) ∨ r).
Proposición de notación simbólica: CCNqNpCpq
Paso 1: CC ~ q ~ pCpq
Paso 2: C (~ q → ~ p) Cpq
Paso 3: C (~ q → ~ p) (p → q)
Paso 4: ((~ q → ~ p) → (p → q))
Por lo tanto, CCNqNpCpq se traduce como ((~ q → ~ p) → (p → q)).
Proposición de notación simbólica: NANpq
Paso 1: NA ~ pq
Paso 2: N (~ p ∨ q)
Paso 3: ~ (~ p ∨ q)
Por tanto, NANpq se traduce como ~ (~ p ∨ q).
Proposición de notación simbólica: ANpANrq
Paso 1: A ~ pA ~ rq
Paso 2: A ~ p (~ r ∨ q)
Paso 3: (~ p ∨ (~ r ∨ q))
Por lo tanto, ANpANrq se traduce como (~ p ∨ (~ r ∨ q)).
Proposición de notación simbólica: ANpAqNr
Paso 1: A ~ pAq ~ r
Paso 2: A ~ p (q ∨ ~ r)
Paso 3: (~ p ∨ (q ∨ ~ r))
Por lo tanto, ANpAqNr se traduce como (~ p ∨ (q ∨ ~ r)).
Proposición de notación simbólica: NAANpqr
Paso 1: NAA ~ pqr
Paso 2: NA (~ p ∨ q) r
Paso 3: N ((~ p ∨ q) ∨ r)
Paso 4: ~ ((~ p ∨ q) ∨ r)
Por lo tanto, NAANpqr se traduce como ~ ((~ p ∨ q) ∨ r).
Proposición de notación simbólica: CNApKqpACNrqp
Paso 1: CNApKqpAC ~ rqp
Paso 2: CNAp (q ∧ p) A (~ r → q) p
Paso 3: CN (p ∨ (q ∧ p)) A (~ r → q) p
Paso 4: C {~ (p ∨ (q ∧ p))} A (~ r → q) p
Paso 5: C {~ (p ∨ (q ∧ p))} ((~ r → q) ∨ p)
Paso 6: [{~ (p ∨ (q ∧ p))} → ((~ r → q) ∨ p)]
Por lo tanto, CNApKqpACNrqp se traduce como [{~ (p ∨ (q ∧ p))} → ((~ r → q) ∨ p)].
3.12.4 Traducción de proposiciones lógicas en simbólicas
En nuestra vida mundana, utilizamos muchas proposiciones lógicas para transmitir nuestros pensamientos. Por ejemplo, el cielo es azul, la hierba es verde, la nieve es blanca, los estudiantes de lógica son seres sabios, etc. Surge una pregunta, ¿podemos traducir estas proposiciones lógicas en proposiciones simbólicas? Si podemos hacerlo, nos resultaría más fácil utilizar las proposiciones simbólicas en la formulación de argumentos y descubrir la validez o invalidez de los argumentos de forma fácil e inteligible. En esta sección, traduciremos las proposiciones lógicas en proposiciones simbólicas. Luego, traduzca las proposiciones simbólicas en proposiciones lógicas. A partir de entonces, traduciremos los argumentos lógicos en argumentos simbólicos y viceversa. Dejemos que "p" represente la proposición "Él es alto" y "q" represente la proposición "Él es guapo". Considerando las dos variables proposicionales para las proposiciones lógicas, traduzcamos las siguientes proposiciones proposicionales a proposiciones simbólicas.
(i) Es alto pero no guapo.
(ii) Es una persona alta y guapa.
(iii) Es falso que sea bajo y guapo.
(iv) Es alto o guapo.
(v) Es una persona guapa pero no alta.
(vi) No es cierto que sea bajo o no guapo.
(vii) Dado que es alto, debe ser guapo.
Al traducir estas proposiciones lógicas a proposiciones simbólicas, ¿quién no debe cambiar la semántica de las proposiciones? Si lo hacemos, entonces toda la simbolización saldrá mal, ya que la constante lógica y las conectivas lógicas cambiarán debido al cambio de significado de las proposiciones. Por tanto, el significado de las proposiciones lógicas y su traducción de proposiciones simbólicas permanecerán inalteradas en caso de una traducción correcta. La traducción de las proposiciones antes mencionadas a las proposiciones simbólicas se menciona a continuación en orden secuencial.
(i) p ∧ ~q
(ii) q ∧ p
(iii) ~(~p ∧ q)
(iv) p ∨ q
(v) q ∧ ~p
(vi) ~(~p ∨ ~q)
(vii) p→q
Ahora, traduciremos las proposiciones simbólicas en proposiciones lógicas. Dejemos que "p" represente la proposición "Es una noche de luna llena" y "q" represente la proposición "Te ves hermosa". Considerando estas variables proposicionales, estamos traduciendo las siguientes proposiciones simbólicas en proposiciones lógicas.
(i) p ∧ q
(ii) ~ q ∧ ~ p
(iii) ~ (~ p ∨ q)
(iv) ~~ p
(v) ((p ∧ ~ q) → q)
(vi) {~ (p ∧ (~ p ∨ q)) ∨ ~ q}
Al traducir estas proposiciones simbólicas a proposiciones lógicas del lenguaje natural, no podemos permitirnos perder ninguna constante lógica y conectivo lógico de la proposición simbólica. Además, debemos prestar la máxima atención a los paréntesis, llaves y corchetes de la proposición simbólica al traducir una proposición compuesta y compleja a una proposición lógica. La traducción no cambiará el significado de la proposición simbólica. Si cambia, se alterará el significado de las proposiciones lógicas. La semántica de las proposiciones simbólicas y su traducción de proposiciones lógicas deben permanecer sin cambios. La traducción de las proposiciones simbólicas antes mencionadas a proposiciones lógicas se menciona a continuación de forma secuencial.
(i) Es noche de luna y te ves hermosa.
(ii) No te ves hermosa y no es una noche de luna.
(iii) Es falso que o no es una noche de luna llena o te ves hermosa.
(iv) Es falso que no sea una noche de luna.
(v) Si es una noche de luna y no te ves hermosa, entonces te ves hermosa.
(vi) Cualquier es falso, es una noche iluminada por la luna, y o no es una noche iluminada por la luna, o te ves hermosa, o no te ves hermosa.
Ahora, traduciremos los siguientes argumentos lógicos en argumentos simbólicos asignando una variable proposicional a cada oración del argumento. Una oración termina con un punto, puede ser una oración simple o una oración compuesta. Los términos por lo tanto "," así "," por lo tanto ", etc., están asociados con la conclusión del argumento.
(a) Si veo un partido de cricket en la televisión, entonces no puedo estudiar para el examen de fin de semestre. Si no estudio para el examen de fin de semestre, mañana o no apareceré en el examen de fin de semestre o me presentaré al examen de recuperación. Apareceré mañana en el examen de fin de semestre. Por lo tanto, estudiaré para el examen de fin de semestre.
Argumento simbólico:
Veré un partido de cricket en la televisión - p
Estudio para el examen de fin de semestre - q
Apareceré en el examen de fin de semestre - r
Me sentaré para el examen de recuperación - s
Primera premisa: (p → ~ q)
2da premisa: (~ q → (~ r ∨ s))
3ra premisa: r
Conclusión: q
(b) Si la lógica le resulta difícil, debe asistir a todas las clases. Debes estudiar lecciones en tu casa. No estudias lecciones en tu casa y no asistes a las clases. Por tanto, la lógica te resulta difícil.
Argumento simbólico:
La lógica es difícil para ti - p
Tienes que asistir a todas las clases - q
Debes estudiar lecciones en tu casa - r
1ra premisa: p → q
2da premisa: r
Tercera premisa: ~ r ∧ ~ q
Conclusión: p
(c) Rogelio obtendrá el trabajo solo si Juan no aparece en la entrevista de trabajo.
Mario apareció en la entrevista de trabajo. Por lo tanto, María no consiguió el trabajo.
Argumento simbólico:
Maria conseguirá el trabajo - p
Rogelio aparece en la entrevista de trabajo - q
Primera premisa: ~ q → p
2da premisa: q
Conclusión: ~ p
(d) Una enfermedad es contagiosa o hereditaria. La malaria es una enfermedad contagiosa.
Por tanto, no es hereditario.
Argumento simbólico:
Una enfermedad es contagiosa - p
Una enfermedad es hereditaria - q
La malaria es una enfermedad contagiosa - r
La malaria es hereditaria - s
Primera premisa: p ∨ q
2da premisa: r
Conclusión: ~ s.
(e) Si un estudiante está interesado en los estudios, entonces disfrutará de los estudios y prestará atención a las lecciones. Si un estudiante no presta atención a las lecciones, entonces no aprenderá las lecciones. Si no aprende las lecciones, entonces no está disfrutando de los estudios o no está prestando atención a las lecciones. Ella no aprende las lecciones. Por tanto, no le interesan los estudios.
Argumento simbólico:
Un estudiante está interesado en estudios - p
Ella disfrutará de los estudios - q
Ella prestará atención a las lecciones - r
Ella aprenderá las lecciones - s
Ella puede hacerlo bien en el examen - t
Primera premisa: p → (q ∧ r)
2da premisa: ~ r → ~ s
Tercera premisa: ~ s → (~ q ∨ ~ r)
Cuarta premisa: ~ s
Conclusión: ~ p
Ahora traduciremos argumentos simbólicos en argumentos lógicos. Al traducir los argumentos simbólicos, necesitamos descubrir la conexión lógica principal de las premisas compuestas del argumento. Además, debemos notar las variables proposicionales utilizadas en el argumento. Además de estas tareas, debemos considerar que la "conclusión" del argumento simbólico es el consecuente y las premisas son un antecedente del argumento lógico. La conclusión del argumento simbólico se escribirá mencionando "por lo tanto", "por lo tanto", "así", etc., en la oración lógica. Por ejemplo,
Ejemplo 1
Sea "p" para "hay sol" y "q" para "hay luz".
1ra premisa: p → q
2da premisa: p
Conclusión: q
Argumento lógico:
Si hay sol, hay luz. Hay sol. Por tanto, hay luz.
Ejemplo 2
Sea "p" para "hay sol" y "q" para "hay luz".
1ra premisa: p → q
2da premisa: ~ q
Conclusión: ~ p
Argumento lógico:
Si hay sol, hay luz. No hay luz. Por tanto, no hay sol.
Ejemplo-3
Sea p - Un maestro sabía que el límite de velocidad es de treinta kilómetros por hora.
q - Habría estado conduciendo a los setenta.
r - Fue capturada por la policía de tránsito.
Primera premisa: p → ~ q
2da premisa: ~ p ∧ r
Conclusión: ~ p ∨ r
Argumento lógico: si una maestra supiera que el límite de velocidad es de treinta kilómetros por hora, entonces no habría estado conduciendo a setenta. El profesor no sabía que el límite de velocidad es de treinta kilómetros por hora. Conducía a setenta kilómetros por hora y fue detenida por la policía de tránsito. Así, o la profesora no sabía que el límite de velocidad es de treinta kilómetros por hora, o fue capturada por la policía de tránsito. Como se explicó anteriormente, podemos traducir proposiciones lógicas en proposiciones simbólicas y proposiciones simbólicas en proposiciones lógicas. También podemos traducir argumentos lógicos en argumentos simbólicos y argumentos simbólicos en argumentos lógicos. Además, podemos traducir argumentos simbólicos en proposiciones simbólicas. Los lógicos también están interesados ??en determinar el valor de verdad de una proposición y la validez e invalidez de un argumento. Debido a este interés, buscan las funciones de verdad de una proposición.
3.12.5 Funciones de verdad y método de tabla de verdad
Una proposición lógica no puede ser ni verdadera ni falsa. No puede ser verdadero y falso al mismo tiempo. Más bien, es "verdadero" o "falso". Entonces, la verdad y la falsedad son los dos valores de una proposición lógica. Estos dos valores se conocen como "valores de verdad" de una proposición. En lógica simbólica, una proposición está vinculada a otra proposición con un conectivo lógico. Dado que cada conectivo lógico es único debido a su semántica y sus funciones, el valor de verdad de una proposición compuesta daría como resultado valores de verdad únicos.
Es conveniente para nosotros escribir la letra T mayúscula para la verdad y la letra F mayúscula para la falsedad de una proposición. Si una proposición es T, entonces su negación es F, y si una proposición es F, entonces su negación es T. Por lo tanto, la función de verdad de una proposición negativa se basa en el valor de verdad de la proposición. Por ejemplo, si "La hierba es verde" es verdadera, entonces "La hierba no es verde" es falsa. Nuevamente, si "La hierba es verde" es falsa, entonces "La hierba no es verde" es verdadera. Cuando las funciones de verdad se presentan en una tabla, se denomina "tabla de verdad".
Función de verdad de la negación P
 16.21.50.png)
La negación de una proposición es la función de verdad de esa proposición. Independientemente de la proposición simple o la proposición compuesta, la negación de una proposición es contradictoria con esa proposición. Una variable proposicional tiene dos valores de verdad, T y F. Los valores de verdad de la negación de una proposición se ilustran mediante el método de la tabla de verdad en lo anterior. Aquí, la tabla de verdad consta de dos filas y dos columnas como se muestra arriba. Las dos filas son exhaustivas para mencionar la posible combinación de los valores de verdad de una variable proposicional. Cabe señalar aquí que si hay dos negaciones para una variable proposicional, entonces el valor de verdad de la doble negación de esa proposición sigue siendo el mismo que el valor de verdad de la proposición. Por ejemplo, si p es verdadero, entonces ~~ p es verdadero, y si p es falso, entonces ~~ p es falso.
 16.21.56.png)
Al considerar dos variables proposicionales que se conectan con una conectiva lógica, podemos tener combinaciones de cuatro posibles valores de verdad. Estos son TT, TF, FT y FF. Estos valores de verdad se organizan en un orden teniendo en cuenta la distribución equitativa y adecuada de los valores de verdad y falso entre dos variables proposicionales. Si p y q son dos variables proposicionales que se conectan con una conectiva lógica, digamos "→", entonces p tendría valores TTFF, y q tendría valores TFTF para determinar la función de verdad de p → q. A continuación se dibuja una tabla de verdad con fines ilustrativos sin mencionar la función de verdad de p → q, que se explicaría un poco más adelante en este capítulo.
 16.24.29.png)
En el caso de tres variables proposicionales de una proposición simbólica, digamos, '((p ∧ q) ∧ r)', puede tener una combinación de ocho posibles valores de verdad bajo cada variable proposicional, y estos valores de verdad los valores se pueden distribuir entre tres variables proposicionales en el siguiente orden. Si 'p', 'q' y 'r' son tres variables proposicionales de una proposición simbólica, entonces p tendría valores TTTTFFFF, q tendría valores TTFFTTFF y r tendría valores TFTFTFTF para determinar las funciones de verdad de la lógica principal. conectivo de la proposición simbólica. A continuación se muestra una ilustración de la tabla de verdad.
 16.25.24.png)
Entonces podemos aplicar la fórmula "2n" para determinar los posibles valores de verdad de la misma. En el caso de cuatro variables proposicionales de una proposición simbólica, podemos tener 24 = 16 valores de verdad posibles. En el caso de cinco variables proposicionales de una proposición simbólica, podemos tener 25 = 32 posibles valores de verdad, y así sucesivamente. En el caso de una variable proposicional y una conectiva lógica, para determinar su función de verdad, dibujamos una tabla de verdad que consta de dos filas y dos columnas. En el caso de dos variables proposicionales y una conectiva lógica (una proposición compuesta), para determinar sus funciones de verdad, dibujamos una tabla de verdad que consta de cinco filas y tres columnas. De esta manera, podemos sugerir que dependiendo del número total de variables proposicionales de una proposición simbólica, podemos averiguar la posible combinación de valores de verdad que tendría y, en consecuencia, podemos dibujar esas muchas filas en una verdad. tabla para determinar funciones de verdad del conectivo lógico principal de la proposición simbólica. Pero cuántas columnas se requieren para determinar la función de verdad del conectivo lógico principal de una proposición simbólica se basa en cuántas funciones de verdad de los conectivos lógicos necesitamos descubrir en la proposición misma. Las siguientes secciones determinan los valores de verdad de las proposiciones simbólicas adaptando el método de la tabla de verdad. Dibujaríamos las tablas de verdad para determinar las funciones de verdad de las conectivas lógicas de conjunción, disyunción, implicación y equivalencia seguidas de conectivas lógicas de daga y trazo.
3.12.6 La función conjuntiva y la función disyuntiva
Dos proposiciones simples unidas con y ’se conocen como proposición compuesta y conjuntiva. Por ejemplo, "Ram es un estudiante de lógica y Sita es una cantante". Esta proposición compuesta se simboliza como "p∧q". Dado que esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales y un conectivo lógico "∧", tiene una combinación de cuatro posibles valores de verdad para determinar la función de verdad de "p∧q". La función de verdad de "p∧q" se menciona a continuación mediante el método de la tabla de verdad.
 16.26.26.png)
La tabla de verdad muestra que la función conjuntiva "p∧q" es verdadera cuando tanto "p" como "q" son verdaderas. Si alguna de las variables proposicionales es falsa, entonces la función de verdad de la conjunción se vuelve falsa. En el caso de una función disyuntiva, una proposición compuesta se formula con una expresión de una o otra. Por ejemplo, “Cualquier Rogelio es un estudiante de lógica o María es una cantante". En la proposición disyuntiva, dos proposiciones simples están conectadas con un conectivo lógico "∨". La proposición compuesta disyuntiva se simboliza como "p∧q". Dado que esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales y un conectivo lógico "∨", tiene una combinación de cuatro valores de verdad posibles para determinar la función de verdad de "p∨q". La función de verdad de "p∨q" se coloca a continuación mediante el método de la tabla de verdad.
La tabla de verdad sugiere que una función disyuntiva es verdadera cuando al menos una de sus variables proposicionales es verdadera. Pero cuando ambas variables proposicionales son falsas, la función de verdad de la proposición disyuntiva es falsa.
3.12.7 Función implicativa y función de equivalencia
La implicación es un conectivo lógico que se conecta con las partes antecedente y consecuente de una proposición compuesta y se formula mediante la expresión "si-entonces". Por ejemplo, "Si viene a la clase de lógica, obtendrá los materiales del curso". Esta proposición compuesta se simboliza como "p → q". Dado que esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales y un conectivo lógico "→", tiene una combinación de cuatro posibles valores de verdad para determinar la función de verdad de "p → q". La función de verdad de "p → q" se menciona a continuación mediante el método de la tabla de verdad.
 16.29.31.png)
La tabla de verdad transmite que una función implicativa es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En el resto de los otros casos, el valor de verdad de la función implicativa es verdadero. En el caso de una conectiva lógica de equivalencia, dos proposiciones atómicas se combinan con una expresión "si y sólo si". Es una proposición compuesta que se conecta con el conectivo lógico "≡". Por ejemplo, "Sus dedos se quemarán si y solo si juega con fuego". Esta proposición compuesta se simboliza como "p≡q". Dado que esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales y un conectivo lógico "≡", tiene una combinación de cuatro posibles valores de verdad para determinar la función de verdad de "p≡q".
La función de verdad de "p≡q" se ilustra en el método de la tabla de verdad.
 16.30.21.png)
La tabla de verdad establece que si ambas proposiciones son verdaderas, entonces la función de verdad de la equivalencia es verdadera. Además, si ambas proposiciones son falsas, entonces la función de verdad de la equivalencia también es verdadera. Pero si una de las proposiciones es verdadera y otra es falsa, entonces la función de verdad de equivalencia es falsa.10.8 Función de daga y función de trazo En el caso de la función de daga, una proposición compuesta se formula con la expresión "ni ni". Por ejemplo, "Ni es estudiante de ciencias ni de comercio". En esta proposición, dos proposiciones simples están conectadas con un conectivo lógico "↓". Esta proposición se simboliza como "p ↓ q". Dado que esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales y un conectivo lógico "↓", tiene una combinación de cuatro posibles valores de verdad para determinar la función de verdad de "p ↓ q". La función de verdad de "p ↓ q" se indica a continuación en un método de tabla de verdad.
 16.31.14.png)
La tabla de verdad expresa que cuando ambas proposiciones son falsas, la función de verdad de la daga es verdadera, y si una de las proposiciones es verdadera, entonces la función de verdad de la daga es falsa. La función de trazo se conoce popularmente como función de trazo de Sheffer. Es un conectivo lógico binario que se conecta con dos proposiciones simples y forma una proposición compuesta. Estos estados conectivos lógicos que no ambas proposiciones de una posición compuesta son verdaderas. Sugiere que al menos una de las proposiciones de dos proposiciones de la proposición compuesta debe ser falsa. La expresión no ambos 'en una proposición compuesta identifica que dos proposiciones simples se unen con la función de trazo. Por ejemplo, "No es tanto una silla como una mesa". Esta proposición compuesta se simboliza como "p | q ’. Dado que esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales y una conectiva lógica "|", tiene una combinación de cuatro posibles valores de verdad para determinar la función de verdad de "p | q ’. La función de verdad de "p | q ’se aclara a continuación mediante el método de la tabla de verdad.
 16.31.56.png)
La tabla de verdad transmite que cuando ambas proposiciones son verdaderas, la función de verdad del trazo de Sheffer es falsa, pero cuando una de las proposiciones es falsa, la función de verdad del trazo de Sheffer es verdadera. Resumamos las funciones de verdad de las conectivas lógicas binarias mediante el método de la tabla de verdad.
 16.32.41.png)
Esta tabla de verdad se presenta alternativamente de la siguiente manera.
Conjunción: ∧ = TT / T
Disyunción: ∨ = FF / F
Implicación: → = TF / F
Equivalencia: ≡ = TT / T y FF / T
Daga: ↓ = FF / T
Accidente cerebrovascular: | = TT / F
10.9 Valor de verdad: tautología, contradicción y contingente
Al determinar el valor de verdad de una proposición simbólica adoptando el método tabular de verdad, bajo la columna conectiva lógica principal, podemos encontrar que todos los valores son verdaderos o falsos o un combinación de verdadero y falso. Si la columna conectiva lógica principal contiene sólo valores "verdaderos", entonces decimos que el valor de verdad de la proposición es una tautología. Si contiene solo valores "falsos", entonces decimos que el valor de verdad de la proposición es lógicamente falso o contradictorio. Pero si contiene una combinación de valores verdaderos y falsos, entonces decimos que el valor de verdad de la proposición simbólica es contingente. Averigüemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones simbólicas mediante el método tabular de verdad.
Ejemplo-1: {(~ q → ~ p) ≡ (p → q)}
La conexión lógica principal de esta proposición simbólica es "≡". Para averiguar el valor de verdad de la proposición simbólica, necesitamos contar cuántas variables proposicionales tiene esta proposición. Dado que la proposición tiene dos variables proposicionales, tendremos una combinación de cuatro posibles valores de verdad. Para averiguar los valores de verdad bajo la conectiva lógica principal, necesitamos averiguar la función de verdad de "(~ q → ~ p)" y "(p → q)". Además, para averiguar la función de verdad de "(~ q → ~ p)", necesitamos averiguar el valor de verdad de "~ q" y "~ p". El valor de verdad de "~ q" y "~ p" depende del valor de verdad de "q" y "p". Nuevamente, necesitamos averiguar la función de verdad de "(p → q)". Entonces, necesitamos tener siete columnas y cinco filas para averiguar el valor de verdad de la proposición simbólica a través del método tabular de verdad. La tabla de verdad se ilustra a continuación.
 16.34.36.png)
Bajo el conectivo lógico principal de la proposición simbólica, encontramos los valores de verdad TTTT. Por tanto, la proposición es lógicamente verdadera y, por tanto, tautología.
Ejemplo-2: {(p → q) ∨ (~ (p ≡ ~ q))}
Esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales, "p" y "q". Por tanto, tendremos una combinación de cuatro posibles valores de verdad. La conexión lógica principal de la proposición simbólica es "∨". Para averiguar el valor de verdad de la proposición simbólica, necesitamos averiguar la función de verdad de "(p → q)" y "(~ (p ≡ ~ q))". Para averiguar la función de verdad de "(~ (p ≡ ~ q))", necesitamos averiguar el valor de verdad de ~ q y la función de verdad de "(p ≡ ~ q)". Teniendo en cuenta el conectivo lógico de una proposición compuesta, necesitamos dibujar la tabla de verdad. La tabla de verdad se presenta a continuación.
 16.35.25.png)
Bajo el conectivo lógico principal de la proposición simbólica, encontramos los valores de verdad de TFTT. Es una combinación de valores verdaderos y falsos. Por tanto, la proposición simbólica se considera contingente.
Ejemplo-3: {(p ∧ (~ q → p)) ∧ ~ ((p ≡ ~ q) → (q ∨ ~ p))}
Esta proposición simbólica tiene dos variables proposicionales "p" y "q". Entonces, podemos tener una combinación de cuatro posibles valores de verdad. La conexión lógica principal de la proposición es "∧". Para determinar el valor de verdad de la conectiva lógica principal de la proposición simbólica, necesitamos encontrar la función de verdad de '(p ∧ (~ q → p))' y '~ ((p ≡ ~ q) → (q ∨ ~ p)) '. Además, para averiguar la función de verdad de "(p ∧ (~ q → p))", necesitamos averiguar el valor de verdad de ~ q y la función de verdad de "(~ q → p)". Nuevamente, para averiguar la función de verdad de '~ ((p ≡ ~ q) → (q ∨ ~ p))', necesitamos averiguar el valor de verdad de ~ p y la función de verdad de '(p ≡ ~ q) 'y' (q ∨ ~ p) '. Ahora, necesitamos poner todas las proposiciones simples, proposiciones compuestas y proposiciones complejas en las columnas de la tabla de verdad para determinar el valor de verdad de toda la proposición simbólica. La siguiente tabla de verdad ilustra el valor de verdad de la proposición simbólica.
Bajo el conectivo lógico principal de la proposición simbólica, encontramos valores de verdad FFFF. Por tanto, el valor de verdad de la proposición simbólica se considera contradictorio. Hemos discutido el método de la tabla de verdad en detalle y analizado el procedimiento para determinar la función de verdad de una proposición simbólica. También explicamos las condiciones bajo las cuales una proposición simbólica sería tratada como tautología, contradicción y contingente. Pero se encuentra que si una proposición simbólica tiene más de dos variables proposicionales y algunas conectivas lógicas, entonces no sería un ejercicio agradable determinar su función de verdad a través del método tabular de verdad, ya que habría muchas columnas y muchas filas. Por lo tanto, los lógicos adoptaron un método indirecto de procedimiento de decisión de tabla de verdad para determinar la función de verdad de proposiciones simbólicas complejas.
 16.37.59.png)
Referencias
[1] Mitchell, David. (2019). An Introduction to Logic.
DOI:10.4324/9780367854195.
[2] Orey, Steven & Basson, A. & O'Connor, D.. (1962). Introduction to Symbolic Logic.. Journal of the American Statistical Association. 57. 263.
DOI:10.2307/2282488.
[3] Wole?ski, Jan. (1987). Alfred Tarski as a philosopher. Annales Societatis Mathematicae Polonae. Seria II. Wiadomo?ci Matematyczne. 27.
[4] Morrill, Glyn & Fowler, Timothy. (2011). Categorial Grammar: Logical Syntax, Semantics, and Processing.
[5] Whitehead, A. & Russell, B.. (2021). Principia Mathematica. Vol I. 2nd ed.
[6] Baldwin, Thomas. (2021). C. I. Lewis. DOI:10.4324/9781315204369-9.
[7] Sochacki, Robert. (2021). Logical Sentential Calculi Inspired by the Chrysippean Sentential Calculus.
DOI:10.1007/978-3-030-72254-8_16.