Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

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Módulo 4. Lógica simbólica 

En el método de la tabla de verdad, para averiguar el valor de verdad de la proposición simbólica, necesitamos dibujar columnas y filas dependiendo del número de variables proposicionales y conectivos lógicos que tiene. Si una proposición tiene más de tres variables proposicionales y algunas conectivas lógicas, entonces el ejercicio de la tabla de verdad resulta en inconvenientes, molestias e incomodidad. Además, adaptar el procedimiento del método de la tabla de verdad para determinar la validez o invalidez de un argumento requeriría una tabla grande con muchas filas y columnas. Para evitar la incomodidad y la torpeza del ejercicio, los lógicos desarrollaron un método más corto conocido como reductio ad absurdum o método indirecto de decisión de la tabla de verdad para determinar la validez e invalidez de un argumento. En un método tabular de verdad, los valores de verdad que se encuentran bajo el conectivo lógico principal de una proposición determinan si la proposición se considera una tautología, una contradicción o una contingencia. Pero en el caso del método indirecto de decisión de tabla de verdad, comenzamos asumiendo que las premisas o proposiciones del argumento son verdaderas (T) y la conclusión es falsa (F). Más precisamente, asumimos que la forma del argumento no es válida y escribimos "F" debajo de la conectiva lógica principal del argumento.

En el método tabular de verdad, se encuentra el valor de verdad de la conectiva lógica principal del argumento al final del ejercicio, pero en el caso del método indirecto de decisión de tabla de verdad, el ejercicio tiene que comenzar con la conectiva lógica principal del argumento. Después de asignar "F" bajo la conectiva lógica principal del argumento, aplicamos las reglas básicas de las funciones de verdad de las conectivas lógicas y averiguamos los valores de verdad de todas las variables proposicionales del argumento. De ahí en adelante, necesitamos examinar si la suposición "F" ocurre en el conectivo lógico principal del argumento ha llevado a una contradicción de las reglas básicas del procedimiento de la tabla de verdad. Si no encontramos ninguna contradicción al final del ejercicio, entonces el argumento es inválido. Es así porque la hipótesis resultará correcta. Pero si la contradicción se encuentra al final del ejercicio, entonces se contradice la hipótesis asumida al principio "F". Por tanto, la hipótesis "F" se tratará como incorrecta. La suposición "F" debería haber sido "T" en su lugar. Por lo tanto, el argumento se trata como un argumento válido. El método indirecto de decisión de la tabla de verdad se explica con la ayuda de los siguientes ejemplos. 

Ejemplo-1: (((p → q) ∧ p) → q) 

Este argumento consta de dos premisas "(p → q)" y "p" y una conclusión "q". La conclusión q ’se deriva de dos premisas. Hay dos variables proposicionales p y q , y dos conectivos lógicos " → "y" ∧ " están asociados con este argumento. La conexión lógica principal del argumento es "→". Este argumento establece que si "(p → q)" y "p" entonces podemos sacar una conclusión "q". Ahora, averiguaremos si el argumento es

Paso 1:

Comenzamos asumiendo que la forma del argumento no es válida. Por lo tanto, asignamos "F" bajo la conectiva lógica principal del argumento.

Paso 2:

La columna conectiva lógica principal puede ser falsa solo cuando el antecedente "(p → q) ∧ p)" es verdadero y el consecuente "q" es falso. Entonces, tenemos el valor de verdad de "q", es decir, "F".

Paso 3:

Acerca del antecedente del argumento, el conectivo lógico principal "∧" es verdadero cuando "(p → q)" es T y "p" es T. Aquí, hemos obtenido el valor de verdad de "p".

Paso 4:

Obtuvimos el valor de verdad de "p" como T y "q" como F. Los valores de verdad de estas variables proposicionales se asignan en "(p → q)". Después de asignar los valores de verdad a "(p → q)", encontramos que hay inconsistencia en la expresión "(p → q)". Es decir, cuando p es T y q es F, la función de verdad de (p → q) es T. El valor de verdad (p → q) debería haber sido F. una contradicción en el resultado basado en nuestra suposición. La suposición debe tener T en el lugar de F. Dado que la suposición bajo la conectiva lógica principal es T, todo el argumento se trata como un argumento válido.

Ejemplo-2: {(p → q) → ~ (p ∧ (q ∧ r))} 

Este argumento consta de una premisa '(p → q)' y una conclusión '~ (p ∧ (q ∧ r))' . La conclusión "~ (p ∧ (q ∧ r))" se deriva de la premisa. El argumento tiene tres variables proposicionales; "P", "q" y "r", dos conectivos lógicos; ‘→’ y ‘∧’, y una constante lógica ‘~’. La conexión lógica principal del argumento es "→". Este argumento establece que si ‘(p → q)’ entonces ‘~ (p ∧ (q ∧ r))’, como conclusión. Ahora, descubriremos la validez del argumento adoptando el método indirecto de decisión de la tabla de verdad. 

Paso 1:

Comenzamos asumiendo que la forma del argumento no es válida. Por lo tanto, asignamos "F" bajo la conectiva lógica principal del argumento.

Paso 2:

La columna conectiva lógica principal puede ser falsa cuando el antecedente "(p → q)" es verdadero y el consecuente "~ (p ∧ (q ∧ r))" es falso.

Paso 3:

Acerca del consecuente del argumento, si el valor de verdad de ‘~ (p ∧ (q ∧ r))’ es F, entonces el valor de verdad de ‘(p ∧ (q ∧ r))’ es T.

Paso 4:

El valor de verdad de '(p' (q 'r))' es T cuando 'p' es T y '(q' r) 'es T. Aquí, obtuvimos el valor de verdad de' p 'como T.

Paso 5:

El valor de verdad de '(q ∧ r)' es T si y solo si 'q' es T y 'r' es T. En este paso, obtuvimos el valor de verdad de 'q' como T y 'r' como F.

Paso 6:

Obtuvimos el valor de verdad de "p" como T y "q" como T. El valor de verdad de estas variables proposicionales se asigna a "(p → q)". Después de asignar los valores de verdad en "(p → q)", encontramos que no hay inconsistencia en la expresión "(p → q)". Es decir, cuando "p" es T y "q" es T, la función de verdad de "(p → q)" es T. Por lo tanto, no encontramos ninguna contradicción en el resultado basado en nuestra suposición. La suposición F era correcta. Dado que la suposición bajo la conectiva lógica principal era F y es correcta, todo el argumento se trata como un argumento inválido.

Ejemplo-3: [{((p → q) ∧ (s → r)) ∧ (q → s)} → (p ∨ r)] 

Este argumento consta de tres premisas '(p → q)', '(s → r) ',' (q → s) 'y una conclusión' (p ∨ r) '. La conclusión "(p ∨ r)" se deriva de tres premisas. Este argumento tiene cuatro variables proposicionales "p", "q", "r" y "s" y tres conectivos lógicos "→", "∧" y "∨". La conexión lógica principal del argumento es "→". Este argumento establece que si "(p → q)", "(s → r)" y "(q → s)", entonces "(p ∨ r)" es la conclusión. Ahora, descubriremos la validez del argumento adoptando el método indirecto de decisión de la tabla de verdad. 

Paso 1:

Comenzamos asumiendo que la forma del argumento no es válida. Por lo tanto, asignamos "F" bajo la conectiva lógica principal del argumento.

Paso 2:

La columna conectiva lógica principal puede ser falsa cuando el antecedente ‘{((p → q) ∧ (s → r)) ∧ (q → s)}’ es verdadero y el consecuente ‘(p ∨ r)’ es falso.

Paso 3:

Con respecto al consecuente '(p ∨ r)' del argumento, el valor de verdad de '(p ∨ r)' es F cuando 'p' es F y 'r' es F. En este paso, obtuvimos la verdad- valores de 'p' y 'r' como F.

Paso 4:

La conectiva lógica principal del antecedente ‘{((p → q) ∧ (s → r)) ∧ (q → s)}’ es ‘∧’. El antecedente consta de dos partes '((p → q) ∧ (s → r))' y '(q → s)'. Ya obtuvimos que el valor de verdad bajo la conectiva lógica principal del antecedente es T. El valor de verdad del antecedente es T cuando los valores de verdad de sus dos partes constituyentes son T.

Paso 5:

El valor de verdad de la proposición compuesta "((p → q) ∧ (s → r))" es T cuando "(p → q)" es T y "(s → r)" es T.

Paso 6:

Ya hemos obtenido el valor de verdad de "p" y "r", que ponemos en las proposiciones "(p → q)" y "(s → r)".

Paso 7:

Con respecto a la proposición '(s → r)', cuando 's' es F y 'r' es F, el valor de verdad de la proposición '(s → r)' es T. En este paso, obtuvimos el valor de verdad de 's' como F. Hemos mencionado que el valor de verdad de 's' es F en la proposición '(q → s)'.

Paso 8:

Tras la consideración de la proposición compuesta “(q → s)”, podemos asignar que el valor de verdad de “q” es F. Es así porque el valor de verdad de “(q → s)” es T cuando q es F y s es F. En este paso, obtuvimos el valor de verdad de q como F. ??El valor de verdad de q se menciona en la proposición (p → q). Después de asignar el valor de verdad en "(p → q)", "(s → r)" y "(q → s)", encontramos que no hay inconsistencia en estas premisas. Por lo tanto, no encontramos ninguna contradicción en el resultado basado en nuestro supuesto. Se demostró que la suposición F era correcta. Dado que la suposición bajo la conectiva lógica principal era F y es correcta, todo el argumento se trata como un argumento inválido. Además del método indirecto de decisión de la tabla de verdad, existe otro método conocido como "cuadros analíticos" o "árboles" que existe para determinar la validez e invalidez de un argumento. El método de los "árboles" se conoce popularmente como "árboles de Beth", ya que el profesor Evert Willem Beth (1908-1964) lo introdujo en la lógica y el discurso lógico. El profesor Beth es conocido por su contribución al desarrollo del "método de cuadros semánticos (1955)" conocido como "árbol de Beth" y "árbol de la verdad".

4.2 Árbol de Beth

El árbol de Beth es un método que ayuda a determinar la validez de un argumento. Para examinar un argumento, necesitamos organizar sus premisas y conclusión en una lista. Necesitamos negar la conclusión mientras la mencionamos en la lista. La razón es que necesitamos verificar si el argumento se satisface o no con una conclusión negativa. Tras nuestro examen, si encontramos que las premisas no son verdaderas juntas, entonces el argumento es válido. La razón es que al menos una de sus premisas contradice la conclusión negativa, que se tomó como un supuesto al enumerar la conclusión antes de iniciar la verificación. Si todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento no es válido porque la conclusión negativa es correcta. Para probar un argumento a través del método del árbol de verdad, debemos cumplir con las siguientes reglas y procedimientos. Reglas del árbol de la verdad Las reglas del árbol de Beth se emplean para desarrollar las ramas o cerrarlas. Para eso, necesitamos ramificar una proposición o apilar la ramificación de la siguiente manera.

Procedimientos del árbol de la verdad:

(i) La construcción del árbol de la verdad comienza con el conectivo lógico principal de una proposición simbólica. 

(ii) La construcción del árbol de la verdad avanza hacia abajo, mientras que la evaluación de las ramas avanza hacia arriba. 

(iii) Las proposiciones que implican apilamiento deben descomponerse antes que las proposiciones que implican ramificaciones. 

(iv) Siempre que se descompone una proposición, se coloca una marca de verificación a su derecha. Las proposiciones marcadas se ignoran en el momento de la evaluación de la rama. 

(v) Se dice que una construcción de árbol de verdad está terminada cuando la proposición dada se descompone completamente en una proposición simple o una proposición simple negada. 

(vi) Una rama se cierra si y solo si contiene una contradicción. Esa rama se bloquea colocando una "x" en el extremo inferior. 

(vii) Cualquier sucursal que no esté cerrada se dice que está abierta. Dichas sucursales se notifican colocando un "0" en el extremo inferior. 

(viii) Un árbol de verdad se cierra si y solo si sus ramas están cerradas. 

(ix) Cuando todas las ramas de un árbol de verdad están cerradas debido a la auto-contradicción, el argumento se trata como válido; de lo contrario, el argumento se considera inválido. 

Con estos procedimientos y reglas del árbol de verdad, averigüemos la validez de los siguientes argumentos que se presentan a través de proposiciones simbólicas.

(a) (((p → q) ∧ ~ q) → ~ p)

(b) (((p → q) ∧ p) → q)

(c) {(p → (p → q)) → ((p → q) → (q → p))}

(d) {((p → q) ∧ (~ r → ~ q)) → (p → r)}

Ejemplo-1: (((p → q) ∧ ~ q) → ~ p)

Este argumento tiene dos premisas "(p → q)" y "~q" y una conclusión "~p". Enumeremos las premisas y la conclusión según los procedimientos del árbol de verdad.

Paso 1:

En el paso 1, después de enumerar las premisas, negamos la conclusión "~ p", que se convierte en "~~ p".

Paso 2:

En el paso 2, colocamos la marca de verificación a la derecha de "~ q" y "p" ya que ambas proposiciones se descomponen. La proposición "~~ p" se apila en "p".

Paso 3:

En el paso 3, descomponemos la proposición "(p → q)" y colocamos la marca de verificación a la derecha de ella. Encontramos las ramas "~ p" y "q", y no queda más proposición que descomponer. Tras la evaluación de la rama de este árbol de verdad a través del movimiento ascendente, encontramos "p" y "~ p", "q" y "~ q". Por tanto, el árbol de la verdad contiene auto-contradicción. Como resultado, bloqueamos la rama "~ p" y "q" colocando "x" en la parte inferior. Dado que todas las ramas de este árbol de verdad están cerradas y se involucran en autocontradicciones, el argumento no se satisface. Significa, la negación a la conclusión, que colocó al enumerar el argumento, no es correcta. Por tanto, las premisas dadas (proposiciones) y la conclusión juntas se tratan como un argumento válido. 

Ejemplo-2: (((p → q) ∧ p) → q) 

Este argumento tiene dos premisas "(p → q)" y "p" y una conclusión "q". Enumeremos las premisas y la conclusión según los procedimientos del árbol de verdad. 

Paso 1:

En el paso 1, después de enumerar las premisas, negamos la conclusión "q" que se convierte en "~ q".

Paso 2:

En el paso 2, colocamos la marca de verificación a la derecha de la "p" y "~ q", ya que ambas proposiciones están descompuestas.

Paso 3:

En el paso 3, descomponemos la proposición "(p → q)" y le ponemos la marca de verificación. Encontramos las ramas '~ p' y 'q', y no queda más proposición que descomponer aún más. Tras la evaluación de la rama de este árbol de verdad a través del movimiento ascendente, encontramos en la rama izquierda "p" y "~ p", en la rama derecha "q" y "~ q".

Por tanto, el árbol de la verdad contiene auto-contradicción. Como resultado, bloqueamos la rama "~ p" y "q" colocando "x" en la parte inferior. Dado que todas las ramas de este árbol de verdad están cerradas y se involucran en autocontradicciones, el argumento no se satisface. Significa, la negación a la conclusión, que colocó al enumerar el argumento, no es correcta. Por tanto, las premisas dadas (proposiciones) y su conclusión juntas se consideran un argumento válido. 

Ejemplo-3: {(p → (p → q)) → ((p → q) → (q → p))} 

Enumeremos la premisa y la conclusión según los procedimientos del árbol de verdad. Paso 1:

En el paso 1, después de enumerar la premisa, negamos la conclusión, es decir, "~ ((p → q) → (q → p))".

Paso 2:

En el paso 2, aplicamos la regla del árbol de verdad "~ (a → b)" y apilamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición para su descomposición. 

Paso 3:

En el paso 3, aplicamos la regla del árbol de verdad "~ (a → b)" y apilamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición.

Paso 4:

En el paso 4, aplicamos la regla del árbol de verdad "(a → b)" y ramificamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición.

Paso 5:

En el paso 5, aplicamos la regla del árbol de verdad "(a → b)" y ramificamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición. Pero la descomposición de la proposición compuesta aún no está completa. Tras la evaluación de la rama izquierda '~ p', encontramos que esta proposición no implica autocontradicción; por lo tanto, colocamos "0" en su extremo inferior. Es una propuesta autoconsistente. Nuevamente, al considerar la rama derecha "~ p" del árbol, se encuentra que no está resultando en una auto-contradicción. Por lo tanto, la rama está marcada con "0" en su extremo inferior. 

Paso 6:

En el paso 6, aplicamos la regla del árbol de verdad "(a → b)" y ramificamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición. En este paso, todas las proposiciones se descomponen en una proposición simple o una proposición negada. Tras la evaluación de la rama extrema izquierda "~p" y "q", encontramos que estas proposiciones no implican una auto-contradicción. Son proposiciones autoconsistentes. De manera similar, tras la evaluación de "~p" y "q" de la rama derecha del árbol de verdad, encontramos que estas proposiciones tampoco implican autocontradicción. Son proposiciones autoconsistentes. Dado que todas las ramas de este árbol de verdad no están cerradas y no implican una auto-contradicción, el argumento está satisfecho. Significa, la negación de la conclusión, que se coloca al enumerar el argumento, es correcta. Por tanto, las premisas dadas (proposiciones) y su conclusión juntas se consideran un argumento inválido. 

Ejemplo-4: {((p → q) ∧ (~ r → ~ q)) → (p → r)} 

Enumeremos la premisa y la conclusión según los procedimientos del árbol de verdad.

Paso 1:

En el paso 1, después de enumerar las premisas, negamos la conclusión, es decir, "~(p→ r)".

Paso 2:

En el paso 2, aplicamos la regla del árbol de verdad "~ (a → b)" y apilamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición.

Paso 3:

En el paso 3, aplicamos la regla del árbol de verdad '(a → b)' y ramificamos las proposiciones.También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición.Además aplicamos la regla del árbol de verdad '~~ a' a descomponer la rama del lado izquierdo, es decir '~~ r'. Colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición doble negativa para su descomposición.

Paso 4:

En el paso 4, aplicamos la regla del árbol de verdad "(a → b)" y ramificamos las proposiciones. También colocamos una marca de verificación a la derecha de la proposición compuesta para su descomposición. Tras la evaluación de la rama extrema izquierda "r" y dos ramas de la derecha "~ p" y "q", encontramos que estas proposiciones implican una auto-contradicción. Por lo tanto, ponemos "x" en la parte inferior. Dado que todas las ramas de este árbol de verdad están cerradas y se involucran en una auto-contradicción, el argumento no se satisface. Significa negación a la conclusión, que colocada al enumerar el argumento, es incorrecta. Por tanto, las premisas dadas (proposiciones) y su conclusión juntas se consideran un argumento válido.

4.3 Fórmulas de derivación proposicional 

Las fórmulas de derivación proposicional se conocen como "reglas de reemplazo". Afirma que una proposición puede derivarse de otra proposición que tenga un valor de verdad similar. En otras palabras, una proposición puede reemplazar a otra proposición, ya que son equivalentes entre sí y tienen un valor de verdad similar. 

Fórmula-1: ∼∼a ≡ a 

Esta fórmula establece que la negación de la negación de una proposición es la proposición misma. Entonces, la doble negación se convierte en afirmación. 

Fórmula-2: (a ∧ b) ≡ (b ∧ a) 

Esta fórmula se conoce como ley conmutativa. Enuncia que a y b es igual ab y a. 

Fórmula-3: (a ∨ b) ≡ (b ∨ a)

Esta fórmula se conoce también como ley conmutativa. Enuncia que a o b es igual ab o a. 

Fórmula-4: (a ∧ (b ∧ c)) ≡ ((a ∧ b) ∧ c) 

Esta fórmula se conoce como ley asociativa. Expresa que a, b y c es igual a “a y b”, y c. Fórmula-5: (a ∨ (b ∨ c)) ≡ ((a ∨ b) ∨ c) 

Esta fórmula también se conoce como ley asociativa. Expresa que a, b o c es igual a a o b, o c. 

Fórmula-6: (a ∧ (b ∨ c)) ≡ ((a ∧ b) ∨ (a ∧ c)) Esta fórmula se llama ley distributiva. Se lee como a, y b o c es igual a a y b o a y c. 

Fórmula-7: (a ∨ (b ∧ c)) ≡ ((a ∨ b) ∧ (a ∨ c)) 

Esta fórmula se llama ley distributiva. Se lee como a o, b y c es igual a a o b y a o c. Fórmula 8: (a ∧ b) ≡∼ (∼ a∨ ∼ b) 

Esta fórmula se denomina ley de DeMorgan. Se lee como “a y b” es igual a la negación de la "negación de a" o "negación de b". El valor de verdad de "(a ∧ b)" y el valor de verdad de "~ (~ a ∨ ~ b)" son idénticos entre sí. En este caso, una proposición compuesta disyuntiva se deriva de una proposición conjuntiva. Para explicar, una proposición en la que ocurre la conjunción puede expresarse a través de la disyunción si negamos tanto los componentes de la conjunción como la conjunción misma. 

Fórmula 9: (a ∨ b) ≡∼ (∼ a∧ ∼ b) 

Esta fórmula también se denomina ley de De Morgan. Se lee como a o b es igual a la negación de la "negación de a" y la "negación de b". El valor de verdad de "(a ∨ b)" y el valor de verdad de "~ (~ a ∧ ~ b)" son idénticos entre sí. En este caso, una proposición compuesta conjuntiva se deriva de una proposición disyuntiva. Para explicar, una proposición en la que ocurre una disyunción puede expresarse a través de la conjunción si negamos tanto los componentes de la disyunción como la disyunción misma. 

Fórmula-10: (a → b) ≡ (∼ b → ∼ a) 

Esta fórmula se conoce como ley de contraposición. Se lee como a implica que b es igual a la negación de b implica la "negación de a". El valor de verdad de "(a → b)" es idéntico al valor de verdad de "(~ b → ~ a)". Expresa que una proposición compuesta de implicación puede reducirse a una proposición compuesta de implicación siempre que necesitemos intercambiar su antecedente y su consecuente negando ambos. 

Fórmula 11: (a → b) ≡ (∼ a ∨ b)

Esta fórmula es una definición de implicación material. Se lee como a implica que b es igual a la negación de a o b. El valor de verdad de "(a → b)" es idéntico al valor de verdad de "(~ a ∨ b)". Establece que una proposición compuesta de implicación se puede expresar en la forma de proposición disyuntiva siempre que el antecedente de la proposición implicativa se niegue en la proposición compuesta disyuntiva.

Fórmula-12: (a → b) ≡∼ (a∧ ∼ b)

Esta fórmula también es una definición de implicación material. Se lee como a implica que b es igual a la negación de ay la negación de b. El valor de verdad de "(a → b)" es idéntico al valor de verdad de "~ (a ∧ ~ b)". Esta fórmula enuncia que una proposición compuesta de implicación puede expresarse en forma de proposición conjuntiva siempre que el consecuente de la proposición implicativa se niegue en la proposición conjuntiva y la proposición conjuntiva se niegue a sí misma.

Fórmula-13: {((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)} Esta fórmula se conoce como transitividad de implicación. Se lee como si a implica by b implica c, entonces a implica c. Establece que si una proposición "a" implica otra proposición "b" y la proposición "b" implica "c", entonces la proposición "a" implica "c" necesariamente.

Fórmula 14:

(i) ((a → b) ∧ a) → b

(ii) ((a → b) ∧ ∼ b) → ∼ a

Estas fórmulas se conocen como la ley del desprendimiento. Transmite que si el antecedente de una proposición implicativa se afirma junto con la proposición implicativa, se sigue el consecuente de la proposición implicativa. Además, establece que si el consecuente de una proposición implicativa se niega junto con la proposición implicativa, entonces sigue la negación del antecedente de la proposición implicativa. 

Fórmula-15: (a ≡ b) ≡ ((a → b) ∧ (b → a)) 

Esta fórmula se llama equivalencia material. Se lee como una equivalencia b es igual a a implica b y b implica a. El valor de verdad de "(a ≡ b)" es idéntico al valor de verdad de "((a → b) ∧ (b → a))". Expresa que una proposición compuesta de equivalencia se puede reducir a una combinación de forma de proposición lógica de implicación y conjunción. 

Fórmula 16: (a ≡ b) ≡ ((a ∧ b) ∨ (∼ a∧ ∼ b)) 

Esta fórmula también se denomina equivalencia de material. Se lee, una equivalencia b es igual a “a y b” o negación de ay negación de b. El valor de verdad de "(a ≡ b)" es idéntico al valor de verdad de "((a ∧ b) ∨ (~ a ∧ ~ b))". Expresa que una proposición compuesta de equivalencia puede reducirse a una combinación de forma de proposición lógica de conjunción y disyunción. 

Fórmula 17: ((a ∧ b) → c) ≡ (a → (b → c)) Esta fórmula también se denomina ley de exportación. Se lee si “a y b” entonces c es equivalente a a implica, b implica c. El valor de verdad de "((a ∧ b) → c)" es idéntico al valor de verdad de "(a → (b → c))". Transmite que una combinación de proposición de implicación y conjunción puede reducirse a una forma de proposición de implicación. 

Fórmula-18: (a ∨ a) ≡ a Esta fórmula se llama ley de tautología. Se lee que a o a es equivalente a a. Fórmula-19: (a ∧ a) ≡ a Esta fórmula también se llama ley de tautología. Se lee que a y a es equivalente a a.

Fórmula 20:

(i) (a ∧ b) → a

(ii) (a ∧ b) → b

Hemos mencionado dos fórmulas en la fórmula 20 debido a su naturaleza similar. El primero se lee como ayb implica a, mientras que el segundo se lee como a y b implica b. Esta fórmula enuncia que la conjunción implica cualquiera de las proposiciones unidas. 

Fórmula-21: (p∨ ∼ p) 

Esta fórmula se conoce como la ley del medio excluido. Se lee p o negación p. Afirma que toda proposición debe ser verdadera o falsa. Si se niega una opción entre dos alternativas, se aceptará la otra. Las fórmulas anteriores se mencionan en la tabla a continuación para referencia y uso inmediato.

Usaremos estas fórmulas para reducir las proposiciones simbólicas a la forma normal conjuntiva (CNF) o la forma normal disyuntiva (DNF). El objetivo de reducir una proposición simbólica dada a DNF o CNF es descubrir el valor de verdad de la proposición, ya sea una tautología o no. El DNF y el CNF se consideran "métodos de procedimiento de decisión" para determinar el valor de verdad de las proposiciones simbólicas compuestas y complejas. 

3.4 Forma normal disyuntiva

La forma normal disyuntiva (DNF) es aquella en la que una proposición simbólica se puede transformar en una expresión que consiste en una disyunción de conjunciones. En este caso, la conjunción consta de variables proposicionales y sus negaciones, y cada proposición conjuntiva está conectada con otra proposición conjuntiva a través de una conectiva lógica disyuntiva. La disyunción construida a partir de estas conjunciones retrata un ordenación y horquillado estándar. Por ejemplo,

 . . . (∼ a ∧ b) ∨ (segundo ∧ p) ∨ (∼ p ∧ a) ∨ ∼ p. . . 

Al aplicar las fórmulas anteriores, podemos transformar una proposición simbólica en la forma DNF. Al convertir la proposición simbólica en la forma DNF, debemos hacer lo siguiente. Primero, elimine todas las negaciones dobles aplicando la fórmula 1. En segundo lugar, aplique las fórmulas de implicación material (fórmulas 11 y 12) y convierta la proposición en su forma equivalente. En tercer lugar, aplique las leyes de De Morgan (fórmulas 8 y 9) para deshacerse de los corchetes. Necesitamos continuar aplicando otras fórmulas cuando sea necesario mientras convertimos la proposición simbólica en DNF. En el DNF, debemos encontrar una proposición o su negación que se conecte con "∨". Si no se encuentra una variable proposicional atómica, entonces debe haber proposiciones conjuntivas compuestas que consistan en variables proposicionales atómicas o su negación conectada con el conectivo lógico '∧', y cada proposición conjuntiva está conectada con otra proposición conjuntiva con una disyunción '∨' . Además, no habrá una proposición conjuntiva compuesta negativa en la forma DNF. Un DNF se considera tautología cuando uno de sus elementos es verdadero. Significa que el valor de verdad de uno de los conjuntos debe ser verdadero. Una vez más, una proposición compuesta conjuntiva es verdadera cuando los valores de verdad de sus variables proposicionales son verdaderos. Ahora, convierta las siguientes proposiciones simbólicas en DNF aplicando las fórmulas anteriores y averigüemos si estas proposiciones son tautología o no.

(i) {((p → q) ∧ ~ q) → ~ p}

(ii) {((p → q) ∧ p) → q}

(iii) ~ (p → q) → (~ r ∨ p)

Ejemplo-1: {((p → q) ∧ ~ q) → ~ p}

{((p → q) ∧ ~ q) → ~ p} Esta proposición se nos da

= ~ ((p → q) ∧ ~ q) ∨ ~ p Fórmula aplicada-11

= ~ ((~ p ∨ q) ∧ ~ q) ∨ ~ p Fórmula aplicada-11

= (~ (~ p ∨ q) ∨ ~~ q) ∨ ~ p Fórmula aplicada-9

= (~ (~ p ∨ q) ∨ q) ∨ ~ p Fórmula aplicada-1

= ((p ∧ ~ q) ∨ q) ∨ ~ p Fórmula aplicada-8

= ((p ∨ q) ∧ (~ q ∨ q)) ∨ ~ p Fórmula aplicada-7

= ((q ∨ p) ∧ (q ∨ ~ q)) ∨ ~ p Fórmula aplicada-3

= (q ∨ (p ∧ ~ q)) ∨ ~ p Fórmula aplicada-7

= (p ∧ ~ q) ∨ ~ p ∨ q Fórmula aplicada-3 (Esto es DNF)

Esta expresión está ahora en forma disyuntiva normal. Es así porque, dentro del corchete, encontramos que 'p' y '~ q' están conectados con el operador lógico conjuntivo. La proposición entre corchetes y otras variables proposicionales están conectadas con un operador lógico disyuntivo. Encontramos "p" y "~ p", "q" y "~ q" en el DNF; estos están conectados con la disyunción, y el valor de verdad de "p" ~ p "y" q "~ q" es verdadero cuando al menos una de las variables proposicionales es verdadera. Por tanto, toda la expresión es una tautología.

Ejemplo-2: {((p → q) ∧ p) → q}

{((p → q) ∧ p) → q} Esta proposición se nos da

= ~ ((p → q) ∧ p) ∨ q Fórmula aplicada-11

= ~ ((~ p ∨ q) ∧ p) ∨ q Fórmula aplicada-11

= (~ (~ p ∨ q) ∨ ~ p) ∨ q Fórmula aplicada-8

= (~~ (p ∧ ~ q) ∨ ~ p) ∨ q Fórmula aplicada-9

= ((p ∧ ~ q) ∨ ~ p) ∨ q Fórmula aplicada-1

= (p ∧ ~ q) ∨ ~ p ∨ q Fórmula aplicada-15 (Esto es DNF)

Esta expresión está ahora en forma disyuntiva normal. Es así porque, dentro del corchete, encontramos que 'p' y '~ q' están conectados con el operador lógico conjuntivo. La proposición entre corchetes y otras variables proposicionales están conectadas con un operador lógico disyuntivo. Encontramos "p" y "~ p", "q" y "~ q" en el DNF; éstos están conectados con la disyunción, y el valor de verdad de "p" ~ p "y" q "~ q" es verdadero cuando al menos una de las variables proposicionales es verdadera. Por tanto, toda la expresión es una tautología.

Ejemplo-3: ~ (p → q) → (~ r ∨ p)

~ (p → q) → (~ r ∨ p) Esta proposición se nos da

= ~~ (p → q) ∨ (~ r ∨ p) Fórmula aplicada-11

= (p → q) ∨ (~ r ∨ p) Fórmula aplicada-1

= (~ p ∨ q) ∨ (~ r ∨ p) Fórmula aplicada-11

= (~ p ∨ q ∨ ~ r ∨ p) Fórmula aplicada-5 (Esto es DNF)

Esta expresión está ahora en forma disyuntiva normal. Es así porque encontramos variables proposicionales y su negación está conectada con el operador lógico disyuntivo. Encontramos "p" y "~ p" en el DNF, que están conectados con la disyunción. El valor de verdad de 'p' ~ p 'es verdadero cuando al menos una de las variables proposicionales es verdadera. Por tanto, toda la expresión es una tautología.

3.5 Forma normal conjuntiva 

La forma normal conjuntiva (CNF) es aquella en la que una proposición simbólica se puede convertir en una expresión que consiste en una conjunción de disyunciones. En este caso, las proposiciones disyuntivas consisten en variables proposicionales y sus negaciones, y cada proposición disyuntiva está conectada con otra proposición disyuntiva a través de un operador lógico conjuntivo. La conjunción construida a partir de las disyunciones retrata un ordenamiento y un horquillado estándar. Por ejemplo, 

. . . (a∨ ∼ b) ∧ (∼ c∨ ∼ b) ∧ (∼ c ∨ a) ∧ ∼ a. . .

Al aplicar las fórmulas de derivación proposicional, podemos convertir una proposición simbólica en la forma CNF. Al convertir la proposición simbólica en forma CNF, debemos hacer lo siguiente. Primero, elimine todas las negaciones dobles aplicando la fórmula-1. En segundo lugar, aplique fórmulas de implicación material (fórmulas 11 y 12) y convierta la proposición en su forma equivalente. En tercer lugar, aplique las leyes de De Morgan (fórmulas 8 y 9) para deshacerse de los corchetes. Necesitamos seguir adelante aplicando otras fórmulas cuando sea necesario mientras se convierte la proposición simbólica en CNF. En el CNF, si encontramos una proposición que se conecta con la misma proposición con ‘∧’, el CNF se trata como una tautología. Si no se encuentra una variable proposicional atómica en el CNF, entonces debe haber proposiciones disyuntivas compuestas que consistan en variables proposicionales atómicas o su negación conectada con el conectivo lógico '∨', y cada proposición disyuntiva está conectada con otra proposición disyuntiva con una conjunción. '∧'. Además, no habrá una proposición conjuntiva compuesta negativa en el CNF. Un CNF se considera tautología cuando el valor de verdad de ambas proposiciones disyuntivas es verdadero. Una proposición compuesta disyuntiva es verdadera cuando el valor de verdad de una de sus variables proposicionales es verdadero. Ahora, convierta las siguientes proposiciones simbólicas en CNF aplicando las fórmulas de derivación proposicional y averigüemos si estas proposiciones son tautología o no.

(i) {((p → q) ∧ p) → q}

(ii) (p → (q ∧ r)) ∧ (~ p → (~ q ∧ ~ r))

(iii) (q ∨ (p ∧ r)) ∧ ~ ((p ∨ r) ∧ q)

(iv) ((p → q) ≡ (~ p ∨ q))

Ejemplo-1: {((p → q) ∧ p) → q}

{((p → q) ∧ p) → q} Esta proposición se nos da

= ~ ((p → q) ∧ p) ∨ q Fórmula aplicada-11

= ~ ((~ p ∨ q) ∧ p) ∨ q Fórmula aplicada-11

= (~ (~ p ∨ q) ∨ ~ p) ∨ q Fórmula aplicada-9

= ((p ∧ ~ q) ∨ ~ p) ∨ q Fórmula aplicada-8

= (~ p ∨ (p ∧ ~ q)) ∨ q Fórmula aplicada-3

= ((~ p ∨ p) ∧ (~ p ∨ ~ q)) ∨ q Fórmula aplicada-7

= (~ p ∨ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ ~ q ∨ q) Fórmula aplicada-7 (Esto es CNF)

Esta expresión está ahora en forma conjuntiva normal. Es así porque encontramos variables proposicionales y su negación están conectadas con un operador lógico disyuntivo dentro del corchete y las proposiciones disyuntivas están conectadas con un operador lógico conjuntivo. En el CNF, encontramos "p" y "~ p" en la proposición disyuntiva del lado izquierdo y "q" y "~ q" en la proposición disyuntiva del lado derecho. Dado que 'p' y '~ p', 'q' y '~ q' están conectados con la disyunción, el valor de verdad de la proposición disyuntiva del lado izquierdo y la proposición disyuntiva del lado derecho sería verdadero incluso si una de sus variables proposicionales es verdadero. Además, no importa cuál sería el valor de "q" con respecto a la proposición disyuntiva del lado izquierdo y "~ p" con respecto a la proposición disyuntiva del lado derecho. La razón es que 'q' y '~ p' están conectados con sus variables proposicionales con disyunción. Dado que 'p' ~ p 'es verdadero en la proposición disyuntiva del lado izquierdo y' q '~ q' es verdadero en la proposición disyuntiva del lado derecho, el valor de verdad de toda la proposición disyuntiva sería verdadero. Dado que ambas proposiciones disyuntivas están unidas con conjunción y sus valores de verdad son verdaderos, el valor de verdad de toda la expresión es verdadero. Es así porque el valor de verdad de una proposición conjuntiva es verdadero cuando sus dos variables proposicionales son verdaderas. Por tanto, la expresión simbólica es una tautología.

Ejemplo-2: (p → (q ∧ r)) ∧ (~ p → (~ q ∧ ~ r))

(p → (q ∧ r)) ∧ (~ p → (~ q ∧ ~ r)) Esta proposición se nos da

= (~ p ∨ (q ∧ r)) ∧ (~~ p ∨ (~ q ∧ ~ r)) Fórmula aplicada-11

= (~ p ∨ (q ∧ r)) ∧ (p ∨ (~ q ∧ ~ r)) Fórmula aplicada-1

= (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ∧ (p ∨ ~ q) ∧ (p ∨ ~ r) Fórmula aplicada-7 (Esto es CNF)

Esta expresión está ahora en forma conjuntiva normal. Es así porque encontramos variables proposicionales y su negación están conectadas con un operador lógico disyuntivo dentro del corchete, y las proposiciones disyuntivas están conectadas con un operador lógico conjuntivo. En el CNF, no encontramos ni "p" ni "~ p"; "Q" y "~ q"; ni "r" y "~ r" unidos con un operador lógico disyuntivo. Por tanto, el valor de verdad de las proposiciones disyuntivas no es verdadero. Esto, a su vez, el valor de verdad de la proposición conjuntiva es falso. Por tanto, toda la proposición no es una tautología.

Ejemplo-3: (q ∨ (p ∧ r)) ∧ ~ ((p ∨ r) ∧ q)

(q ∨ (p ∧ r)) ∧ ~ ((p ∨ r) ∧ q) Esta proposición se nos da

= ((q ∨ p) ∧ (q ∨ r)) ∧ ~ ((p ∨ r) ∧ q) Fórmula aplicada-7

= ((q ∨ p) ∧ (q ∨ r)) ∧ (~ (p ∨ r) ∨ ~ q) Fórmula aplicada-8

= ((q ∨ p) ∧ (q ∨ r)) ∧ ((~ p ∧ ~ r) ∨ ~ q) Fórmula aplicada-9

= ((q ∨ p) ∧ (q ∨ r)) ∧ (~ q ∨ (~ p ∧ ~ r)) Fórmula aplicada-3

= (q ∨ p) ∧ (q ∨ r) ∧ (~ q ∨ ~ p) ∧ (~ q ∨ ~ r) Fórmula aplicada-3 (Esto es CNF)

Esta expresión está ahora en forma conjuntiva normal. Es así porque encontramos variables proposicionales y su negación están conectadas con un operador lógico disyuntivo dentro del corchete, y las proposiciones disyuntivas están conectadas con un operador lógico conjuntivo. En el CNF, no encontramos ni "p" ni "~ p"; "Q" y "~ q"; ni "r" y "~ r" unidos con un operador lógico disyuntivo. Por tanto, el valor de verdad de las proposiciones disyuntivas no es verdadero. Por lo tanto, afirma que el valor de verdad de la proposición conjuntiva es falso, ya que el valor de verdad de las proposiciones disyuntivas que están conectadas con un operador lógico conjuntivo en el CNF no es verdadero. Por tanto, toda la proposición no es una tautología.

Ejemplo-4: ((p → q) ≡ (~ p ∨ q))

((p → q) ≡ (~ p ∨ q)) Esta proposición se nos da

= ((~ p ∨ q) ≡ (~ p ∨ q)) Fórmula aplicada-11

= ((~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ q)) ∨ (~ (~ p ∨ q) ∧ ~ (~ p ∨ q)) Fórmula aplicada-16

= (~ p ∨ q) ∨ ~ (~ p ∨ q) Fórmula aplicada-19

= (~ p ∨ q) ∨ (p ∧ ~ q) Fórmula aplicada-8

= (~ p ∨ q ∨ p) ∧ (~ p ∨ q ∨ ~ q) Fórmula aplicada-7 (Esto es CNF)

Esta expresión está en la forma conjuntiva normal. Es así porque encontramos variables proposicionales y su negación están conectadas con un operador lógico disyuntivo dentro del corchete, y las proposiciones disyuntivas están conectadas con un operador lógico conjuntivo. En el CNF, encontramos "p" y "~ p" en la proposición disyuntiva del lado izquierdo y "q" y "~ q" en la proposición disyuntiva del lado derecho entre otras variables proposicionales. Dado que 'p' y '~ p', 'q' y '~ q' están conectados con el operador lógico disyuntivo, el valor de verdad de la proposición disyuntiva del lado izquierdo y la proposición disyuntiva del lado derecho serían verdaderas incluso si la verdad -valor de una de las variables proposicionales es verdadero. Además, no importa cuál sería el valor de "q" con respecto a la proposición disyuntiva del lado izquierdo y "~ p" con respecto a la proposición disyuntiva del lado derecho. La razón es que 'q' y '~ p' están conectados con sus respectivas variables proposicionales con disyunción. Dado que 'p' ~ p 'es verdadero en la proposición disyuntiva del lado izquierdo y' q '~ q' es verdadero en la proposición disyuntiva del lado derecho, el valor de verdad de las proposiciones disyuntivas sería verdadero. Dado que ambas proposiciones disyuntivas están unidas con conjunción y sus valores de verdad son verdaderos, el valor de verdad de toda la expresión es verdadero. Es así porque el valor de verdad de una proposición conjuntiva es verdadero cuando sus dos variables proposicionales son verdaderas. Por tanto, toda la expresión simbólica es una tautología.

3.6 Demostración de la validez de los argumentos 

Para probar la validez de un argumento, necesitamos averiguar si la conclusión del argumento puede derivarse de sus premisas o no. Para hacerlo, hay un procedimiento de decisión que debemos adaptar conocido como "probar la validez del argumento". La prueba de validez es un procedimiento de decisión para determinar la validez o invalidez de un argumento. Probar la validez de un argumento es como resolver un rompecabezas para el que no habrá un modus operandi fijo o una estrategia. Tenemos que tratar cada argumento de manera diferente, ya que cada argumento requiere una estrategia diferente para averiguar si la conclusión dada se sigue de sus premisas o no. no. Para probar la validez de un argumento, necesitamos aplicar las fórmulas de derivación proposicionales mencionadas anteriormente. Estas fórmulas son las reglas evidentes por sí mismas. Usamos estas fórmulas para derivar la conclusión de las premisas. Probemos los siguientes argumentos simbólicos y averigüemos su validez.

Argumento-1

Premisa-1: a → b

Premisa-2: b → c

Premisa-3: a

Conclusión: c

Ahora, organice las premisas y la conclusión en una lista y averigüe si la conclusión puede derivarse de estas premisas aplicando fórmulas de derivación proposicionales.

1: a → b

2: b → c

3: a

Conclusión: c

4. a → c (de 1 y 2 aplicando la fórmula-13)

5. c (de 4 y 3 aplicando la fórmula-14)

Este argumento se prueba como un argumento válido.

Argumento-2

Premisa-1: a → ~ b

Premisa-2: ~ b → c

Premisa-3: c → d

Premisa-4: (a ∧ d) → e

Conclusión: a → e

Ahora, organice las premisas y la conclusión en una lista y averigüe si la conclusión dada se puede derivar de estas premisas aplicando fórmulas de derivación proposicionales.

1. a → ~ b

2. ~ b → c

3. c → d

4. (a ∧ d) → e

Conclusión: a → e

5. a → c (de 1 y 2 aplicando la fórmula-13)

6. a → d (de 5 y 3 aplicando la fórmula-13)

7. a → (a ∧ d) (de 6 aplicando la fórmula-20)

8. a → e (de 7 y 4 aplicando la fórmula-13)

Se demuestra que este argumento es un argumento válido.

Argumento-3

Premisa-1: a → b

Premisa-2: b → c

Premisa-3: b → d

Premisa-4: ~ d

Premisa-5: a ∨ b

Conclusión: c

Ahora, organice las premisas y la conclusión en una lista y averigüe si la conclusión dada se puede derivar de estas premisas aplicando fórmulas de derivación proposicionales.

1. a → b

2. b → c

3. b → d

4. ~ d

5. a ∨ b

Conclusión: c

6. ~ b (de 3 y 4 aplicando la fórmula-14)

7. ~ a (de 1 y 6 aplicando la fórmula-14)

8. b (de 5 y 7 aplicando la fórmula 21)

9. c (de 2 y 8 aplicando la fórmula 14)

Se demuestra que este argumento es un argumento válido.

Argumento-4

Premisa-1: a → b

Premisa-2: b → (c ∨ d)

Premisa-3: d → e

Premisa-4: e → f

Premisa-5: c → g

Premisa 6: a

Premisa-7: ~ g

Conclusión: f

Ahora, organice las premisas y la conclusión en una lista y averigüe si la conclusión dada se puede inferir de estas premisas aplicando fórmulas de derivación proposicionales.

1. a → b

2. b → (c ∨ d)

3. d → e

4. e → f

5. c → g

6. a

7. ~ g

Conclusión: f

8. a → (c ∨ d) (de 1 y 2 aplicando la fórmula-13)

9. c ∨ d (de 8 y 6 aplicando la fórmula-14)

10. ~ c (de 5 y 7 aplicando la fórmula-14)

11. d (de 9 y 10 aplicando la fórmula-21)

12. d → f (de 3 y 4 aplicando la fórmula-13)

13. f (de 12 y 11 aplicando la fórmula-14)

Este argumento se prueba como un argumento válido. Consideremos ahora los siguientes pasajes como argumentos. Cada argumento consta de premisas y una conclusión. Simbolizaremos las premisas y la conclusión del argumento utilizando los alfabetos y operadores lógicos en inglés. A partir de entonces, averiguaremos si la conclusión dada se deriva de las premisas o no. En resumen, averiguaremos la validez de los argumentos aplicándoles las fórmulas de derivación proposicional. 

Argumento-5 

Si un administrador toma una decisión importante, y si desea implementarla, entonces debe ser racional en su decisión. El administrador no toma una decisión importante. Es falso que el administrador sea racional en su decisión. Por lo tanto, el administrador no implementará su decisión.

Permitir a: un administrador toma una decisión importante.

yo — Ella quiere implementarlo.

r — Debe ser racional en su decisión.

1. (a ∧ i) → r

2. ~ a

3. ~ r

Conclusión: ~ i

4. ~ (a ∧ i) (de 1 y 3 aplicando la fórmula-14)

5. ~ a ∨ ~ i (de 4 aplicando la fórmula-8)

6. ~ i (de 5 y 2 aplicando la fórmula-21)

Se demuestra que este argumento es un argumento válido.

Argumento-6

Si la mayoría no está dispuesta a aceptar la decisión de la minoría, no puede haber democracia. Si la minoría no respeta los derechos de la mayoría, la mayoría no estará dispuesta a aceptar la decisión de la minoría. La minoría no respeta los derechos de la mayoría. Por tanto, no puede haber democracia.

Sea m: la mayoría está dispuesta a aceptar la decisión de la minoría.

d — Puede haber una democracia.

r — La minoría respeta los derechos de la mayoría.

1. ~ m → ~ d

2. ~ r → ~ m

3. ~ r

Conclusión: ~ d

4. ~ m (de 2 y 3 aplicando la fórmula-14)

5. ~ d (de 1 y 4 aplicando la fórmula-14)

Este argumento se prueba como un argumento válido.

3.7 Lógica de predicado

Ya discutimos la lógica simbólica en detalle. La lógica simbólica es una parte de la lógica de la oración donde una oración (sentencia) se considera como la unidad básica de un argumento. Mientras discutíamos la lógica simbólica, discutimos las variables proposicionales, las conectivas lógicas y el método tabular de verdad para determinar el valor de verdad de una proposición. También aclaramos el método del árbol de Beth, la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva para determinar el valor de verdad de proposiciones complejas y juzgar la validez de los argumentos. Además de estos temas, explicamos los métodos para probar la validez de los argumentos aplicando reglas de derivación proposicionales. Continuando con la sección anterior, en esta sección, deliberaremos sobre la lógica de predicados. Explicaremos el cuantificador universal y el cuantificador existencial. Discutiremos el método para traducir oraciones lógicas a la forma lógica de predicados considerando la semántica de las oraciones. También ilustraremos la oposición de proposiciones considerando proposiciones categóricas de lógica de predicados. Además, probaremos la validez de los argumentos adoptando reglas de derivación proposicionales.

3.7.1 ¿Qué es la lógica de predicados? 

En la lógica de predicados, una proposición y su tema se toman en consideración al traducir una proposición en forma simbólica. Aquí, debemos considerar la calidad y la cantidad de una proposición mientras la traducimos en forma simbólica. El objetivo de la lógica de predicados es explicar la estructura lógica interna de una proposición mientras la traduce a una forma simbólica. Gottlob Frege (1848-1925), un filósofo alemán que se cree que es el fundador de la lógica de predicados y la filosofía analítica, escribe que la lógica oracional no expresa el concepto de una proposición con precisión cuando se traduce a lógica simbólica^[1]. Por lo tanto, una oración de lógica simbólica debe considerar la calidad y cantidad de una proposición para transmitir correctamente el tema de la proposición. Esto ayudaría a determinar correctamente la validez de un argumento.

Frege explica la noción de "cuantificación" en su trabajo Concept Script (Begriffsschrift) (1879). Siguiendo a Frege, el profesor Alfred North Whitehead (1861-1947^[2]) y Bertrand Russell (1872-1970) elaboran el trabajo sobre 'cuantificación' de la lógica de predicados en su manuscrito Principia Mathematica. Estos tratados destacan los defectos de la lógica oracional. En lógica oracional, una proposición se considera la unidad básica de un argumento. El tema de la proposición no se toma en consideración al traducirlo a forma simbólica. Por ejemplo,

Sita es bailarina, "p".

Sita no es una bailarina: "~ p".

Todas las mujeres son hermosas, "p".

No todas las mujeres son hermosas, "~ p".

En estos ejemplos, encontramos que "~p" representa dos proposiciones y "p" representa dos proposiciones. Aunque las dos proposiciones se simbolizan como "p", ambas tienen calidad afirmativa pero difieren en cantidad. Existe una situación similar con las proposiciones "~p". En este contexto, surge una pregunta: ¿es correcto simbolizar una proposición considerando solo su calidad e ignorando su cantidad? En la lógica oracional, cada proposición se simboliza como "p" o "m", o "s" o una letra minúscula del alfabeto inglés como variable proposicional. En este caso, consideramos la estructura de la proposición cuando simbolizamos la proposición. No consideramos el significado de la proposición para su simbolización. Por ejemplo, podemos simbolizar la proposición "Todos los cisnes son blancos" como "p" y "La hierba es verde" como "p". Aquí, "Todos los cisnes son blancos" y "La hierba es verde" son proposiciones afirmativas y se simbolizan como "p", pero no transmiten un significado similar. Además, la proposición "Algunos estudiantes son altos" se puede simbolizar como "p" y "Todos los estudiantes son solteros" también se puede simbolizar como "p". Estas dos proposiciones también se juzgan como proposiciones afirmativas, pero difieren entre sí en cuanto a sus significados. Es así porque, cuando la proposición "Algunos estudiantes son altos" se refiere a unos pocos estudiantes, la proposición "Todos los estudiantes son solteros" se refiere a todos los estudiantes. Además, cuando la primera proposición se refiere a la estatura de los estudiantes, la segunda proposición se refiere a la licenciatura de los estudiantes. Aunque estas dos proposiciones difieren significativamente entre sí, sin embargo, en la lógica de la oración, simbolizamos estas dos proposiciones como "p". En lógica oracional, consideramos la calidad (afirmativa o negativa) de una proposición solo mientras simboliza la proposición. Esto conduce a una situación crítica en la que, si consideramos una proposición afirmativa como "p" en un argumento independientemente de su cantidad (universal o particular), entonces el argumento puede parecer válido, pero no sería válido de hecho. Por ejemplo,

Todos los estudiantes son jugadores de fútbol.

Algunos nadadores son estudiantes.

Por lo tanto, algunos nadadores son jugadores de fútbol.

Este argumento consta de tres proposiciones: una premisa mayor, una premisa menor y una conclusión. Todas estas proposiciones son proposiciones afirmativas. En la lógica de la oración, simbolicemos la premisa mayor como "p", la premisa menor como "q" y la conclusión como "r". Entonces, podemos escribir

p

q

Por tanto, r.

Podemos escribir el argumento en forma de proposición simbólica como ((p ∧ q) → r). Ahora, los problemas no son ni "p" ni "q". El símbolo revela la estructura interna de la proposición (es decir, la cantidad de proposiciones). Además, los símbolos "p" y "q" no indican nada sobre el predicado de la proposición. Más bien, representan la proposición completa como tal. Debido a la falta de claridad en las proposiciones simbólicas de la premisa mayor y la premisa menor, la derivación de la conclusión de la premisa mayor y menor juntas conducirá a confusión y desconcierto. Dado que consideramos solo la estructura de la proposición, no el significado de la proposición, en la lógica de la oración, podemos terminar derivando una conclusión inválida de las premisas verdaderas. Para arreglar las lagunas de la lógica oracional, se introduce la lógica de predicados en el sujeto lógico. La lógica de predicados también se conoce como cálculo de predicados. La lógica de predicados considera la calidad y cantidad de una proposición mientras traduce la proposición en forma simbólica. El objetivo de la lógica de predicados es hacer que la estructura interna de la proposición sea correcta y vívida. En resumen, en la lógica de predicados, la calidad de una proposición (afirmativa o negativa) y la cantidad (universal o particular) se aclaran al traducirla en forma simbólica. En este sentido, la lógica de predicados ofrece información exacta y precisa sobre la estructura interna de la proposición. En la lógica de predicados, se le da importancia al predicado. Significa que necesitamos averiguar si el predicado afirma o niega al sujeto en la proposición y, además, si el predicado afirma al sujeto en parte o en su totalidad. Puede haber casos en los que el predicado de una proposición declare algo sobre dos sujetos diferentes de una proposición. Por ejemplo, Mario y María son profesores de las universidades gubernamentales de México. También hay situaciones en las que una proposición tiene dos predicados, y se refieren a un sujeto y afirman algo afirmativa o negativamente sobre él. Por ejemplo, Rogelio es un estudiante inteligente y sincera. Debido a estas características peculiares de las proposiciones, en la lógica de predicados, tanto el sujeto como el predicado se consideran propiedades de las proposiciones. En la lógica de predicados, una proposición se explica así con sus propiedades. Por ejemplo, "Todos los cisnes son blancos". Esta proposición se explica en la lógica de predicados como si hubiera algo que tuviera la propiedad de ser un cisne; luego, tiene la propiedad de ser blanco. Considere otro ejemplo: "Todos los estudiantes de lógica son inteligentes". Esta proposición en la lógica de predicados se analiza como si una persona (cosa) fuera un estudiante de lógica, entonces tiene la propiedad de ser inteligente. Tenga en cuenta que en la lógica de predicados, nos ocupamos de una cosa que tiene propiedad (es). La lógica de predicados proporciona más información sobre la proposición en comparación con la lógica de la oración. Sin embargo, la lógica de predicados toma prestadas muchas cosas de la lógica enunciativa. Por ejemplo, en lógica oracional, utilizamos constantes lógicas y conectivas lógicas mientras traducimos una proposición compuesta a la proposición simbólica. También en la lógica de predicados, usamos constantes lógicas y conectivas lógicas mientras traducimos proposiciones compuestas en proposiciones simbólicas. En lógica proposicional, para probar la validez de un argumento, usamos reglas de derivación proposicionales, etc. Usamos las reglas de derivación proposicionales en la lógica de predicados también para probar la validez de un argumento. Por lo tanto, no sería inapropiado decir que la lógica de predicados es una extensión y un avance de la lógica oracional. En la lógica de predicados, los siguientes símbolos se utilizan para traducir proposiciones en proposiciones simbólicas.

(i) Variables individuales: x, y, z,…

(ii) Constantes individuales para nombres propios: a, b, c, ...

(iii) Cuantificador universal: ∀x

(iv) Cuantificador existencial: ∃x

(v) Predicados: L, M, N,…

El símbolo "∀x" se transmite como "para todos los valores de x", y "∃x" se lee como "hay al menos una cosa x tal que". El cuantificador universal "x" se relaciona con las proposiciones categóricas A y E, mientras que el cuantificador existencial "x" se ocupa de las proposiciones categóricas I y O. Ahora, analicemos cuatro proposiciones categóricas A, E, I y O de la lógica de predicados y analicemos aquellas con ejemplos apropiados.

R: Todos los estudiantes de lógica son seres racionales.

E: Ningún estudiante de lógica es astronauta.

E: Algunos estudiantes de lógica son nadadores.

O: Algunos estudiantes de lógica no son jugadores de fútbol.

3.7.2 Cuantificador universal 

El cuantificador universal se simboliza como "∀x". Se lee como "para todo x". El cuantificador universal "∀x" se utiliza en el caso de proposiciones A (universal afirmativo) y E (universal negativo). En el caso de las proposiciones A y E, todos los miembros del sujeto se toman en consideración al simbolizar las proposiciones. Con respecto a la proposición A, todos los miembros del sujeto tienen una cualidad o cosa sobre la que el predicado afirma, mientras que en el caso de la proposición E, todos los miembros del sujeto niegan una cualidad o cosa sobre la que el predicado afirma. Por ejemplo, "Todos los estudiantes de lógica son seres racionales". Esta es una propuesta A. Ahora, simbolicémoslo en la lógica de predicados.

A: Todos los estudiantes de lógica son seres racionales.

= (Sea lo que sea x) (Si x es un estudiante de lógica, entonces es un ser racional)

= (∀x) (Si x es L entonces x es R)

= (∀x) (Lx → Rx)

En este caso, hemos considerado L para "estudiante de lógica" y R para "ser racional", y la proposición "si entonces" se simboliza con "implicación" conectiva lógica.

Un ejemplo de la proposición E es "Ningún estudiante de lógica es astronauta". Ahora, simbolizaremos la proposición en la lógica de predicados.

E: Ningún estudiante de lógica es astronauta.

= (Sea lo que sea x) (Si x es un estudiante de lógica, entonces x no es un astronauta)

= (∀x) (Si x es L entonces x no es una A)

= (∀x) (Lx → ~ Ax)

En este caso, hemos tomado L para "estudiante de lógica" y A para "astronauta". La palabra no se simboliza como "~".

3.7.3 Cuantificador existencial 

El cuantificador existencial se simboliza como "∃x". Se lee como "para alguna x". El cuantificador existencial "x" se usa para proposiciones I (afirmativa particular) y O (negativa particular). En el caso de las proposiciones I y O, al menos un miembro del sujeto se toma en consideración mientras simboliza las proposiciones. En el caso del cuantificador existencial, una función proposicional afirma que al menos una instancia de sustitución verdadera existe como verdadera. Significa que estamos sustituyendo una constante individual por su variable individual Con respecto a la proposición I, al menos un miembro del sujeto tiene una cualidad o cosa sobre la que el predicado dice, mientras que en el caso de la proposición O, al menos un miembro del sujeto niega una cualidad o una cosa sobre la que el predicado establece. Por ejemplo, "Algunos estudiantes de lógica son nadadores". Esta es una propuesta de I. Ahora, simbolicémoslo en la lógica de predicados.

I: Algunos estudiantes de lógica son nadadores.

= (Hay algo x) (Esta x es un estudiante y esta x es un nadador)

= (∃x) (Esta x es una S y esta x es M)

= (∃x) (Sx ∧ Mx)

En este caso, hemos considerado S para "estudiante" y M para "nadador", y la proposición se simboliza con la conjunción conectiva lógica. Ahora, consideraremos una proposición O y simbolizaremos la proposición en la lógica de predicados.

O: Algunos estudiantes de lógica no son jugadores de fútbol.

= (Hay algo x) (Esta x es un estudiante y esta x no es un jugador de fútbol)

= (∃x) (Esta x es una S y esta x no es una C)

= (∃x) (Sx ∧ ~ Cx)

En esta proposición simbólica, hemos tomado S para "estudiante" y C para "jugador de fútbol". La palabra no se simboliza como "~".

3.7.4 Proposición atómica 

Una proposición atómica es aquella que no se combina con ninguna otra proposición, y no se puede dividir en otras proposiciones simples. Las proposiciones atómicas se conocen como proposiciones elementales y proposiciones simples. Ejemplos de proposiciones atómicas son: Rogelio es un buen chico, el autor de ética es un hombre alto, etc. Estas proposiciones no se combinan con ninguna otra proposición. No contienen ningún conectivo lógico, como "y", "uno o" y "si entonces" para determinar su función de verdad. La parte del sujeto de una proposición atómica es un nombre propio (Rogelio) o una descripción definida (el autor de de ética) del sujeto. En la lógica de predicados, se entiende que el sujeto de una proposición debe ser una cosa o una persona que tiene una cualidad sobre la que el predicado está expresando. Así, la simbolización de una proposición atómica en la lógica de predicados se lleva a cabo de una manera única donde se toman en consideración tanto la calidad como la cantidad de la proposición. Usamos alfabetos pequeños como a, b, c, etc., para una persona o una cosa, y letras mayúsculas como A, B, C, etc., para la calidad del tema. El símbolo de calidad se usa a la izquierda de la persona o cosa. 

Por ejemplo:

Ejemplo 1

Rogelio es un buen chico.

= m es una G

= G m

En esta proposición simbólica, "m" significa Rogelio y "G" significa "buen chico".

Ejemplo 2

María es cantante.

= s es una N

= Ns

En esta proposición simbólica, "s" significa María y "N" significa "cantante".

Ahora, consideremos una proposición compuesta donde un sujeto tiene dos cualidades, y simbolicémosla en la lógica de predicados.

Ejemplo-3

Mira es cantante y bailarina.

= m es una S y m es una D

= Sm ∧ Dm

En esta proposición simbólica, "m" significa Mira, "S" significa "cantante" y "D"

significa "bailarina".

Ejemplo 4

Mita es jugadora de bádminton y escritora.

= m es una B y m es una W

= Bm ∧ Wm

En esta proposición simbólica, "m" significa Mita, "B" significa "bádminton

jugador”  y W significa "escritor".

3.7.5 Oposición de proposición  

Discutimos la oposición de proposiciones como parte de la lógica oracional. Tomamos prestadas las reglas y condiciones de la oposición de proposiciones y las usamos en la lógica de predicados. Tomamos prestadas las proposiciones A, E, I y O de la lógica enunciativa para explicarlas en la lógica de predicados. En la lógica de predicados se encuentran cuatro formas de oposición de proposiciones que están relacionadas con las proposiciones atómicas A, E, I y O. Estos son:

(i) Subalternación

(ii) Contrario

(iii) Subcontrario

(iv) Contradictorio

En la figura sigueinte las proposiciones A y E están relacionadas entre sí en relación contraria, y las proposiciones A e I, y E y O están relacionadas entre sí en relación de subalternación. Las proposiciones I y O tienen la relación subcontraria. Además, las proposiciones A y O, y E e I están relacionadas entre sí en una relación contradictoria. Las proposiciones categóricas A, E, I y O se tratan con la cantidad y calidad de las proposiciones. Las proposiciones A y E están simbolizadas en cuantificadores universales, mientras que las proposiciones I y O están simbolizadas en cuantificadores existenciales. Ahora, simbolicemos las proposiciones A, E, I y O en la lógica de predicados con el sujeto X y el predicado Y.

Oposición de propuestas

3.7.6 Traducción de proposiciones lógicas a lógica de predicados 

A diferencia de la lógica oracional, en la lógica de predicados, tanto la calidad como la cantidad de la proposición se toman en consideración al simbolizarla. El objetivo de la lógica de predicados es revelar la estructura interna de la proposición a través de su forma simbólica. A partir de ahora, hemos discutido los métodos para simbolizar proposiciones atómicas y proposiciones compuestas en la lógica de predicados. Pero en el discurso lingüístico, es posible que no siempre encontremos proposiciones simples o compuestas. Más bien, hay ocasiones en las que las proposiciones no se encuentran en una forma lógica estándar. Para simbolizar estas proposiciones en la lógica de predicados, necesitamos reducir estas proposiciones a la forma lógica estándar y necesitamos identificar la calidad y cantidad de estas proposiciones. A continuación, aclararemos algunos ejemplos de este tipo de proposiciones para su referencia, comprensión y comprensión. discernimiento. Por ejemplo,

Ejemplo 1

Ninguno de los ingenieros civiles de la ciudad pudo salvar el paso elevado.

= Ningún ingeniero civil en la ciudad es una persona que pueda salvar el paso elevado.

= (Cualquiera que sea x) (Si x es un ingeniero civil en la ciudad, entonces x es una persona que

no pudo salvar el paso elevado)

= (∀x) (Cx → ~ Fx)

Ejemplo 2

No a todos los estudiantes les gusta la lógica.

= A algunos estudiantes no les gusta la lógica.

= (Hay algo x) (Esta x es un estudiante y a x no le gusta la lógica)

= (∃x) (Sx ∧ ~ Lx)

Ejemplo 3

Solo los profesores son doctores.

= Todos los que son doctores son profesores.

= (Cualquiera que sea x) (Si x es un doctorado, entonces x es un profesor)

= (∀x) (Dx → Px)

En el discurso lingüístico, también se encuentra que las proposiciones tienen un sujeto y un predicado, y el sujeto y el predicado tienen más de una cualidad. Para simbolizar este tipo de proposición en la lógica de predicados, necesitamos averiguar la calidad y cantidad de la proposición. Por ejemplo,

Ejemplo 1

Las chicas que nadan son fuertes.

= (Cualquiera que sea x) (Si x es una niña y x es un nadador, entonces x es fuerte)

= (∀x) ((Gx ∧ Mx) → Sx)

En esta proposición simbólica, G significa "niña", M significa "nadador" y S

significa "fuerte".

Ejemplo 2

Los niños que juegan al bádminton son fuertes y activos.

= (Cualquiera que sea x) (Si x es un niño y x juega bádminton, entonces x es fuerte y

x está activo)

= (∀x) ((Bx ∧ Nx) → (Sx ∧ Ax))

En esta proposición simbólica, B significa "niño", N significa "bádminton", S

significa "fuerte" y A significa "activo".

Ejemplo-3

Es falso que algunos estudiantes sean analfabetos.

= ~ (Hay algo x) (Esta x es un estudiante y esta x es analfabeta)

= ~ (∃x) (Sx ∧ Ix)

En esta proposición simbólica, S significa "estudiante" y I representa "analfabeto".

También hay proposiciones que constan de más de una cosa (o una persona) y un predicado. Para simbolizar este tipo de proposición en la lógica de predicados, necesitamos averiguar los nombres de las cosas o personas y predicados usados en la proposición. Por ejemplo,

Ejemplo 1

A todos les gusta algo.

= (Sea lo que sea x) (Si x es una persona, (hay algo y, y es una cosa), entonces

x le gusta y)

= (∀x) (Px → (∃y) Lxy)

En esta proposición simbólica, "todos" se reduce a "todas las personas". Por tanto, se representa mediante un cuantificador universal. Tomamos la variable "x" para representar a "todas las personas". La palabra "algo" se representa en cuantificador existencial. En este caso, tomamos la variable "y" para representar "algo". La palabra "me gusta" es un predicado que conecta a "todos" con "algo". Como resultado, la proposición establece que si hay una persona y hay una cosa, entonces a la persona le gusta esa cosa.

Ejemplo 2

Alguien ama a todos.

= (Hay algo x) (Esta x es una persona y (sea lo que sea y, si y es una

persona entonces x ama y))

= (∃x) (Px ∧ (∀y) (Py → Lxy))

En esta proposición simbólica, "alguien" se reduce a "una persona". Por tanto, se simboliza en cuantificador existencial. La palabra "todos" se reduce a "todas las personas" y se representa en un cuantificador universal. Para el cuantificador universal y el cuantificador existencial, hemos tomado dos variables separadas, x e y, respectivamente. La palabra "amor" es el predicado que conecta "una persona" con "cada persona". Como resultado, esta proposición establece que hay una persona y si hay otras personas, entonces una persona ama a todas las demás.

Ejemplo 3

Todo el mundo ama a alguien.

= (Cualquiera que sea x) (Si x es una persona, entonces (hay algo y, esta y es una

persona y x ama a esta persona))

= (∀x) (Px → (∃y) (Py ∧ Lxy))

En esta proposición simbólica, "alguien" se reduce a "una persona", por lo que se representa a través del cuantificador existencial. La palabra "todos" se reduce a "todas las personas" y se representa a través de un cuantificador universal. Para el cuantificador universal y el cuantificador existencial, hemos tomado dos variables separadas, x e y, respectivamente. La palabra "amor" es un predicado que conecta "todas las personas" con "una persona". Por tanto, esta proposición establece que si hay una persona, entonces hay otra persona y todas y cada una de las personas aman a esa persona.

3.7.7 Demostración de la validez de los argumentos 

En lógica oracional, explicamos las técnicas y los procedimientos para probar la validez de los argumentos simbólicos mediante la aplicación de fórmulas de derivación proposicionales. Las fórmulas de derivación proposicionales se consideran reglas evidentes por sí mismas. Usamos estas fórmulas en la lógica de predicados para probar la validez de argumentos simbólicos. Para nuestra conveniencia y referencia inmediata, mencionamos las fórmulas de derivación proposicionales para probar la validez de los argumentos.

Junto con estas fórmulas, necesitamos otras cuatro reglas para probar la validez de los argumentos en la lógica de predicados. Estas reglas son:

Creación de instancias universal (UI)

Generalización universal (UG)

Instanciación existencial (EI)

Generalización existencial (EG)

La expresión "instanciación universal" se abrevia como UI. La rule UI expresa que en una proposición, cualquier cosa que se predique (ya sea afirmativa o negativamente) universalmente a una clase, puede predicarse (ya sea afirmativa o negativamente) a todos sus miembros de la clase. Por ejemplo, si "Todos los cuervos son negros" es verdadero, entonces "Cuervo x es negro", "Cuervo y es negro", "Cuervo z es negro", etc., también son verdaderos. Además, si "Ningún cisne es negro" es cierto, entonces "El cisne x no es negro", "El cisne y no es negro" y "El cisne z no es negro" también son verdaderas. La expresión "generalización universal" se abrevia como UG. La regla UG establece que si una proposición dada es verdadera para cualquier cosa o persona, entonces aplicando la regla de inferencia, a partir de esta proposición, podemos inferir la proposición válida universal. Por ejemplo, si "La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos" es verdadera, entonces "La suma de los tres ángulos interiores de todos los triángulos es igual a dos ángulos rectos" también es verdad. La expresión "instanciación existencial" se abrevia como EI. La regla EI expresa que en una proposición todo lo que se predica (ya sea afirmativa o negativamente), particularmente a una clase, puede predicarse (ya sea afirmativa o negativamente) al menos a un miembro de la clase. Por ejemplo, si "Algunos estudiantes son nadadores" es cierto, entonces al menos un estudiante dice que “Rogelio es un nadador" también es cierto. Además, si "Algunos estudiantes no son jugadores de fútbol" es cierto, entonces al menos un estudiante dice que “José no es un jugador de fútbol" también es cierto. La expresión "generalización existencial" se abrevia como EG. La regla EG establece que si una proposición dada es verdadera para cualquier cosa o persona, entonces aplicando la regla de inferencia, a partir de esta proposición, podemos inferir la cuantificación existencial de la proposición. Por ejemplo, si "La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos" es verdadera, entonces "La suma de los tres ángulos interiores de todos los triángulos es igual a dos ángulos rectos" también es verdad. Ahora, probemos la validez de los siguientes argumentos en la lógica de predicados.

Ejemplo 1

Todos los profesores son aprendices.

Todos los investigadores son profesores.

Por tanto, todos los investigadores son aprendices.

La traducción simbólica de este argumento es la siguiente.

(∀x) (Tx → Lx)

(∀x) (Rx → Tx)

Por lo tanto, (∀x) (Rx → Lx)

En este argumento, T significa "maestro", L significa "aprendiz" y R significa "investigador". Al traducir la proposición en forma simbólica, hemos tenido en cuenta la calidad y cantidad de todas las proposiciones del argumento. Podemos probar la validez de este argumento de dos formas. Primero, aplique la regla de UI a todas las premisas del argumento, ya que son proposiciones afirmativas universales (proposiciones A). Podemos reemplazar una constante individual, digamos "a" con la variable "x". Por tanto, no necesitamos mencionar el cuantificador en el argumento. Una vez que formulamos el argumento con constante individual, podemos aplicar las fórmulas de derivación proposicionales para probar la validez del argumento. Al hacerlo, estamos reduciendo el argumento de lógica de predicados a un argumento de lógica de oración.

1. (Ta → La)

2. (Ra → Ta)

Conclusión (Ra → La)

3. (Ra → La) (de 2 y 1 aplicando la fórmula-13)

Este argumento se prueba como un argumento válido.

En segundo lugar, necesitamos reducir el cuantificador de las premisas del argumento una por una utilizando las reglas UI y EI, como se exige. Al final de este proceso, encontramos que el argumento de la lógica de predicados se reduce a la forma de lógica enunciativa. Luego, aplicamos las fórmulas de derivación proposicionales para probar la validez del argumento. A partir de entonces, traducimos la proposición lógica oracional (conclusión del argumento) en forma de proposición lógica predicada utilizando las reglas UG y EG según lo exigido. 

El argumento anterior se prueba de la siguiente manera.

1. (∀x) (Tx → Lx)

2. (∀x) (Rx → Tx)

Conclusión (∀x) (Rx → Lx)

3. (Ta → La) (desde 1 usando la interfaz de usuario)

4. (Ra → Ta) (desde 2 usando la interfaz de usuario)

5. (Ra → La) (de 2 y 1 aplicando la fórmula-13)

6. (∀x) (Rx → Lx) (de 5 usando UG)

Este argumento se prueba como un argumento válido.

Ejemplo 2

1. (∀x) (Ax → Bx)

2. (∃x) (Ax ∧ Cx)

Por lo tanto, (∃x) Bx

Al aplicar el primer método, estamos probando la validez del argumento.

3. (Aa → Ba)

4. (Aa ∧ Ca)

Conclusión Ba

5. Aa (de 2 aplicando la fórmula-20)

6. Ca (de 2 aplicando fórmula-20)

7. Ba (de 1 y 3 aplicando la fórmula 14)

Este argumento se prueba como un argumento válido.

Ahora, aplicaremos el segundo método para probar la validez del argumento.

1. (∀x) (Ax → Bx)

2. (∃x) (Ax ∧ Cx)

Conclusión, (∃x) Bx

3. (Aa → Ba) (de 1 usando la interfaz de usuario)

4. (Aa ∧ Ca) (de 2 usando EI)

5. Aa (de 4 aplicando la fórmula 20)

6. Ca (de 4 aplicando fórmula-20)

7. Ba (de 3 y 5 aplicando la fórmula 14)

8. (∃x) (Bx) (desde 7 usando EG)

Este argumento se prueba como un argumento válido.

Referencias

[1] Kreiser, Lothar. (2001). Gottlob Frege. DOI:10.28937/978-3-7873-2513-9.

[2] Riffert, Franz. (2009). Alfred North Whitehead. 

DOI:10.30965/9783657768387_178.