Física Clásica y relativista
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán
Capítulo II.
Ecuaciones de movimiento en dos dimensiones
Que la ciencia es importante es algo que pocos niegan ya. Muestra de semejante importancia es la frecuencia con la que cualquiera se puede encontrar con todo tipo de términos científicos: electrón, trayectoria orbital, planeta, agujero negro, cromosoma, conjetura matemática, infinito…
Ernst P. Fisher (2006) El gato de Schrödinger en el árbol de Mandelbrot. Barcelona: Crítica
Nota: Este documento contiene integrales y derivadas solo como apoyo para explicar, son descriptoras de la realidad, los cálculos se apoyan en la capacidad matemática para un bachiller que ha cursado álgebra y geometría.
2.1. Movimiento
La cinemática es el estudio y la descripción del movimiento, sin tener en cuenta las causas que lo originan (las fuerzas). Es un análisis de trayectorias en función del tiempo, involucrando conceptos de velocidad, aceleración y dimensiones espaciales. El espacio y el tiempo para el caso de la física clásica se consideran absolutos.
Fig. 2.1 Movimiento de alas de mariposa monarca.
Las alas de esta mariposa monarca en los bosques de Michoacán se están moviendo, probablemente puedes pensar en muchos otros ejemplos de cosas en movimiento, basta tan solo mirar a tu alrededor. Si observas algo moverse, tus ojos se moverán. Así que ya sabes por experiencia lo que es el movimiento. No hay duda de que parece un concepto bastante simple. Sin embargo, en este texto descubrirás que no es tan simple como parece.
En la ciencia, el movimiento se define como un cambio de posición. La posición de un objeto es su ubicación espacial. Además de las alas de la mariposa en la imagen de apertura, se puede ver otros ejemplos de movimiento en las siguientes figuras. En cada caso, la posición de algo está cambiando.
Fig. 2.2 Movientes.
El automóvil y sus pasajeros están acelerando; nuestro planeta tierra gira sobre su eje y se traslada alrededor del sol a 29.8 km/s; los bailarines cambian sus posiciones corporales siguiendo la música. Estos ejemplos muestran que la forma en que percibimos el movimiento depende de nuestro marco de referencia. Por marco de referencia nos referimos a algo que no se mueve con respecto a un observador, que se puede utilizar para detectar el movimiento. Para los niños en un autobús, al utilizar otros niños que viajan en el autobús como su marco de referencia, que no parecen estar en movimiento. Pero si se utilizan objetos fuera del autobús como su marco de referencia, se puede decir que se están moviendo. El video en el enlace de abajo ilustra otros ejemplos de cómo el marco de referencia está relacionado con el movimiento. Para reflexionar sobre los sistemas de referencia, ingrese la siguiente URL en su navegador de Internet: http://www.amnh.org/learn/pd/physical_science/week2/frame_reference.html previamente instale el http://get.adobe.com/es/shockwave/ . Revise los siguientes videos para ejemplificar sobre marcos de referencia:
https://www.youtube.com/watch?v=7jBCZh-6lWg
https://www.youtube.com/watch?v=uiQ7r0VkAgU
https://www.youtube.com/watch?v=kXa3BRRdIH8
https://www.youtube.com/watch?v=ATaQ2JD5fd0
https://www.youtube.com/watch?v=htGlherjPmQ
https://www.youtube.com/watch?v=jUOSDwTSBTc
https://www.youtube.com/watch?v=edaw_kjmxss
El tiempo como tic tac de un reloj. Es el inexorable paso de una cantidad no recuperable, esos momentos preciosos que fluyen como instantes lejos de la voluntad y los límites de nuestra existencia, es ese algo que en el vuelo de la música que expone la espera de un devenir pasado por silencio y sonido, es la memoria de ese poeta llamado Octavio Paz en la opinión de un lector 100 años después en 2014, es ese viajero del tiempo que es forzado a ir en una dirección narrativa. El tiempo nos expresa dónde estamos, hacia donde vamos. Solo cuando percibimos el tiempo percibimos la velocidad, la aceleración, las fuerzas y el movimiento. El tiempo marca el nacimiento de un niño, del universo, el final de nuestras vidas; el periodo para alcanzar el estado de equilibrio de un sistema en desorden y sin saber si habrá un final para los tiempos de nuestro universo, estamos seguros que en el tiempo de esta lectura, hay valor en la reflexión, como el verdadero tiempo que importa a la conciencia de hombres de materia, células y código ADN.
El tiempo narrativo dice Vargas Llosa:
Lo primero que hace, ahora, es desvelar el misterio del momento en que un libro lo hechiza: “¡Depende del género!”, aclara. “En la poesía la clave está en los primeros versos. Si no son buenos, difícilmente remontará y al lector se le va acabando su tiempo. En la novela, en cambio, eso puede retrasarse y no siempre las primeras páginas guardan la maravilla que puede venir. Por eso, de alguna manera, entiendo a Gide cuando rechazó publicar En busca del tiempo perdido, de Proust, lo que lo llevaría a arrepentirse toda la vida. Hay otras novelas que desde las primeras palabras te capturan, como Cien años de soledad con ese comienzo extraordinario; o Moby Dick, con ese ‘Digamos que me llamo Ismael’, tan enigmático; o El Quijote con ‘En un lugar de La Mancha de cuyo...’ con su misterio y musicalidad. Como decía Borges, lo que no es excelente no es poesía, por eso me dediqué a la novela[1]…”.
2.2 El tiempo es esa referencia de cambio infinitesimal
Si digo que mi hijo nació en el hospital de la Salud, Morelia Michoacán, sabrá dónde en el espacio ocurrió este milagroso evento donde se llevó a cabo una transformación de la realidad. Lo más probable, sin embargo, es que Usted considere que la información es incompleta hasta que yo añada que nació a las 7:59 am del 7 de junio de 1997, de acuerdo con el reloj en la pared de la sala de parto. Eso es solo un ejemplo de la importancia del tiempo en nuestras vidas. Sirve como un enlace a todo en nuestro mundo, no importa lo que pase, y cuando esto sucede, siempre podemos relacionarlo con cualquier otra cosa en el momento en que se produjo.
Desde la antigüedad, los seres humanos han entendido la relación entre el tiempo y el movimiento. Si camino desde un extremo de Morelia a otro, y cada vez camino más rápido me toma menos tiempo para llegar allí. Los primeros esfuerzos de la humanidad para medir y marcar el tiempo vinieron del concepto de movimiento, en una escala mayor: la del Sol, la Luna, los planetas y estrellas que se mueven en el cielo. Sin la herramienta observacional moderna, a simple vista nuestros antepasados observaban viajar al Sol a través del cielo de este a oeste cada día. También vieron el Sol reemplazado cada noche por las estrellas, que se movían en la misma dirección, todas aparentemente giran alrededor de un solo punto en el cielo del norte. Al rastrear sus posiciones para cientos, y luego miles de días, estos primeros astrónomos descubrieron que el Sol y las estrellas siguieron caminos predecibles que cambian en ciclos repetitivos. Cuando ellos también se dieron cuenta de que esos ciclos que coinciden con las estaciones podían planificar su vida alrededor de ellos. Cuando ciertos patrones de estrellas aparecieron exactamente al atardecer o amanecer, sabían acerca de cuánto tiempo duraría la luz del día, cómo lo caliente o frío que sería el tiempo climático, y cuántos días se quedaría de esa manera. Con esta conciencia del paso del tiempo, los antiguos crearon sociedades y comunidades agrícolas, que luego se convirtieron en civilizaciones como la Maya, la Purépecha y la Occidental. Así nació el calendario, y la idea del año. Calendario de continua importancia de la agenda en el mundo que hoy es testigo de la labor de los primeros observadores de la cúpula celeste.
Fig. 2.3 Reloj atómico mexicano (Investigadores del Centro Nacional de Metrología (CENAM), ubicado en Querétaro https://www.youtube.com/watch?v=yc7Tqt1wwKA )
Gracias a la tecnología de los relojes modernos, el conocimiento de los patrones de las estrellas de temporada, una vez tan necesario para la supervivencia humana, se ha relegado a la condición de una afición útil. La capacidad de la humanidad para mantener la hora exacta, es una larga historia. Cuando Isaac Newton elaboró sus ideas sobre la velocidad y la fuerza, todo lo cual dependía del tiempo como clave, los primeros relojes de péndulo relativamente fueron recientemente construidos, y fueron capaces de mantener la hora con una precisión de alrededor de un minuto para la referencia al día. Relojes en edificios y relojes portátiles eran 10 veces menos precisos. A mediados del siglo XVIII, cuando el ingeniero británico John Harrison diseñó un cronómetro marino que podía mantener la hora con una precisión de un segundo por día, claro que los relojes no son útiles en absoluto para la navegación. Hoy en día, se fabrican muchos y mejores relojes, como los atómicos; midiendo la resonancia de frecuencias, se pueden ordenar como "vibraciones" atómicas causadas por la absorción y emisión de luz de celsius cuidadosamente procesados, rubidio, u otros átomos, se puede ahora medir el paso del tiempo con una precisión de 0.00000003 segundos por año. Como el caso del reloj atómico mexicano que da la hora oficial en los Estados Unidos Mexicanos (http://www.cenam.mx/hora_oficial/).
2.3 Pero... el tiempo no es una muy buena referencia
La dificultad que hemos tenido históricamente en medir el tiempo con precisión relevante es una gran ironía: a pesar de su importancia como referente en nuestras vidas modernas y en la historia, la percepción del tiempo de un ser humano es tremendamente subjetiva y temblorosamente inconsistente. Los psicólogos hablan de "tiempo fenomenológico", que pasa rápidamente o lentamente sobre la base de lo que vivimos, cómo estamos pensando y sintiendo lo que vivimos a través de la experiencia, y lo que recordamos después de la experiencia que ha terminado. Así el tiempo fenomenológico vuela cuando uno se divierte, y arrastra su pesadez cuando por ejemplo vivimos la tediosa burocracia administrativa. Otros sociólogos explican que el tiempo es un recurso que todos asignamos, eficaz o no, a las cosas que nos importan y queremos alcanzar. Y otros interpretan a su vez, no como una serie lineal de eventos monolíticos, sino como numerosos flujos de eventos que fluyen en paralelo (policlínica). Es por eso que, por ejemplo, un "minuto de Morelia" puede ir más rápido que cualquier otro en un tiempo en que no somos conscientes de su valor. Por último, están los que sintetizan todas estas ideas y llegan a construcciones tales como el "tiempo cíclico", "tiempo helicoidal", y muchas más topologías cronológicas como: la dilatación del tiempo, tiempo subordinado por zonas, tiempo real, diacrónicos, sincrónicos, cronológicos[2].
Nuestras experiencias humanas implican que el paso del tiempo es una forma imperfecta de anclar nuestras vidas y calibrar nuestra historia. Por otra parte, las bases astronómicas y físicas de tiempo de medición a la Tierra girando sobre su eje, la órbita de la Luna, la órbita de la Tierra alrededor del Sol son algo más complejo -estancia, para cualquier necesidad humana práctica, constante e inquebrantable-. Así que para poner todos nuestros relojes individuales en una referencia común, hemos aprendido a confiar en relojes más o menos idénticos, que se definen por convención mundial y sobre la base de ambos movimientos macroscópicos y microscópicos: los giros y las órbitas de la Tierra, subdivididos utilizando resonancias atómicas. Es el horario mundial tan socorrido para la actividad global, URL http://24timezones.com/reloj_hora_exacta.php; es llamado tiempo universal coordinado UTC, referido en términos de relojes atómicos, y ya no en términos del meridiano de Greenwich GMT. El reloj de la hora Internet BMT se emplea para sincronizar las computadoras con ayuda de servidores de tiempo del protocolo simple de tiempo SNTP (Network Time Protocol) que emplea el algoritmo de Marzullo y el de Lamport. En un ordenador el tiempo se calcula con el apoyo de un oscilador de cuarzo, es decir, en términos de su frecuencia, sin embargo, no es algo fácil sincronizar todas las máquinas de la red de cómputo internacional[3].
La noción de tiempo fijo o absoluto, por lo tanto, habita en nuestro desarrollo, el tiempo es un problema de nuestra propia tecnología. El reto fundamental de entender el tiempo en el universo surge de la necesidad social de la humanidad para sincronizar los esfuerzos y experiencias de las personas, con el fin de producir resultados que ningún individuo puede producir por sí solo. Esta fuerza motriz fundamental de la sociedad - para llegar a tiempo- había sido ya arraigada en la psique humana durante miles de años, cuando Albert Einstein propuso su nuevo modelo para el tiempo en 1905, en su mente luchó con la idea de que el tiempo realmente no es absoluto, descubre que es flexible, maleable y deformable, tal vez no deberíamos ser demasiado duros con nosotros mismos al aprender este concepto.
2.4 El tiempo es una dimensión
Cuando Albert Einstein irrumpió en la escena científica en 1905, anuló por completo nuestro concepto del tiempo. A finales del siglo XIX, uno de los objetivos más importantes de la investigación en las ciencias físicas fue entender las medidas de interferometría de Michelson y Morley. Este experimento demostró que el movimiento de la luz no sigue las leyes del movimiento fundadas en la época de Newton. ¿Qué estaba mal con la teoría existente que hizo que el comportamiento de luz se conceptualizará de forma diferente de lo esperado?
Una posibilidad, de que los objetos cambien su longitud en función de cómo se están moviendo, desafió el sentido mismo de la velocidad, o la velocidad de movimiento a través del espacio. Como la velocidad se mide en un intervalo de distancia dividida por un intervalo de tiempo (por ejemplo, a una milla por hora o un metro por segundo), la naturaleza del tiempo se convirtió en parte de la discusión. Si la longitud pudiera cambiar con el movimiento, ¿el tiempo podría hacer lo mismo?
En su primer documento histórico sobre la relatividad, Einstein explicó que cualquier medida de la longitud o el tiempo depende del movimiento, tanto del "medidor" y el "mensurando." Bueno, si la longitud cambia cuando se mueve, y el tiempo cambia cuando se mueve, entonces es natural considerar la longitud y el tiempo para ser el mismo tipo de construcción física. Eso significa que el tiempo es una dimensión, de la misma forma en que la longitud, la anchura, y la altura son dimensiones. -Están vinculados espacio y tiempo, están íntimamente unidos, no somos criaturas tridimensionales que ocupan espacio, somos criaturas de cuatro dimensiones que ocupan espacio-tiempo-. El tiempo es la cuarta dimensión.
Einstein cimentó la idea del tiempo como una dimensión cuando desarrolló la Teoría General de la Relatividad. Aún así, casi un siglo después de su confirmación científica, el concepto se siente extranjero. Por un lado, ya que podemos cambiar las velocidades a medida que viajamos por el espacio, si el tiempo es una dimensión, entonces debemos ser capaces de cambiar las velocidades a medida que avanzamos en el tiempo, ¿verdad? bueno, podemos y por extraño que pueda parecer, es el punto clave para recordar cuando pensamos en el tiempo, el movimiento y el significado de la relatividad.
2.5 Posición, distancia y desplazamiento
Con el fin de estudiar la forma en que algo se mueve, debemos saber dónde está. Esta ubicación es la posición de un objeto. Para visualizar la posición de los objetos en movimiento en línea recta, se puede imaginar que el objeto está en una recta numérica. Se puede colocar en cualquier punto de la recta numérica en los números positivos o los números negativos. Es común para elegir la posición original del objeto estar en la marca cero. Al hacer la marca en el cero, el punto de referencia que se ha elegido es un marco de referencia en el origen. La posición exacta de un objeto es la separación entre el objeto y el punto de referencia.
Cuando un objeto se mueve, a menudo nos referimos a la cantidad que varía, esa que se mueve, como la distancia. La distancia no necesita un punto de referencia y no necesita una dirección. Si un automóvil se desplaza 70 kilómetros, la distancia recorrida es de 70 kilómetros sin tener en cuenta el punto de partida o de la dirección del movimiento. Si queremos encontrar la posición final del automóvil, sin embargo, debemos tener la distancia recorrida y dirección para determinar la posición final, es decir, necesitamos conocer el punto de partida y la dirección del movimiento. El cambio de la posición del objeto se llama desplazamiento, este, debe incluir una dirección, porque la posición final puede ser, ya sea en la dirección positiva o negativa a lo largo de la línea numérica de la posición inicial. El desplazamiento es una magnitud vectorial.
En conclusión, la longitud recorrida por un objeto en movimiento en cualquier dirección, o incluso que cambia de dirección se llama distancia. La ubicación de un objeto en un marco de referencia se denomina posición. Para el movimiento en línea recta, las posiciones se pueden mostrar usando una recta numérica. La separación entre la posición original y final se llama desplazamiento.
2.6 Velocidad y dirección
La velocidad te dice la rapidez con que se mueve un objeto, la rapidez es un escalar. La rapidez no te dice la dirección en que se mueve el objeto. La velocidad es un vector, incluye rapidez y dirección a la vez. Un vector es la medición, incluye tanto la magnitud y la dirección. Los vectores a menudo son representados por segmentos de rectas con flechas en un espacio geométrico. Cuando se utiliza el vector para representar la velocidad, la longitud representa la rapidez y el ángulo del mismo es la dirección.
Los objetos tienen la misma velocidad solo si se están moviendo con la misma rapidez y en la misma dirección. Objetos que se mueven con diferente rapidez, en diferentes direcciones, o ambos tienen diferentes velocidades. Observe las flechas A y B de la figura siguiente, representan objetos que tienen diferentes velocidades sólo porque se están moviendo en diferentes direcciones. A y C representan los objetos que tienen diferentes velocidades solo porque se mueven con rapidez diferente. Objetos representados por B y C tienen diferentes velocidades, ya que se mueven en diferentes direcciones y diferente rapidez. La rapidez instantánea, es el movimiento en un instante, si unimos el concepto a al de dirección, esta será una velocidad instantánea. Cuando una partícula se mueve con rapidez constante la aceleración es cero.
Las unidades de la rapidez son m/s; cm/año; km/h; ft/s; mi/s.
Se puede calcular la velocidad media de un objeto en movimiento que no está cambiando de dirección al dividir la distancia a que el objeto viaja por el tiempo que se tarda en recorrer esa distancia. Usted podría utilizar esta fórmula:
Esta es la misma fórmula que se utiliza para el cálculo de la velocidad media, representa la velocidad solo si la respuesta incluye también la dirección en la que el objeto está viajando. Por ejemplo, una bicicleta se desplaza a 40 metros en 20 segundos antes de que pare. La velocidad de la bicicleta es:
donde d es distancia, t el tiempo, 
es la velocidad media.
La norma de la velocidad media de un cuerpo es igual a la distancia total entre el tiempo total. La norma de la velocidad media es mayor que la velocidad media porque la distancia total recorrida es mayor en un desplazamiento total.
La velocidad instantánea de un objeto es la velocidad del objeto en un momento dado. Si el objeto se está moviendo con rapidez constante, entonces la velocidad instantánea en cada momento es la velocidad media, es decir, la pendiente es la velocidad promedio, que para el caso de una recta de trayectoria será constante.
Es la pendiente de la curva x(t).
Esta última expresión es la velocidad instantánea cuando el tiempo tiende infinitesimalmente a cero. Quizás se pregunte como puede haber velocidad en una partícula en un instante si no hay desplazamiento, recuerde por la definición de la derivada, cada punto de la curva es en realidad un
que pertenece a un polígono regular de n número de lados: círculo.
La velocidad relativa se calcula como la variación de velocidad observada desde un marco de referencia respecto a otro marco de referencia. Si usted viaja por la avenida acueducto en Morelia en una combi a 40 km/h (Va) todos los ocupantes viajan también a esa velocidad respecto del marco de referencia C. Respecto de una persona que caminó a 1 km/h (Vb) con marco de referencia C paralelamente al movimiento de la combi. Los observadores A y B por un tercer observador en marco de referencia C sentados en una banca, ve la velocidad relativa de Va y Vbrespectivamente, Vab definida por:
Esta velocidad relativa es válida para cuando las Vay Vb son relativamente muy bajas respecto de la velocidad de la luz. Einstein con el empleo de las trasformadas de Lorentz descubre que a velocidades de la luz esta expresión es errónea.
2.7 Movimiento acelerado
Para el movimiento acelerado (la velocidad está en constante cambio), la posición frente al gráfico de tiempo será una línea curva. La pendiente de la línea curva en cualquier punto es la velocidad instantánea en ese momento. Si estuviéramos calculando la aceleración media, esta será el cambio de la velocidad instantánea en un intervalo de tiempo particular:
dada en m/s2. La aceleración instantánea será entonces
Es decir, es la pendiente de la curva v(t).
Ejemplo 1: Un coche acelera a lo largo de una carretera recta desde el reposo hasta 100 km / h en 5 s ¿Cuál es la magnitud de su aceleración media?
Solución:
La aceleración de este problema se lee como kilómetros por hora por segundo. En este caso, es deseable tener m y segundos. Para eliminar este problema, convertimos las unidades de horas a segundos. La conversión de los originales 100 km/h a m/s, da 27.78 m/s.
Ejemplo 2: Un automóvil se está moviendo a lo largo de una carretera recta en la dirección positiva y el conductor pisa el freno. Si la velocidad inicial es 45 m/s y en 7 s, se requiere que se reduzca a 5 m / s, ¿cuál fue la desaceleración del automóvil?
Solución:
Tenga en cuenta que una aceleración no es más que un cambio en la velocidad. Este cambio puede ser positivo o negativo. Un cambio negativo, tal como que en el ejemplo anterior, se denomina a veces la aceleración negativa o desaceleración.
Aceleración uniforme. La aceleración que no cambia con el tiempo se llama uniforme o aceleración constante, no cambia en módulo. La velocidad en el comienzo del intervalo de tiempo se llama velocidad inicial, Vi, y la velocidad al final del intervalo de tiempo se llama velocidad final, Vf. En un gráfico de velocidad vs tiempo para la aceleración uniforme, la pendiente de la línea es la aceleración. Con la aceleración media de una partícula, podemos determinar cuánto cambiará la velocidad en un tiempo
Si la partícula ya tenía una velocidad inicial, su velocidad final al cabo de un tiempo t, se calcula sumando el incremento o reducción de cambio de la velocidad al valor inicial.
Desplazamiento durante la aceleración constante. Cuando la aceleración es constante, hay tres ecuaciones que relacionan el desplazamiento de dos de las otras tres cantidades que usamos para describir el movimiento tiempo, velocidad, y aceleración. Estas ecuaciones solo funcionan cuando la aceleración es constante, pero hay, por suerte, un buen número de casos de movimiento donde la aceleración es constante. Uno de los más comunes, si ignoramos la resistencia del aire, son los objetos que caen, debido a la gravedad.
Cuando un objeto se mueve con velocidad constante, el desplazamiento se puede encontrar multiplicando la velocidad por el intervalo de tiempo, como se muestra en la siguiente ecuación:
Si la partícula se mueve con aceleración constante, pero no a una velocidad constante, podemos utilizar una derivación de esta ecuación. En lugar de utilizar v, como la velocidad, debemos calcular y usar la velocidad media usando esta ecuación:
La distancia para acelerar de manera uniforme el movimiento se puede encontrar multiplicando la velocidad media por el tiempo.
(Ec. 1)
Sabemos que la velocidad final para el movimiento constantemente acelerado se puede encontrar multiplicando el tiempo de aceleración y añadiendo el resultado a la velocidad inicial:
(Ec.2)
La segunda ecuación que relaciona el desplazamiento, tiempo, velocidad inicial, y velocidad final se genera mediante la sustitución de esta ecuación en la ecuación 1.
Sabemos que
Por lo tanto:
(Ec.3)
Si resolvemos la primera ecuación y la sustituimos en la segunda:
Así que para Vf:
(Ec. 4)
Tome en cuenta que estas cuatro ecuaciones son válidas solo cuando la aceleración es constante. En muchos casos, la velocidad inicial se puede ajustar a cero y se simplifican las ecuaciones considerablemente. Cuando la aceleración es constante y la velocidad inicial es cero, las ecuaciones pueden simplificarse a:
Ejemplo 3: Si un automóvil con una velocidad de 5.0m/s acelera a razón de 8.0 m/s2 durante 2.5 s, ¿cuál es la velocidad final?
Solución:
Ejemplo 4: Si un coche frena de 27.0 m/s con una aceleración de -4.0 m/s2, ¿cuánto tiempo se requiere para llegar a 7 m/s?
Solución:
Ejemplo 5: Calcule el tiempo para una velocidad de 7.5 m/s y una distancia recorrida de 78 m.
Solución:
Ejemplo 6: Calcule el tiempo para una aceleración de 23 m/s2, una velocidad inicial de 12 m/s y una distancia de 45 m.
Solución:
Debemos primeramente despejar el tiempo de
Despeje:
Para el despeje podemos apoyarnos en WolframAlpha
Ejemplo 7: Calcule el tiempo para una aceleración de 145 m/s2, una velocidad inicial de 13 m/s y una velocidad final de 67 m/s.
Solución:
Ejemplo 8: Calcule la desaceleración de una partícula con 34m/s de velocidad inicial, se desplaza una distancia de 21 m en 8 s.
Solución:
Ejemplo 9: Calcule la aceleración de una partícula con 6m/s de velocidad inicial, con 7m/s de velocidad final y se desplaza una distancia de 8m.
Solución:
Ejemplo 10: Calcule la aceleración de una partícula con 23 m/s de velocidad inicial, con 48 m/s de velocidad final y 13 s.
Solución:
Ejemplo 11: Calcule la velocidad final de una partícula con aceleración de 89 m/s2, velocidad inicial de 37 m/s y un tiempo de 6 s.
Solución:
Ejemplo 12: Calcule la velocidad final de una partícula con aceleración de 12 m/s2, velocidad inicial de 8 m/s y distancia de 30 m.
Solución:
Ejemplo 13: Calcule la velocidad inicial de una partícula con aceleración de 4 m/s2, velocidad final de 58 m/s y un tiempo de 11 s.
Solución:
Ejemplo 14: Calcule la velocidad inicial de una partícula con aceleración de 7m/s2, una distancia de 97m y velocidad final de 178m/s.
Solución:
Ejemplo 15: Calcule la velocidad inicial de una partícula con aceleración de 3 m/s2, que recorre 150 m en 3 s.
Solución:
Ejemplo 16: Calcule la velocidad media en km/h para un movimiento de una partícula de 5 m en 10s.
Solución:
Ejemplo 17: Calcule la distancia de una partícula con velocidad de 20m/s en 10s.
Solución:
Ejemplo 18: Calcule la distancia de una partícula con aceleración de 5 m/s2, velocidad inicial de 4 m/s y un tiempo de 8 s.
Solución:
Ejemplo 19: Calcule la distancia de una partícula con aceleración de 4 m/s2, velocidad inicial de 0 m/s y una velocidad final de 7 m/s.
Solución:
Ejemplo 20: Calcule el momento de una masa de 157 kg con velocidad de 15 m/s.
Solución:
2.8 Cálculo de la caída libre
Un problema clásico de movimiento uniformemente acelerado es la caída vertical a la tierra de un objeto debido a la gravedad, es común ignorar la resistencia del aire; de acuerdo con Galileo Galilei es aquel que, partiendo del reposo, adquiere, en tiempos iguales, iguales incrementos de rapidez[4]:
“Si un móvil cae, partiendo del reposo, con un movimiento uniformemente acelerado, los espacios por los recorridos en cualquier tiempo que sea están entre sí como el cuadrado de la proporción entre los tiempos, o lo que es lo mismo, como los cuadrados de los tiempos”.
Llamamos a esta aceleración la gravedad en la tierra y le damos el símbolo g. El valor de g es 9.80m/s2 en la dirección hacia abajo. Todas las ecuaciones que implican una aceleración constante se pueden utilizar para los cuerpos que caen, donde g sustituye a “a”. Considérese la distancia de bajada como positiva.
para caída libre la velocidad inicial es cero g=a
Ejemplo 21: Calcule el desplazamiento de una roca que se deja caer de un risco de 400 m, para 1 s, 2 s y 8 s después.
Solución: Estamos en busca del desplazamiento, tenemos tiempo y aceleración. Por lo tanto, podemos utilizar
Desplazamiento después de 1 s:
Desplazamiento después de 2 s:
Desplazamiento después de 8 s:
Para calcular la gravedad es indispensable introducir la constante gravitacional universal que aparece en la ley de gravedad de Newton, fue obtenida por Henry Cavendish en 1798, es calculada de forma empírica como la fuerza de atracción gravitacional producida entre dos objetos de 1 kg separados 1 m de distancia.
Tenga presente que la gravitación es una propiedad de atracción de los cuerpos materiales, es una de las cinco fuerzas del universo y de acuerdo con la ley gravitacional de Newton:
donde d es la distancia entre las masas 
.
Si una de las masas es mucho más grande que la otra, es conveniente definir un campo gravitatorio alrededor de la masa más grande de la siguiente manera:
donde m es la masa del cuerpo más grande, y r es un vector unitario dirigido desde la gran masa a la masa más pequeña, d es el radio de la masa. El signo indica que la fuerza, es una fuerza de atracción. Si la masa de la tierra es de m=5.9721986x1024kg y el radio d=6.37x106m, g en la superficie de la tierra (nivel del mar) es de:
Para calcular la aceleración gravitacional o simplemente gravedad a diferentes alturas sobre el nivel del mar:
Morelia se encuentra 1.921km sobre el nivel del mar, para esta altura calculemos la gravedad g:
Ejemplo 22: Calcule la aceleración gravitacional a nivel de la Ciudad de México (2240 m sobre el nivel del mar).
Solución:
2.9 Tiro vertical
Si lanzamos un objeto hacia arriba a una velocidad inicial de escape, es la velocidad mínima con la que un cuerpo debe lanzarse para que escape a la atracción gravitacional de la tierra. Para calcular la velocidad de escape formulamos la suma de las energías cinética y potencial:
donde R es la distancia entre la partícula y el centro del Planeta Tierra; G es la constante de gravitación universal; M la masa de la tierra y m la masa de la partícula; h la altura; g la gravedad. Energía potencial gravitatoria de una masa m en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa m desde dicho punto hasta el infinito.
Por tanto, la velocidad de escape Ve:
Ejemplo 23: Calcule el lanzamiento vertical de una pelota con velocidad inicial de 34 m/s y su velocidad final es 0m/s, con aceleración gravitacional de -9.80 m/s2. ¿qué tan alto va a ir antes de detenerse? y ¿cuál es el tiempo antes de volver la mano del lanzador?
Solución:
Para calcular el tiempo, obtenemos la velocidad media es al mitad de la velocidad inicial, es decir, de 17 m/s y como conocemos la distancia de 58.97 m
2.10 Representación gráfica
Desplazamiento – tiempo
Para un gráfico de la posición en función del tiempo. La pendiente es el cambio de posición respecto del tiempo, donde el aumento es el desplazamiento, por lo tanto:
Ver URL:
https://www.youtube.com/watch?v=F2phFPswFDE
https://www.youtube.com/watch?v=rbnq--Gyhk8#aid=P8ioJ9_skpg
Velocidad – tiempo
Para un gráfico de la velocidad en función del tiempo. La pendiente es cambio de velocidad en el tiempo, donde el aumento es el cambio en aceleración en el desplazamiento en el tiempo, por lo tanto,
Ver Url:
https://www.youtube.com/watch?v=bFHlwNZVZl0
2.11 Determinar el movimiento en tres dimensiones
Para trabajar con problemas de movimiento en dos o tres dimensiones, es necesario traer aquí los conocimientos de vectores aprendidos en sus cursos de matemáticas, así como emplear las ecuaciones de movimiento en términos de funciones vectoriales de desplazamiento, velocidad y aceleración.
Nuestro análisis comienza con el movimiento de proyectiles en dos y tres dimensiones, en la sección anterior analizamos el movimiento en una dimensión. Es el que ocurre a lo largo de una línea recta, solo requerimos una coordenada en x o en y en caso de caída libre. Para este caso de dos o más dimensiones, el punto de lanzamiento es p(x0,yo) o p(x0,yo,zo). Si lanzamos un proyectil y conocemos sus componentes vectoriales las componentes cartesianas de la velocidad vienen dadas por las derivadas respecto al tiempo de las componentes de la posición, cuando el móvil describe una trayectoria r(t), es la superposición de tres movimientos unidimensionales considerando las trayectorias de r en una terna de x,y,z; es decir, x(t)=x, y(t)=y; z(t)=z. Para cada proyección sobre los ejes podemos aplicar entonces las ecuaciones del movimiento unidimensional (como si fuera a lo largo de una línea recta) así definimos la trayectoria como una función vectorial de posición:
Por tanto la velocidad:
Matemáticamente ello equivale a tratar el movimiento tridimensional como una combinación de tres movimientos unidimensionales. Por ello, podemos hallar cada componente de la posición integrando la componente de la velocidad correspondiente:
Las componentes cartesianas de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y segundas derivadas de las de la posición):
En ingeniería es común trabajar con funciones de trayectoria de movimiento en su forma paramétrica de t, donde cada componente x,y,z están en función del tiempo. 
Ejemplo 24: La trayectoria de una partícula está dada por r(t)=t2i+tj+(5/2)tk. Grafíque con http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm, http://web.monroecc.edu/calcNSF/ y calcule la velocidad y aceleración en t=2.
Solución:
Velocidad es la derivada de r(t)
La aceleración derivada de la velocidad
En t=2 el punto es r(2)=[4,2,5]; la velocidad v(2)=[4,1,5/2] y la aceleración a(2)=[2,0,0]
2.12 Tiro parabólico en dos dimensiones
Un movimiento de proyectiles, puede ser el lanzamiento de una flecha de arco, un cañón o cohetes balísticos, en donde interviene la acción vertical g, se desprecia la resistencia del aire en la acción horizontal es decir:
En este movimiento parabólico interviene el ángulo de lanzamiento del proyectil, altura y desplazamiento.
V0 es el módulo de la velocidad inicial
es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal
g es la aceleración de la gravedad
son los vectores unitarios sobre los ejes x,y
Si la 
entonces integramos y sumamos a la velocidad inicial
y la velocidad inicial es
Ec. de velocidad
Si la posición es
y
Por tanto si integramos y sumamos a la posición inicial
Ec. de la posición
Este movimiento parabólico del proyectil está formado por dos movimientos, uno horizontal dado por la velocidad y otro vertical dado por la aceleración uniforme de la gravedad.
La posición esta definida por posición del movimiento horizontal
Ec. 1
en la dirección vertical
Ec. 2
Estamos interesados en el momento en que el proyectil vuelve a la misma altura que salió proyectado. Veamos t en ese momento cuando la altura del proyectil es igual a su valor inicial.
Despejando t
Ec. 3
Esta solución es útil para determinar el alcance del proyectil. Al sustituir Ec. 3 en Ec. 1 del movimiento horizontal:
Observe que
La altura máxima del proyectil será donde v en y valen cero y su componente vertical:
este es el tiempo para que h sea la altura máxima en ese punto:
Para cuando conocemos velocidad y ángulo de salida:
Ejemplo 24-A: Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y una dirección de salida de 24º. Suponiendo despreciable los efectos del aire, calcular a) el tiempo de traslado, b) la máxima altura y c) el alcance en el que cae el proyectil.
Solución:
a) 
b) 
c) 
2.13 Movimiento circular uniforme
El movimiento circular describe la cinética y dinámica de péndulos, giros en espiral, órbitas de planetas, giros de ruedas de bicicletas, centrifugas, discos duros,… es un ámbito de conceptos como eje de giro, arco como unidad de longitud del espacio recorrido, velocidad angular como la rapidez de desplazamiento; aceleración angular, momento angular, posición. Este movimiento giratorio en su desplazamiento de arco, es similar al movimiento uniforme ya estudiado.
Es importante definir donde está el observador de este movimiento, de ello depende el análisis del mismo.
La dinámica del movimiento es percibida desde el eje de giro, desde el observador situado en la partícula que está en equilibrio entre las fuerzas de acción de atracción y centrífuga, no existe movimiento inercial. Este movimiento circular sigue una trayectoria de circunferencia, las magnitudes de posición angular 
dadas por la referencia de origen cero, el centro y un punto del móvil en un instante t. Donde el ángulo 
es el arco s entre el radio r de la circunferencia de trayectoria, 
. La posición angular es el cociente entre longitud s de arco y radio r.
En un instante t’ la posición P’ el móvil se habrá desplazado
Ec. 1
en un intervalo de tiempo 
La velocidad angular promedio es 
Ec. 2
Por tanto la velocidad angular es
El cambio de velocidad angular 
la denominamos aceleración angular.
Ec. 3.
El movimiento circular uniforme es definido cuando la velocidad angular 
es constante y la aceleración angular es cero. En el movimiento circular uniformemente acelerado la aceleración es constante.
El desplazamiento angular implica calcular frecuencia y tiempo. La frecuencia angular es dada en radianes por segundo.
Despejando de ecuación 3:
Ec. 4
La ecuación 4 la podemos deducir por otro camino:
dado que
Si despejamos t de la ecuación 3 y sustituimos en
Despejando la velocidad angular final
Ec. 5
El torque neto 
es igual a I momento inercial del cuerpo con respecto al eje de rotación, por la a aceleración angular:
Comparando las ecuaciones de movimiento, podemos reconocer las equivalentes entre el movimiento lineal y el rotatorio.
Nota: Hemos utilizado como símbolo de aceleración angular a, en algunos libros se emplea el símbolo 
.
Ejemplo 25: Calcule el desplazamiento angular para una frecuencia angular de 
y un tiempo de 3 s.
Solución:
Si el desplazamiento angular promedio es 
el valor es de 102 radianes o 16.23 revoluciones.
La frecuencia es dada en hercios
donde T es el periodo que tarda el móvil en dar una vuelta de circunferencia.
Ejemplo 26: Calcule el desplazamiento angular con frecuencia inicial angular de 23 rad/s, aceleración angular de 2 rad/s2 para un tiempo de 48 s.
Solución:
Ejemplo 27: Calcule la desplazamiento angular con frecuencia inicial angular de 2 rad/s, frecuencia angular final de 23 rad/s y aceleración angular de 4 rad/s2.
Solución:
Ejemplo 28: Calcule la frecuencia angular media para un desplazamiento de 29 rad y un tiempo de 5 s.
Solución:
Ejemplo 29: Calcule la frecuencia angular para una aceleración angular de 47 rad/s2 en un tiempo de 6s.
Solución:
Ejemplo 30: Calcule la frecuencia angular inicial para un desplazamiento angular de 89 rad, una frecuencia angular final de 90 rad/s y una aceleración angular de 12 rad/s2.
Solución:
Ejemplo 31: Calcule la frecuencia angular inicial para una frecuencia angular final de 90 rad/s y una aceleración angular de 12 rad/s2 en 4s.
Solución:
Ejemplo 32: Calcule la frecuencia angular final para un desplazamiento angular de 45 rad, frecuencia angular inicial de 2 rad/s y una aceleración angular de 12 rad/s2.
Solución:
Ejemplo 32: Calcule la frecuencia angular final para una frecuencia angular inicial de 5 rad/s y una aceleración angular de 12 rad/s2.
Solución:
Ejemplo 33: Calcule la aceleración angular para un tiempo de 7s y una frecuencia angular de 13 rad/s.
Solución:
Ejemplo 34: Calcule la aceleración angular para un desplazamiento de 46 rad, una frecuencia angular inicial de 5 rad/s y una frecuencia angular final de 49 rad/s.
Solución:
Ejemplo 35: Calcule la aceleración angular para un desplazamiento de 46 rad, una frecuencia angular inicial de 5 rad/s y un tiempo de 7 s.
Solución:
Ejemplo 36: Calcule el momento angular, con momento inercial de 2 kgm2 y una velocidad angular de 13 rad/s.
Solución:
Fuerza centrípeta
Si una masa m se desplaza con velocidad angular w y experimenta una fuerza centrípeta Fc (siempre perpendicular), viajará en un círculo de radio r. La fuerza centrípeta es la dirigida hacia el centro de la curva de trayectoria circular de una partícula en movimiento circular uniforme, es responsable del cambio de dirección de la velocidad de la partícula. Por trigonometría:
Ec.1
Por la segunda ley de Newton
Sustituir en ecuación 1:
La fuerza centrífuga Fg, sostienen los físicos que no es una fuerza real en el sentido de que es producida por un agente real. Es un efecto igual en módulo y dirección pero en sentido contrario a la fuerza centrípeta.
Ejemplo 37: Calcule la aceleración centrípeta de una partícula con frecuencia angular 34 rad/s y un radio de 2 m.
Solución:
Ejemplo 38: Calcule la aceleración centrípeta de una partícula con velocidad de rotación de 2 m/s y un radio de 4 m.
Solución:
Ejemplo 38: Calcule la fuerza centrípeta de una partícula con velocidad angular de 23 rad/s, un radio de 5 m y una masa de 6 kg
Solución:
Ejemplo 39: Calcule la fuerza centrípeta de una partícula con velocidad de rotación de 12 m/s, un radio de 2 m y una masa de 3 kg.
Solución:
2.14 Problemario
1. Un avión de combate estableció una marca mundial al volar de Londres a Los Ángeles, recorriendo una distancia de 8790 km en 3h 47 min y 36 s ¿cuál fue su rapidez media en m/s?
2. Una avioneta Cessna que parte del reposo requiere una rapidez de despegue de 120 km/h ¿qué aceleración constante se necesita para que se eleve después de una carrera de despegue de 240 m? ¿cuánto tiempo toma el despegue?
3. Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 25 m/s. Si el suelo se encuentra a 60 m, ¿en cuánto tiempo llegará al suelo? ¿en cuánto tiempo recorre la mitad de la distancia?
4. Un cirquero hace un acto de malabarismo parado en una plataforma a 7 m de altura, lanzando una pelota directamente hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. Si se le escapa de las manos la pelota cuando va cayendo, ¿con qué velocidad llegará la pelota al piso?, ¿cuánto tiempo después de haber sido lanzada, llegará la pelota al piso?
5. Durante un partido de futbol se patea un balón con una velocidad de 25 m/s y un ángulo de 35° sobre el nivel del piso. ¿Qué altura máxima logra el balón? ¿En cuánto tiempo llega nuevamente a la cancha? ¿Cuál es su alcance máximo?
6. Una persona que dirige un globo aerostático lanza una pelota a 25 m/s y 40° sobre el horizonte. Si en ese momento el globo flotaba a 100m de altura sobre un llano. ¿A qué distancia horizontal llegará la pelota al piso, respecto al punto de lanzamiento?
7. Para sacar agua de un pozo, se ata una cuerda a una polea fija de 20 cm de radio que se hace girar por medio de una manivela. Si el agua está a una profundidad de 18 m, ¿cuántas vueltas se necesitan para sacar una cubeta llena del líquido? Considerar que 1 vuelta = 1 revolución = 2πrad.
8. Un joven practica la pesca como aficionado y ata un contrapeso de plomo para pescar de 25 grs al extremo de un pedazo de cuerda, haciéndola girar alrededor de un círculo horizontal. Si el radio del círculo es de 70 cm y el objeto se mueve con una velocidad de 4 m/s. ¿Qué valor tiene la fuerza centrípeta?
9. La rueda de un molino industrial tiene un diámetro de 30.5 cm y gira a 2200 revoluciones por minuto. ¿Cuál es su velocidad lineal?
10. Una persona caminó 130 m al Norte, después recorrió 80 m al Este y finalmente 45 m al Noroeste. ¿Cuál fue la distancia total que recorrió?, ¿cuál fue su desplazamiento, si el tiempo total del recorrido fue de 12 min?, ¿cuál fue la rapidez media en m/s?
11. Cierto modelo de automóvil es capaz de acelerar a razón de 1.6 ft/s2. ¿Cuánto tiempo en segundos le toma pasar de una rapidez de 45 mi/h a una de 60 mi/h?, ¿qué distancia en ft logra tal cambio de velocidad? Considere que la abreviatura mi hace referencia a la unidad del sistema inglés millas, que equivale a 5280 ft (pies).
12. Un repartidor de pizzas viaja en su motocicleta para entregar un pedido circulando a 60 km/h. Repentinamente ve una zanja que cruza por completo la calle 30m delante de él, por lo que aplica una desaceleración de 4 m/s2. ¿Logra frenar antes de llegar a la zanja?. Calcula su distancia de frenado.
13. En su patio de maniobras un tren parte del reposo, y acelera a 4 ft/s2 recorriendo una distancia de 400 ft. Después de esta distancia, viaja a rapidez constante durante 15 s. Al término de ese tiempo el tren inicia su frenado y logra detenerse 10 segundos después. ¿Cuál fue la distancia total recorrida?, ¿cuál fue el tiempo total de la maniobra?
14. Un joven deja caer un ladrillo desde un puente que está a 100 ft de altura sobre el nivel del agua. ¿Qué tiempo permanece el ladrillo en el aire?, ¿con qué velocidad golpea el agua?. Considerar g= 32.2 ft/s2
15. Un joven lanza una pelota horizontalmente a 10 m/s desde un puente a 50 m sobre un río. Sin tener en cuenta la resistencia del aire. ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al agua?, ¿cuál es la velocidad de la pelota justo al momento de llegar al agua?, ¿a qué distancia del puente llegará la pelota?
16. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 40 m/s formando un ángulo de 30° con la horizontal. La pelota cae en la azotea de una casa a 7 m de altura respecto al punto de donde fue lanzada. En su recorrido de caída ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?, ¿cuál es el tiempo total del recorrido?, ¿a qué distancia horizontal se encuentra el edificio respecto del punto de lanzamiento?
17. La llanta de una bicicleta profesional de carreras tiene un diámetro de 584 mm aproximadamente. En una etapa de calentamiento gira a 50 revoluciones por minuto (rpm). ¿Qué distancia recorrerá el ciclista en 45 segundos?
18. Determinar la aceleración angular que se genera en 10 s para un desplazamiento de 120 rad y una frecuencia angular inicial de 7.5 rad/s.
2.15 Soluciones
1. v = 643.67 m/s
2. a = 2.314 m/s2, t = 14.4 s
3. t = 1.78 s, t = 1.0 s
4. vf = 16.773 m/s, t = 2.932 s
5. h = ymax = 10.48 m, t = 2.923 s, x = 59.868 m
6. x = 123.355 m
7. 14.32 vueltas
8. Fc = 0.5714 N
9. v = 35.13 m/s
10. d = 255 m, 
= 168.84 m 
= 73.41°
11. t = 13.75 s, d = 1058.75 ft
12. No, d = 34.721 m
13. d = 1531.36 ft, t = 39.142 s
14. t = 2.492 s, vf = 80.249 ft/s
15. t = 3.192 s, vf = 32.877 m/s, x = 31.92 m
16. ymax = 20.387 m, t = 3.689 s, x = 127.82 m
17. s = 137.60 m
18. a = 0.9 rad/s2
2.16 Conclusiones
En este capítulo hemos revisado los diferentes tipos de movimientos que encontramos en nuestra vida cotidiana y seguramente te habrás dado cuenta que todo en el Universo se encuentra en movimiento. La Tierra sobre sí misma, alrededor del sol, la Luna alrededor de la Tierra, los electrones alrededor del núcleo, niños que corren y saltan, la sangre y otros fluidos, los músculos dentro del cuerpo humano, nubes desplazándose por el cielo, pájaros volando, árboles balanceándose, etc.
Estos tipos de movimiento revisados se unen y combinan de diferentes maneras para formar movimientos más complejos y de mayor grado de análisis, como podría ser el vuelo de un mosquito.
Seguimos invitándote a documentarte e investigar más acerca de éstos y otros temas de carácter científico, acercándote a lecturas que fácilmente puede encontrar en bibliotecas y medios electrónicos. La información que obtengas será de gran utilidad y te hará crecer y desarrollarte de forma integral. ¡Adelante!
URL’s
https://www.youtube.com/watch?v=mBAaaxT6U6A
https://www.youtube.com/watch?v=qWj8jPDE-vY
http://www.fisicalab.com/formulario_tema/movimiento-dos-y-tres-dimensiones/avanzado
https://www.youtube.com/watch?v=rBp40ryjqyc
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//index.html
http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm
http://www2.franciscan.edu/academic/mathsci/mathscienceintegation/MathScienceIntegation-827.htm
http://www.amnh.org/learn/Courses
http://www.amnh.org/learn/space/Course_Preview
[1] Winston Manrique Sabogal (2014) Vargas Llosa de vida y libros. Cultura El País. Consulta: 27 de Marzo de 2014, de http://cultura.elpais.com/cultura/2014/03/26/actualidad/1395867335_520237.html
[2] Penrose Roger (2010) Ciclos del tiempo. Barcelona: DEBATE
[3] Marcos Pitanga (2004) Construindo supercomputadores com Linux. Brasil: Brasport
[4] Hawking Stephen (2010) A hombros de gigante. Barcelona: Crítica